高考数学复习拓展提升课十一　抛物线的结论及其应用（导学案）

这是一份高考数学复习拓展提升课十一　抛物线的结论及其应用（导学案），共6页。学案主要包含了常用结论，结论证明等内容，欢迎下载使用。

培优增分 展提升课十一 抛物线的结论及其应用
(1)过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有很多性质，并通过这些性质及运算推导出很多有用的结论，常常是高考命题的切入点．
(2)熟悉并记住抛物线焦点弦的结论，在解选择题、填空题时可直接运用，减少运算量；在做解答题时也可迅速打开解题思路．
一、常用结论
我们以抛物线y2＝2px(p>0)为例来研究
[探究]已知AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，α为直线AB与x轴正半轴的夹角，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列结论：
[结论1]y1y2＝－p2，x1x2＝ eq \f(p2,4) ；
[结论2]|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2α) ；
[结论3] eq \f(1,|AF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(2,p) ；
[结论4]|AF|＝ eq \f(p,1－csα) ，|BF|＝ eq \f(p,1＋cs α) ；
[结论5]S△AOB＝ eq \f(1,2) |OF|·|y1－y2|＝ eq \f(p2,2sin α) .
二、结论证明
[说明]通常在证明上述结论时，设出直线的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求解，特别地还要讨论斜率存在与否，过程烦琐，运算量大．下面我们提供比较简单的证明结论的方法：
[证明]由题图可知|AF|－|AF|cs α＝|AC|－|AF|·cs α＝p，得|AF|＝ eq \f(p,1－cs α) ，
同理可得|BF|＝ eq \f(p,1＋cs α) .(结论4得证)
eq \f(1,|AF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(1－cs α,p) ＋ eq \f(1＋cs α,p) ＝ eq \f(2,p) .(结论3得证)
|AB|＝|AF|＋|BF|＝ eq \f(p,1－cs α) ＋ eq \f(p,1＋cs α) ＝ eq \f(2p,sin 2α) .(结论2得证)
由题图可知y1＝|AF|sin α，y2＝－|BF|sin α，
则y1y2＝－|AF||BF|sin 2α
＝－ eq \f(p,1－cs α) · eq \f(p,1＋cs α) sin 2α＝－p2.(结论1得证)
S△AOB＝ eq \f(1,2) |AB|× eq \f(p,2) sin α
＝ eq \f(1,2) × eq \f(2p,sin2α) × eq \f(p,2) sinα＝ eq \f(p2,2sin α) .(结论5得证)
[典例](2022·唐山模拟)设抛物线E：y2＝6x的弦AB过焦点F，|AF|＝3|BF|，过A，B分别作E的准线的垂线，垂足分别是A′，B′，求四边形AA′B′B的面积．
解析：方法一：(结论2)不妨令A在x轴上方，如图所示，作BG⊥AA′，垂足为G，则|A′G|＝|BB′|，|BG|＝|A′B′|.
设|BF|＝m，由|AF|＝3|BF|，得|AF|＝3m，所以|AB|＝4m.
由抛物线的定义知，|AA′|＝|AF|＝3m，|BB′|＝|BF|＝m，
则|AG|＝2m，所以∠BAA′＝ eq \f(π,3) .
易知p＝3，根据结论2，得|AB|＝ eq \f(2p,sin 2\f(π,3)) ＝ eq \f(6,（\f(\r(3),2)）2) ＝8，
所以|BG|＝|AB|sin eq \f(π,3) ＝4 eq \r(3) ，
则S四边形AA′B′B＝ eq \f(1,2) (|AA′|＋|BB′|)×|A′B′|＝ eq \f(1,2) |AB|×|BG|＝ eq \f(1,2) ×8×4 eq \r(3) ＝16 eq \r(3) .
方法二：(结论3)不妨令A在x轴上方，如图所示，作BG⊥AA′，垂足为G，
由抛物线的定义知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
由 eq \f(1,|AF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(2,p) ＝ eq \f(2,3) ，得|AF|＝3|BF|＝6，
|AA′|＋|BB′|＝|AF|＋|BF|＝8，|AG|＝|AA′|－|BB′|＝4，
所以|A′B′|＝|BG|＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) ，
则S四边形AA′B′B＝ eq \f(1,2) (|AA′|＋|BB′|)×|A′B′|
＝ eq \f(1,2) ×8×4 eq \r(3) ＝16 eq \r(3) .
