高考数学复习第二章　第一节　等式与不等式的性质（导学案）

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第一节 等式与不等式的性质
梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
1.比较大小的基本方法
2.不等式的基本性质
点睛(1)注意不等式成立的条件.
(2)注意不等式性质的单向与双向性,即是否具有可逆性.
1.若ab>0,则a>b⇒1a1b.
2.若a>b>0,m>0,则baa>0,m>0,则ba>b+ma+m.
3.若a>b>0,则na>nb(n∈N,n≥2).
1.(结论2)在日常生活中有这样一种现象,向糖水中不断加入糖,糖水会变得越来越甜.已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0),再添加m克糖(m>0,假设全部溶解),可将糖水变甜.这一事实表示为下列哪一个不等式?( )
A.ba>b+ma+mB.ba0,所以ba-b+ma+m=b-amaa+mbc
B.若a>b,则1a>1b
C.若a>b,则a+c>b+c
D.若a>b,则a>b
解析：选C.对于A,若a>b,c≤0,则ac≤bc,故A错误;
对于B,若取a=1,b=0,则1b无意义,故B错误;
对于C,根据不等式的可加性可知若a>b,则a+c>b+c,故C正确;
对于D,若取a=1,b=-2,则aNB.M=N
C.M0,所以M>N.
4.(结论1)若1ab3
解析：选D.由1a1,所以a-b>0,ab>1,
所以a+1b-(b+1a)>0,即a+1b>b+1a,故D正确.
(2)当m>1时,m3与m2-m+1的大小关系为 .
解析：因为m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1=m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1),又m>1,所以(m-1)(m2+1)>0,即m3>m2-m+1.
答案:m3>m2-m+1
(3)某汽车加油站的工作人员发现经常来加油的李先生和孙女士的加油习惯有所不同.李先生每次加油都说“师傅,给我加300元的油”,而孙女士则说“师傅帮我把油箱加满”.如果李先生和孙女士都加油两次,第一次加油汽油单价为x元/升,第二次加油汽油单价是y元/升(x≠y),孙女士每次加满油箱,需加油a升,我们规定谁的平均单价低谁就合算,请问李先生、孙女士谁更合算呢?( )
A.李先生B.孙女士C.一样D.不确定
解析：选A.由题意,孙女士两次加油共需付款a(x+y)元,李先生两次能加300x+300y=300(x+y)xy升油.
设李先生两次加油的平均单价为M元/升,孙女士两次加油的平均单价为N元/升,
则M=600300(x+y)xy=2xyx+y,N=a(x+y)2a=x+y2,且x≠y,
所以N-M=x+y2-2xyx+y=(x-y)22(x+y)>0,
所以李先生的加油方式更合算.
1.适合作差法比较大小的两(数)式的特点
(1)正负未知的两多项式;
(2)若两数为无理数且均为正,可考虑平方后再作差比较;
(3)两分式的形式;
(4)可化为同底的两对数;
2.作差法比较大小的步骤
①作差;②变形(通过因式分解或配方法等);③定号;④得出结论.
角度2 作商法比较大小
[典例2](1)已知c>1,且x=c+1-c,y=c-c-1,则x,y之间的大小关系是( )
A.x>yB.x=y
C.x0,y>0,又xy=c+1-cc-c-1=c+c-1c+1+cba,故C正确;
令a=1,b=-2,满足a>b,但是a2>b2不成立,故D错误.
3.(多选题)(2022·威海模拟)若a>b>1,01,所以lgmab>1,0b>0,比较a2-b2a2+b2与a-ba+b的大小.
解析：因为a>b>0,所以a2-b2a2+b2>0,a-ba+b>0,a2-b2a2+b2a-ba+b=a+b2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b2>1,故a2-b2a2+b2>a-ba+b.
【加练备选】
已知:a,b∈(0,+∞),且a≠b,比较aabb与abba的大小.
解析：因为a,b∈(0,+∞),所以aabb>0,abba>0,作商:
aabbabba=(ab)a(ba)b=(ab)a(ab)-b=(ab)a-b.
①若a>b>0,则ab>1,a-b>0, (ab)a-b>1,此时aabb>abba成立;
②若b>a>0,则0abba.
题型二不等式性质的应用
角度1 由不等式性质判断不等式
[典例5](1)(多选题)(2022·佛山模拟)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是( )
A.若a>b,c>d,则a-d>b-c
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若ab>0,bc-ad>0,则ca>db
D.若a>b,c>d>0,则ad>bc
解析：选AC.根据题意,依次分析选项:
对于A,若a>b,c>d,则-d>-c,则有a-d>b-c,A正确;
对于B,当a=2,b=1,c=-1,d=-2时,ac=bd,B错误;
对于C,若ab>0,bc-ad>0,则bcab-adab>0,即ca-db>0,则有ca>db,C正确;
对于D,当a=-1,b=-2,c=2,d=1时,ad=bc=-1,D错误.
(2)(多选题)(2023·汕头模拟)已知a,b,c满足c