高考数学复习第六章　第二节　平面向量的基本定理及坐标表示（导学案）

这是一份高考数学复习第六章　第二节　平面向量的基本定理及坐标表示（导学案），共18页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。

第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
【课程标准】
1．理解平面向量基本定理及其意义．
2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
4．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．
5．能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．
【必备知识 精归纳】
1．平面向量基本定理
点睛 基底{e1，e2} 必须是同一平面内的两个不共线向量．因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点的坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(x2－x1，y2－y1)，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) ．
3．平面向量共线的坐标表示
向量共线的充要条件的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
点睛 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 eq \f(x1,x2) ＝ eq \f(y1,y2) 等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【常用结论】
1．如果对于一个基底{e1，e2} ，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2 ，那么可以得到 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2，)) 即基底给定，同一向量的分解形式唯一．特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于( )
A．(6，3) B．(－2，－6)
C．(2，1) D．(7，2)
解析：选B.2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).
2．(正确理解基底)下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一个基底的是( )
A．a＝(1，2)，b＝(0，0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3，5)
C．a＝(3，2)，b＝(9，6)
D．a＝(－ eq \f(3,4) ， eq \f(1,2) )，b＝(3，－2)
解析：选B.根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．
3．(易用错向量共线的坐标表示)已知向量a＝(m，m＋3)，b＝(4，m)，则“m＝6”是“a与b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.向量a＝(m，m＋3)，b＝(4，m)，
则a∥b⇔m2－4(m＋3)＝0，解得m＝－2或m＝6，
所以“m＝6”是“a与b共线”的充分不必要条件．
4．(结论2)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－4，－3)，则向量 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A.设C(x，y)，因为A(0，1)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y－1＝－3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－2，)) 所以C(－4，－2)，
又B(3，2)，所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(－7，－4).
5．(结论1)在△ABC 中，M 为AC 的中点，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BM,\s\up6(→)) ＋μ eq \(BC,\s\up6(→)) (λ，μ∈R) ，则下列结论正确的是( )
A．λ＋μ＝1 B．λ－μ＝3
C．λ＋2μ＝0 D．2λ－μ＝0
解析：选C.因为M 为AC 的中点，
所以 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(BM,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
又 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BM,\s\up6(→)) ＋μ eq \(BC,\s\up6(→)) (λ，μ∈R) ，所以λ＝－2 ，μ＝1，所以λ＋2μ＝0.
6．(教材提升)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点， eq \(CE,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(DE,\s\up6(→)) ，若 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ＋y eq \(AD,\s\up6(→)) ，则x＋y＝________．
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(DC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
因为 eq \(CE,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(DE,\s\up6(→)) ，所以 eq \(EC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(EC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) ，
又因为 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ＋y eq \(AD,\s\up6(→)) ，
所以x＝ eq \f(2,3) ，y＝－ eq \f(1,2) ，故x＋y＝ eq \f(1,6) .
答案： eq \f(1,6)
题型一 平面向量基本定理及其应用
[典例1](1)(多选题)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内的一个基底的是( )
A．a＝e1＋e2，b＝e1
B．a＝2e1＋e2，b＝ eq \f(1,2) e1＋ eq \f(1,4) e2
C．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D．a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
解析：选ACD.对A，C，D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合题意；对B，b＝ eq \f(1,4) a，所以a，b共线，所以不符合题意．
(2)如图，在直角梯形ABCD中， eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up6(→)) ，且 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝r eq \(AB,\s\up6(→)) ＋s eq \(AD,\s\up6(→)) ，则2r＋3s＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C.方法一：由题图可得
eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) .
因为 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝r eq \(AB,\s\up6(→)) ＋s eq \(AD,\s\up6(→)) ，所以r＝ eq \f(1,2) ，s＝ eq \f(2,3) ，则2r＋3s＝1＋2＝3.
