高考数学复习第三章　第二节　第一课时　函数的单调性与最值（导学案）

这是一份高考数学复习第三章　第二节　第一课时　函数的单调性与最值（导学案），共22页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。
第二节 函数的基本性质
第1课时 函数的单调性与最值
【课程标准】
借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.
【必备知识·精归纳】
1.函数的单调性
(1)增函数与减函数
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上 单调递增 或 单调递减 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
点睛有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.
2.函数的最值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)∀x∈I,都有 f(x)≤M ,
(2)∃x0∈I,使得 f(x0)=M ,那么称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义可得y=f(x)的最小值.
点睛(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
【常用结论】
1.若f(x),g(x)均在某区间上单调递增(减),则f(x)+g(x)在该区间上单调递增(减).
2.函数y=f(x)在某一单调区间上的单调性与y=-f(x),y=1f(x)(f(x)≠0)的单调性相反.
3.复合函数的单调性:函数y=f(u),u=φ(x)在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调递减.
4.若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b),值域为[f(b),f(a)].
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)函数y=xx-1在区间[2,3]上的最大值是( )
A.1 B.2 C.12 D.32
解析：选B.函数y=xx-1=1+1x-1在[2,3]上单调递减,当x=2时,y=xx-1取得最大值22-1=2.
2.(结论2)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( )
A.y=1f(x)在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-1f(x)在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
解析：选D.A错误,如f(x)=x3,则y=1f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上不单调;B错误,如f(x)=x3,则y=|f(x)|在R上不单调;C错误,如f(x)=x3,则y=-1f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上不单调.
3.(结论3)函数f(x)=lg2(x2-4)的单调递增区间为 .
解析：由x2-4>0得x2.又u=x2-4在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,y=lg2u为增函数,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞).
答案:(2,+∞)
4.(教材提升)函数f(x)=1x-1在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是13,则a+b= .
解析：易知f(x)在[a,b]上单调递减,
所以f(a)=1,f(b)=13,即1a-1=1,1b-1=13,所以a=2,b=4.
所以a+b=6.
答案:6
5.(混淆“单调区间”与“在区间上单调”)若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是 .
解析：函数f(x)=x2-2mx+1的对称轴为直线x=m,由题意知[2,+∞)⊆[m,+∞),
所以m≤2.
答案:(-∞,2]
6.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)2a,解得-1≤a0,所以y=3x2-2x在[-1,-12]上单调递增,
所以3×(-1)2-2-1≤y≤3×(-12)2-2-12,
即-1≤y≤52,
所以函数的值域为[-1,52].
答案: [-1,52]
增函数
减函数
定
义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D
当x1