高考数学复习第三章　第五节　对数与对数函数（导学案）

这是一份高考数学复习第三章　第五节　对数与对数函数（导学案），共20页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，思维导图·构网络等内容，欢迎下载使用。
第五节 对数与对数函数
【课程标准】
1.理解对数的概念和运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例,了解对数函数的概念,会画出对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y=ax与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.
【必备知识 精归纳】
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 x=lgaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记作 lg N .
以e为底的对数叫做自然对数,记作 ln N .
2.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质:lga1= 0 ,lgaa= 1 ,algaN= N (a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①lga(MN)= lgaM+lgaN ;
②lgaMN= lgaM-lgaN ;
③lgaMn= nlgaM (n∈R).
(3)换底公式:lgab=lgcblgca(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
点睛(1)换底公式的变形:
①lgab·lgba=1,即lgab=1lgba(a,b均大于0且不等于1).
②lgambn=nmlgab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R).
③lgNM=lgaMlgaN=lgbMlgbN(a,b,N均大于0且不等于1,M>0).
(2)换底公式的推广:lgab·lgbc·lgcd=lgad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
3.对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.
【常用结论】
1.如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
2.对数函数y=lgax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),(1a,-1).
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)lg29·lg34=( D )
A.14 B.12 C.2 D.4
解析：原式=lg232×lg322=4lg23×lg32=4×lg3lg2×lg2lg3=4.
2.(结论1)已知图中曲线C1,C2,C3,C4是函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为( B )
A.3,2,13,12 B.2,3,13,12
C.2,3,12,13 D.3,2,12,13
解析：方法一:可用结论1,画直线y=1(图略),交点的位置自左向右,底数由小到大.
方法二:因为C1,C2为增函数,所以它们的底数都大于1,又当x>1时,图象越靠近x轴,其底数越大,故C1,C2对应的a值分别为2,3.又因为C3,C4为减函数,所以它们的底数都大于0小于1,此时当x>1时,图象越靠近x轴,其底数越小,所以C3,C4对应的a分别为13,12.综上可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为2,3,13,12.
3.(结论2)函数y=lga(x-2)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 .
解析：因为lga1=0,令x-2=1,所以x=3,
所以y=lga1+2=2,所以原函数的图象恒过定点(3,2).
答案:(3,2)
4.(教材提升)函数y=lg23(2x-1)的定义域是 .
解析：由lg23(2x-1)≥0,得00,x-2y>0,所以x=y不符合题意,当x=4y时,得xy=4.
答案:4
6.(忽视对数函数的单调性)函数y=lgax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为 .
解析：当a>1时,依题意得lga4-lga2=1,解得a=2;当01,若lgab+lgba=52,ab=ba,则a+b= .
解析：设lgba=t,则t>1,因为t+1t=52,
所以t=2,则a=b2.又ab=ba,
所以b2b=bb2,即2b=b2,
又a>b>1,解得b=2,a=4.
所以a+b=6.
答案:6
题型二 对数函数的图象及应用
[典例2](1)(2023·泰安模拟)函数y=ln(2-|x|)的大致图象为( A )
解析：令f(x)=ln(2-|x|),易知函数f(x)的定义域为{x|-2