方法二：因为 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AE,\s\up6(→)) )，
整理，得 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ，
以下同方法一．
方法三：如图，建立平面直角坐标系xAy，
依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.由 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝r eq \(AB,\s\up6(→)) ＋s eq \(AD,\s\up6(→)) ，
得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4m＝4mr＋3ms，,2h＝3hs，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝\f(1,2)，,s＝\f(2,3)，))
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
(3)(2022·苏州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若 eq \(CG,\s\up6(→)) ＝λ eq \(CD,\s\up6(→)) ＋μ eq \(CB,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，则 eq \f(λ,μ) ＝________．
解析：由题图可设 eq \(CG,\s\up6(→)) ＝x eq \(CE,\s\up6(→)) (0则 eq \(CG,\s\up6(→)) ＝x( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) )＝x( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(CD,\s\up6(→)) )＝ eq \f(x,2) eq \(CD,\s\up6(→)) ＋x eq \(CB,\s\up6(→)) .
因为 eq \(CG,\s\up6(→)) ＝λ eq \(CD,\s\up6(→)) ＋μ eq \(CB,\s\up6(→)) ， eq \(CD,\s\up6(→)) 与 eq \(CB,\s\up6(→)) 不共线，
所以λ＝ eq \f(x,2) ，μ＝x，所以 eq \f(λ,μ) ＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
【方法提炼】——自主完善，老师指导
应用平面向量基本定理的关键
(1)合理选择基底，注意基底必须是两个不共线的向量．
(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用基底表示出来．
(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
【对点训练】
1．(2022·北京模拟)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AE,\s\up6(→)) ，则λ－μ的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－3
解析：选D.方法一：由题意，因为E为DC的中点，所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) ，即 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋2 eq \(AE,\s\up6(→)) ，
所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3.
方法二：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为1，则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,2) ，1)，
eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，1)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(0，1)，
因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(λ＋ eq \f(μ,2) ，λ＋μ)，
所以λ＋ eq \f(μ,2) ＝0，λ＋μ＝1，解得λ＝－1，μ＝2，
所以λ－μ＝－3.
2．如图，以向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b为邻边作平行四边形OADB， eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(CD,\s\up6(→)) ，则 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝________．(用a，b表示)
解析：因为 eq \(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ＝a－b，
eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) eq \(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) a－ eq \f(1,6) b，
所以 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BM,\s\up6(→)) ＝b＋( eq \f(1,6) a－ eq \f(1,6) b)＝ eq \f(1,6) a＋ eq \f(5,6) b.
因为 eq \(OD,\s\up6(→)) ＝a＋b，所以 eq \(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,6) eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) a＋ eq \f(2,3) b.
所以 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \(ON,\s\up6(→)) － eq \(OM,\s\up6(→))
＝ eq \f(2,3) a＋ eq \f(2,3) b－ eq \f(1,6) a－ eq \f(5,6) b＝ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,6) b.
答案： eq \f(1,2) a－ eq \f(1,6) b
【加练备选】
1.(多选题)(2023·长沙模拟)已知M是△ABC的重心，D为BC的中点，下列等式成立的是( )
A． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))
B． eq \(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→)) ＝0
C． eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(CD,\s\up6(→))
D． eq \(CM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→))
解析：选ABD.如图所示，因为点M是△ABC的重心，D为BC的中点，可得E，F分别是AC，AB的中点，
由 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))
＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以A正确；
由D为BC的中点，根据向量的平行四边形法则，可得 eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(MD,\s\up6(→)) ，
又由M是△ABC的重心，根据重心的性质，可得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MA)) ＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MD)) ，所以 eq \(MA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(MD,\s\up6(→)) ＝0，
即 eq \(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→)) ＝0，所以B正确；
根据三角形重心的性质，
可得 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,3) ( eq \(BA,\s\up6(→)) －2 eq \(CD,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→)) ，
所以C不正确；
由重心的性质，可得 eq \(CM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(CB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) ( eq \(CA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(CD,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→)) ，所以D正确．
2．如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：① eq \(OA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(OB,\s\up6(→)) ；② eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ；③ eq \f(3,4) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ；④ eq \f(3,4) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,5) eq \(OB,\s\up6(→)) ，若这些向量均以O为起点，则终点P落在阴影区域内(包括边界)的向量是____________.(填序号)
解析：由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝u eq \(OA,\s\up6(→)) ＋v eq \(OB,\s\up6(→)) 成立，且u＋v＝1.可以证明点P位于阴影区域内(包括边界)的充要条件是：满足 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝u eq \(OA,\s\up6(→)) ＋v eq \(OB,\s\up6(→)) ，且u＞0，v＞0，u＋v≥1.
