高考数学复习第四章　第二节　导数与函数的单调性（导学案）

这是一份高考数学复习第四章　第二节　导数与函数的单调性（导学案），共24页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。
第二节 导数与函数的单调性
【课程标准】
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
【必备知识·精归纳】
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数f'(x)的零点;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
【常用结论】
1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)0,故f(x)在（-2,-32)上单调递减,在（-32,1)上单调递增,A错误;在区间(3,5)上,当x∈(3,4)时,f'(x)0恒成立,所以f(x)单调递增,C正确;在区间(2,3)上f'(x)0,f(x)单调递增.
(2)求下列函数的单调区间.
①f(x)=xlnx; ②f(x)=sinx2+csx;
③f(x)=(x-1)ex-x2; ④f(x)=2exsin x.
解析：①f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).
f'(x)=lnx-x·1x(lnx)2=lnx-1(lnx)2.
由f'(x)>0,解得x>e.
由f'(x)0,得cs x>-12,
即2kπ-2π30,即8x-1x2>0,解得x>12,
所以函数y=4x2+1x的单调递增区间为(12,+∞).
2.若函数f(x)=lnx+1ex,则函数f(x)的单调递减区间为 .
解析：f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1x-lnx-1ex,
令φ(x)=1x-ln x-1(x>0),
φ'(x)=-1x2-1x0,
当x∈(1,+∞)时,φ(x)0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0,解得00,则xx2;
令f'(x)0).
①若12a12时,
则当x∈(0,12a)∪(1,+∞)时,g'(x)>0,
当x∈(12a,1)时,g'(x)0,得x>12a或00(或f'(x)0).
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a0,
在区间(-1a,+∞)上,f'(x)0,讨论f(x)的单调性.
解析：由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2.
设g(x)=x2-ax+2,
则二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.
①当Δ0都有f'(x)>0.此时f(x)也在(0,+∞)上单调递增.
③当Δ>0,即a>22时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=a-a2-82,x2=a+a2-82,且0b.
(2)已知a=12ln 2+14,b=2e,c=ln π+1π,则a,b,c的大小关系为( )
A.a0有解,
即2a>-x+1x有解,
因为x∈[13,2],
所以(-x+1x)min=-2+12=-32,
所以2a>-32,即a>-34,
故a的取值范围是(-34,+∞).
(2)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是减函数,则a的取值范围是 .
解析：f'(x)=[x2-2(a-1)x-2a]·ex,
因为f(x)在[-1,1]上是减函数,
所以f'(x)≤0对x∈[-1,1]恒成立,
所以x2-2(a-1)x-2a≤0对x∈[-1,1]恒成立.
设g(x)=x2-2(a-1)x-2a,
所以g(-1)≤0,g(1)≤0,
所以1+2(a-1)-2a≤0,1-2(a-1)-2a≤0,
解得a≥34.
答案: [34,+∞)
(3)金榜原创·易错对对碰
已知函数f(x)=x3+ax2+1,a∈R.
①讨论函数f(x)的单调区间;
②若函数f(x)在区间(-23,0)上是减函数,求a的取值范围;
③若函数f(x)的单调递减区间是(-23,0),求a的值.
解析：①对f(x)求导得f'(x)=3x2+2ax=
3x(x+23a).
ⅰ当a=0时,f'(x)=3x2≥0恒成立.
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).
ⅱ当a>0时,因为f'(x)在(-∞,-23a)和(0,+∞)上都恒为正,
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-23a),(0,+∞).
因为f'(x)在(-23a,0)上恒为负,
所以f(x)的单调递减区间是(-23a,0).
ⅲ当a0且(-23,0)=(-23a,0),所以a=1.
【方法提炼】
1.f(x)在区间D上单调递增(减),只要f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立即可,如果能够分离参数,则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
2.二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f(π5),f(1),f(-π3)的大小关系为( )
A.f(-π3)>f(1)>f(π5)
B.f(1)>f(-π3)>f(π5)
C.f(π5)>f(1)>f(-π3)
D.f(-π3)>f(π5)>f(1)
解析：选A.因为f(x)=xsin x,
所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,
所以f(-π3)=f(π3).
又当x∈(0,π2)时,f'(x)=sin x+xcs x>0,
所以函数f(x)在(0,π2)上单调递增,
所以f(π5)f(π5).
2.(2022·益阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),当x>0时,f(x)+xf'(x)>0,且f(1)=0,则不等式(x2-2x)f(x)0时,f(x)+xf'(x)>0,
所以当x>0时,g'(x)>0,
即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,
又f(1)=0,得g(1)=0,
所以g(-1)=0,不等式(x2-2x)f(x)0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(0,3)
B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(0,3)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
解析：选B.令g(x)=x2f(x),x∈R,
当x>0时,g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)
=x[xf'(x)+2f(x)]>0,
即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(x)为R上的奇函数,
即f(-x)=-f(x),
于是得g(-x)=(-x)2f(-x)=-g(x),
则g(x)是奇函数,g(x)在(-∞,0)上单调递增,
又f(-3)=0,
则g(3)=-g(-3)=-[(-3)2f(-3)]=0,
当x>0时,f(x)>0⇔g(x)>0=g(3),得x>3,
当x0⇔g(x)>0=g(-3),
得-30,可以推出
当xf(x),对任意正实数a,下列式子成立的是( )
A.f(a)eaf(0)
C.f(a)f(0)ea
解析：选B.令g(x)=f(x)ex,
所以g'(x)=f'(x)ex-f(x)ex(ex)2
=f'(x)-f(x)ex>0.
所以g(x)在R上单调递增.又a>0,
所以g(a)>g(0),即f(a)ea>f(0)e0,
即f(a)>eaf(0).
(2)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>1e2x的解集为 .
解析：构造F(x)=f(x)·e2x,
所以F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x
=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,
所以F(x)在R上单调递增,
且F(0)=f(0)·e0=1,
不等式f(x)>1e2x可化为f(x)e2x>1,
即F(x)>F(0),所以x>0,
所以原不等式的解集为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
【方法提炼】
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)enx.
命题点4 利用f(x)与sin x,cs x构造可导型函数
[典例4](1)已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π),满足f'(x)sin x>f(x)cs x,则下列不等式成立的是( )
A.f(π4)2f(π6)
C.f(π6)>2f(π4)D.f(π6)0,所以F'(x)>0,
所以F(x)在(0,π)上单调递增,
所以F(π4)>F(π6),
即f(π4)sinπ4>f(π6)sinπ6,即f(π4)>2f(π6).
(2)已知函数y=f(x)对于任意的x∈(-π2,π2)满足f'(x)cs x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是( )
A.2f(π3)f(π4)·sin π4,
即-12f(-π6)>22f(π4),
即22f(-π6)