高考数学复习第三章　第二节　第二课时　函数的奇偶性与周期性（导学案）

这是一份高考数学复习第三章　第二节　第二课时　函数的奇偶性与周期性（导学案），共22页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。
第2课时 函数的奇偶性与周期性
【课程标准】
1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
【必备知识·精归纳】
1.函数的奇偶性
点睛奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
2.函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈I都有x+T∈I,且f(x+T)= f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般都是指最小正周期).
点睛存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.
【常用结论】
函数奇偶性的常用结论
1.如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0;
2.如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).
3.如果函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)下列函数中为偶函数的是( )

A.f(x)=x2sin x B.f(x)=x2cs x
C.f(x)=|ln x| D.f(x)=2-x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.
2.(结论2)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( )
A.{x|x4} B.{x|x4}
C.{x|x6} D.{x|x2}
解析：选B.由f(x)=x3-8,知f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.所以由已知条件可知f(x-2)>0⇒f(|x-2|)>f(2).所以|x-2|>2,解得x4.
3.(教材提升)已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-1,若f(x0)>-1,则x0的取值范围是( )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
解析：选C.由题意,得f(x)在[0,+∞)上是增函数,因为f(x)是奇函数,所以f(x)在R上是增函数,又f(1)=1,则f(-1)=-f(1)=-1,
所以f(x0)>f(-1),所以x0>-1,
即x0的取值范围是(-1,+∞).
4.(忽略奇偶函数定义域关于原点对称)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-13 B.13 C.12 D.-12
解析：选B.因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=13.
又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=13.
5.(结论1)已知函数f(x)=a-2ex+1(a∈R)是奇函数,则a= .
解析：方法一(结论法):函数f(x)的定义域为R,且函数f(x)是奇函数,所以f(0)=a-1=0,即a=1,经验证a=1满足条件.
方法二(常规法):由f(x)是奇函数知,f(-x)=-f(x),所以a-2e-x+1=-a+2ex+1,得2a=2ex+1+2e-x+1,所以a=1ex+1+exex+1=1.
答案:1
6.(结论3)设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
解析：函数f(x)的定义域为R,f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,因为g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性可知g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
答案:2
【题型一】函数奇偶性的判断及应用
角度1 函数奇偶性的判断
[典例1]判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+x,x∈[-1,4];
(2)f(x)=x2-1+1-x2;
(3)f(x)=x-sin x;
(4)f(x)=(x-1)1+x1-x,x∈(-1,1);
(5)f(x)=x2+x,x0.
解析：(1)因为f(x)=x3+x,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)因为x∈R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(4)已知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
因为f(x)=(x-1)1+x1-x=-(1-x)(1+x),
所以f(-x)=-(1+x)(1-x)=f(x).
所以f(x)是偶函数.
(5)方法一(定义法):易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,当x>0时,f(x)=x2-x,则当x0,故f(-x)=x2+x=f(x);当x0时,-x