方法三：(结论4)设直线AB的倾斜角为α，不妨令A在x轴上方，
根据结论4，得
|AF|＝ eq \f(p,1－cs α) ＝ eq \f(3,1－cs α) ，
|BF|＝ eq \f(p,1＋cs α) ＝ eq \f(3,1＋cs α) ，
由|AF|＝3|BF|，得 eq \f(3,1－cs α) ＝3× eq \f(3,1＋cs α) ，
解得cs α＝ eq \f(1,2) ，因为α∈[0，π)，所以α＝ eq \f(π,3) ，
由抛物线定义，得|AA′|＝|AF|＝ eq \f(3,1－cs \f(π,3)) ＝6，
|BB′|＝|BF|＝ eq \f(3,1＋cs \f(π,3)) ＝2，
所以|A′B′|＝(|AF|＋|BF|)sin eq \f(π,3) ＝8sin eq \f(π,3) ＝4 eq \r(3) ，
则S四边形AA′B′B＝ eq \f(1,2) (|AA′|＋|BB′|)×|A′B′|
＝ eq \f(1,2) ×(6＋2)×4 eq \r(3) ＝16 eq \r(3) .
【思维方法】
读懂题意：涉及抛物线的焦半径、面积等问题时，通过数形结合，进行合理变形和转化，都可以利用抛物线的二级结论进行求解．
1．(结论1)(2022·武汉模拟)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝－12，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：选C.设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据结论1得，x1·x2＝ eq \f(1,4) p2，y1·y2＝－p2，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝x1·x2＋y1·y2＝ eq \f(1,4) p2－p2＝－12，所以p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
2．(结论3)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C． eq \f(16,3) D． eq \f(20,3)
解析：选C.过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为M，N，设准线与x轴交于点H(图略)，则FH＝p，
由于点F是AC的中点，|AF|＝4，所以AM＝4＝2p，所以p＝2，
根据结论3得， eq \f(1,|AF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(2,p) ，所以BF＝ eq \f(4,3) ，
所以AB＝AF＋BF＝4＋ eq \f(4,3) ＝ eq \f(16,3) .
3．(结论5)(2022·厦门模拟)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． eq \f(3\r(3),4) B． eq \f(9\r(3),8)
C． eq \f(63,32) D． eq \f(9,4)
解析：选D.由结论5可知，S△OAB＝ eq \f(p2,2sin α) ＝ eq \f(（\f(3,2)）2,2×sin 30°) ＝ eq \f(9,4) .
4．(多选题)(结论3)(2022·张家口模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F，其斜率k>0，且交抛物线于A，B(点A在x轴下方)两点，抛物线的准线为m，AA1⊥m于A1，BB1⊥m于B1，下列结论正确的是( )
A．若 eq \(BF,\s\up6(→)) ＝3 eq \(FA,\s\up6(→)) ，则k＝ eq \r(3)
B． eq \f(1,|FA|) ＋ eq \f(1,|FB|) ＝1
C．若k＝1，则|AB|＝2
D．∠A1FB1＝90°
解析：选ABD.如图所示：延长BA，交准线m于Q，
设|FA|＝|AA1|＝t，|FB|＝|BB1|＝3t，|AQ|＝x，
则△QAA1∽△QBB1，所以 eq \f(|QA|,|QB|) ＝ eq \f(|AA1|,|BB1|) ，
则 eq \f(x,x＋4t) ＝ eq \f(t,3t) ，解得x＝2t，
故∠A1AQ＝60°，故kAB＝ eq \r(3) ，A正确，
且 eq \f(1,|FA|) ＋ eq \f(1,|FB|) ＝ eq \f(2,p) ＝1，B正确，
|AB|＝ eq \f(2p,sin 245°) ＝8，C错误，
因为∠BB1F＝∠B1FB，∠AA1F＝∠A1FA，
则∠B1FB＋∠A1FA＝ eq \f(180°－∠B1BF,2) ＋ eq \f(180°－∠A1AF,2) ＝90°，
所以∠A1FB1＝90°，故D正确．
5．(结论2)斜率为 eq \r(3) 的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，求|AB|的值．
解析：方法一：由题意可得抛物线焦点F(1，0)，直线l的方程为y＝ eq \r(3) (x－1)，
代入y2＝4x并化简得3x2－10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(10,3) ；
所以由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(10,3) ＋2＝ eq \f(16,3) .
方法二：由结论2可知，|AB|＝ eq \f(2p,sin2α) ，
而tanα＝ eq \r(3) ，所以sin α＝ eq \f(\r(3),2) ，
所以|AB|＝ eq \f(2p,sin2α) ＝ eq \f(2×2,（\f(\r(3),2)）2) ＝ eq \f(16,3) .