因为1＋2＞1，所以点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．
答案：①③
题型二 平面向量的坐标运算
[典例2]已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝b， eq \(CA,\s\up6(→)) ＝c，且 eq \(CM,\s\up6(→)) ＝3c， eq \(CN,\s\up6(→)) ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量 eq \(MN,\s\up6(→)) 的坐标．
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)；
(2)方法一：因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
方法二：因为a＋b＋c＝0，所以a＝－b－c，
又因为a＝mb＋nc，所以mb＋nc＝－b－c，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，因为 eq \(CM,\s\up6(→)) ＝ eq \(OM,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) ＝3c，
所以 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝3c＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以M(0，20).
又因为 eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \(ON,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) ＝－2b，
所以 eq \(ON,\s\up6(→)) ＝－2b＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)，所以 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝(9，－18).
【一题多变】
[变式1]本例中，若a－2b＋3d＝0，求d.
解析：因为a－2b＋3d＝0，所以d＝－ eq \f(1,3) (a－2b).
因为a－2b＝(5，－5)－(－12，－6)＝(17，1)，
所以d＝－ eq \f(1,3) (a－2b)＝(－ eq \f(17,3) ，－ eq \f(1,3) ).
[变式2]在本例条件下，若四边形ABDC是平行四边形， 对角线AD 与BC 交于点O ，求 eq \(DO,\s\up6(→)) 的坐标．
解析： eq \(DO,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AO,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )
＝－ eq \f(1,2) ×[(5，－5)＋(－1，－8)]
＝－ eq \f(1,2) ×(4，－13)＝(－2， eq \f(13,2) ).
【方法提炼】
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；
(2)注意待定系数法的应用．先求出有关向量的坐标，再用“向量相等，则坐标相同”这一结论，列方程(组)进行求解．
【对点训练】
1．(2022·常德模拟)已知点A(0，1)，B(2，3)，向量 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(－3，1)，则向量 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝( )
A．(1，－2) B．(－1，2)
C．(1，－3) D．(－1，3)
解析：选D.因为A(0，1)，B(2，3)，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，2)，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→))
＝(2，2)＋(－3，1)＝(－1，3).
2．(2023·南通模拟)如图，在同一个平面内，向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) ， eq \(OC,\s\up6(→)) 的模分别为1，1， eq \r(2) ， eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OC,\s\up6(→)) 的夹角为α，且tan α＝7， eq \(OB,\s\up6(→)) 与 eq \(OC,\s\up6(→)) 的夹角为45°.若 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝m eq \(OA,\s\up6(→)) ＋n eq \(OB,\s\up6(→)) (m，n∈R)，则m＋n＝________．
解析：如图所示，建立直角坐标系．A(1，0)， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(1，0).
由 eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OC,\s\up6(→)) 的夹角为α，且tan α＝7.
所以cs α＝ eq \f(1,5\r(2)) ，sin α＝ eq \f(7,5\r(2)) .
因为| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) ，所以C( eq \f(1,5) ， eq \f(7,5) ).
cs (α＋45°)＝ eq \f(\r(2),2) (cs α－sin α)＝－ eq \f(3,5) .
sin (α＋45°)＝ eq \f(\r(2),2) (sin α＋cs α)＝ eq \f(4,5) .
所以B(－ eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) ).所以 eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) ).
因为 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝m eq \(OA,\s\up6(→)) ＋n eq \(OB,\s\up6(→)) (m，n∈R)，
所以 eq \f(1,5) ＝m－ eq \f(3,5) n， eq \f(7,5) ＝0＋ eq \f(4,5) n，解得n＝ eq \f(7,4) ，m＝ eq \f(5,4) .则m＋n＝3.
答案：3
【加练备选】
1.若a＝(－2，3)，b＝(10，m)，且b＝λa，则λ＝________．
解析：因为a＝(－2，3)，b＝(10，m)，且b＝λa，
所以(10，m)＝(－2λ，3λ)，
即－2λ＝10，解得λ＝－5.
答案：－5
2.已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，－1)，C(0，1)，若 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) ，则点D的坐标为( )
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
解析：选D.设D(x，y)，
则 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(x，y－1)，2 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，－2)，
根据 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) ，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y－1＝－2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
题型三 共线向量坐标表示及其应用
角度1 利用向量共线求向量或点的坐标
[典例3](1)(多选题)(2022·东莞模拟)已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与 eq \(AB,\s\up6(→)) 平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(－1，－2) B．a＝(9，3)
C．a＝(－1，2) D．a＝(－4，－8)
解析：选AD.由题意可得 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2).
