高考数学复习第五章　第三节　第一课时　两角和与差的三角函数（导学案）

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第1课时 两角和与差的三角函数
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β;
(2)公式C(α+β):cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β;
(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β;
(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
点睛(1)当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立;
(2)当α,β,α+β中至少有一个为kπ(k∈Z)时,公式tan(α+β)=tan α+tan β成立.
(3)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.
1.(教材变式)cs 40°sin 70°-sin 40°sin 160°=( )
A.-12B.12C.-32D.32
解析：选B.cs 40°sin 70°-sin 40°sin 160°
=cs 40°cs 20°-sin 40°sin 20°=cs(40°+20°)
=cs 60°=12.
2.(教材变式)已知cs α=-35,α∈π2,π,则
tanα-π4的值为( )
A.7B.-7C.17D.-17
解析：选A.因为cs α=-35,α∈π2,π,
所以sin α=1-cs2α=45,tan α=sinαcsα=-43,则tanα-π4=tanα-11+tanα=7.
3.(混淆公式)已知sinπ6-α=csπ6+α,则tan α=( )
A.-1B.0C.12D.1
解析：选A.由题意可得12cs α-32sin α
=32cs α-12sin α,即sin α+cs α=0,
则tan α=-1.
4.(辅助角变形)若3sin x-cs x=4-m,则实数m的取值范围是( )
A.[2,6]B.[-6,6]C.(2,6)D.[2,4]
解析：选A.若3sin x-cs x=4-m,
则2sinx-π6=4-m,所以-2≤4-m≤2,
求得2≤m≤6.
5.(记错公式符号导致错误)tan 20°+tan 40°+
3tan 20°tan 40°的值为 .
解析：因为tan(20°+40°)=tan20°+tan40°1-tan20°tan40°=tan 60°=3,
所以tan 20°+tan 40°=3(1-tan 20°tan 40°),
所以tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°=3.
答案:3
两角和与差的三角函数公式的应用
角度1 给值求值
[典例1](2023·南宁模拟)已知sinα+π4=45,
α∈π4,π2,则cs α=( )
A.210B.3210C.22D.7210
解析：选A.由α∈π4,π2,得α+π4∈π2,3π4,则csα+π4=-1-sin2(α+π4)=-35,
cs α=cs(α+π4)-π4
=csα+π4cs π4+sinα+π4sin π4
=-35×22+45×22=210.
本例中已知条件不变,则csα-π12= .
解析：由α∈π4,π2,得α+π4∈π2,3π4,
则csα+π4=-1-sin2(α+π4)=-35,
csα-π12=cs(α+π4)-π3
=csα+π4csπ3+sinα+π4sinπ3
=-35×12+45×32=43-310.
答案:43-310
三角函数给值求值问题的解题思路
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=α+β2-α2+β等.
(2)当“已知角”有一个时,此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
角度2 给值求角问题
[典例2]已知角α,β均为锐角,且cs α=255,sin β=31010,则α-β的值为( )
A.π3B.π4
C.-π4D.π4或-π4
解析：选C.因为0