A选项，a＝(－1，－2)＝－ eq \(AB,\s\up6(→)) ，故满足题意；
D选项，a＝(－4，－8)＝－4 eq \(AB,\s\up6(→)) ，故满足题意；
B，C选项中的a不能用 eq \(AB,\s\up6(→)) 表示，故不满足题意．
(2)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
解析：方法一：由O，P，B三点共线，可设 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(4λ，4λ)，则 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OP,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(4λ－4，4λ).
又 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(－2，6)，
由 eq \(AP,\s\up6(→)) 与 eq \(AC,\s\up6(→)) 共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝ eq \f(3,4) ，所以 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
方法二：设点P(x，y)，则 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝(x，y)，因为 eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(4，4)，且 eq \(OP,\s\up6(→)) 与 eq \(OB,\s\up6(→)) 共线，所以 eq \f(x,4) ＝ eq \f(y,4) ，即x＝y.
又 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(x－4，y)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－2，6)，且 eq \(AP,\s\up6(→)) 与 eq \(AC,\s\up6(→)) 共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
答案：(3，3)
角度2 利用向量共线求参数
[典例4](1)(2023·西安模拟)已知向量 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(4，－4)， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(－3，m)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝
(－1，m)，若A，C，D三点共线，则m＝( )
A．2 B． eq \f(2,3)
C．－2－ eq \r(6) D．－2＋ eq \r(6)
解析：选A.因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(4，－4)，
eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(－3，m)，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，m－4)，
若A，C，D三点共线，则 eq \(AC,\s\up6(→)) ∥ eq \(AD,\s\up6(→)) ，又 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(－1，m)，所以m－(－1)(m－4)＝0，解得m＝2.
(2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，2 022)，向量m＝a＋2b，n＝2a－kb，若m∥n，则实数k＝________．
解析：向量m＝a＋2b＝(1，4 046)，n＝2a－kb＝(－2－k，4－2 022k)，因为m∥n，所以4 046(－2－k)－(4－2 022k)＝0，解得k＝－4.
答案：－4
【方法提炼】
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题；
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
【对点训练】
1．(2023·齐齐哈尔模拟)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，则c的坐标为 __________．
解析：因为a＝(1，4)，b＝(2，3)，
所以a－b＝(－1，1)，因为c∥(a－b)，且|c|＝1，
所以c＝± eq \f(a－b,|a－b|) ，又|a－b|＝ eq \r(2) ，所以c＝ eq \f(a－b,\r(2)) ＝(－ eq \f(\r(2),2) ， eq \f(\r(2),2) )或c＝－ eq \f(a－b,\r(2)) ＝( eq \f(\r(2),2) ，－ eq \f(\r(2),2) ).
答案：( eq \f(\r(2),2) ，－ eq \f(\r(2),2) )或(－ eq \f(\r(2),2) ， eq \f(\r(2),2) )
2．(2022·淮南模拟)已知a＝(x，y)，b＝(x－1，9)(x＞0，y＞0)，若a∥b，则x＋y的最小值为________．
解析：已知a＝(x，y)，b＝(x－1，9)(x＞0，y＞0)，
由a∥b，得9x－y(x－1)＝0，
即 eq \f(1,x) ＋ eq \f(9,y) ＝1，则x＋y＝( eq \f(1,x) ＋ eq \f(9,y) )(x＋y)
＝10＋ eq \f(y,x) ＋ eq \f(9x,y) ≥10＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y)) ＝16，
当且仅当 eq \f(y,x) ＝ eq \f(9x,y) ，即y＝12，x＝4时取等号．
答案：16
【加练备选】
平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ eq \r(5) ，求d的坐标．
解析：(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由题意得2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，解得k＝－ eq \f(16,13) .
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝ eq \r(5) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4（x－4）－2（y－1）＝0，,（x－4）2＋（y－1）2＝5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))
或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.)) 所以d的坐标为(3，－1)或(5，3).
【思维导图·构网络】
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
教材改编
结论应用
易错易混
1，6
4，5
2，3