高考数学复习第六章　第四节　第一课时　余弦定理、正弦定理（导学案）

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第四节 解三角形
第1课时 余弦定理、正弦定理
课程标准
借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.
1.余弦定理
2.正弦定理
点睛已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.
3.三角形常用面积公式
(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A=abc4R.
(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).
1.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A2.(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(2)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA.
1.(教材变式)已知△ABC中,A=π6,B=π4,a=1,则b等于( )
A.2B.1C.3D.2
解析：选D.由正弦定理asinA=bsinB可得b=asinBsinA=2.
2.(教材变式)在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=( )
A.2B.6C.7D.19
解析：选C.易知c=4+9-2×2×3×12=7.
3.(结论1)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则以下结论错误的是( )
A.bcs C+ccs B=a
B.若a2+b2C.若sin 2A=sin 2B,则A=B
D.若A>B,则sin A>sin B
解析：选C.对于A选项,bcs C+ccs B=a⇔sin Bcs C+sin Ccs B=sin A⇔sin(B+C)=sin A,故正确;
对于B选项,c2=a2+b2-2abcs C,当角C为钝角时,则a2+b2对于C选项,若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=π2,故错误;
对于D选项,若A>B,则a>b,所以2Rsin A>2Rsin B,则sin A>sin B,故正确.
4.(应用正弦定理漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的各边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B= .
解析：根据正弦定理asinA=bsinB得,
sin B=bsinAa=2×121=22,
由于b=2>1=a,
所以B=45°或B=135°.
答案:45°或135°
5.(结论2)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.已知A=π3,a=3,则b+csinB+sinC的值为 .
解析：根据正弦定理,得b+csinB+sinC=asinA=3sin π3=2.
答案:2
6.(教材提升)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,则cs A= ,△ABC的面积为 .
解析：依题意得cs A=b2+c2-a22bc=34,
所以sin A=1-cs2A=74,
所以△ABC的面积为12bcsin A=1574.
答案:34 1574
【题型一】利用正、余弦定理解三角形
[典例1](1)(2022·西安模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若A=π3,cs B=277,b=2,则a=( )
A.3B.5C.3D.7
解析：选D.因为A=π3,cs B=277,b=2,所以sin B=217,由正弦定理得a=bsinAsinB=2×32217=7.
(2)(多选题)下列对三角形解的个数的判断中正确的是( )
A.a=30,b=25,A=150°,有一解
B.a=7,b=14,A=30°,有两解
C.a=6,b=9,A=45°,有两解
D.a=3,b=6,A=60°,无解
解析：选AD.A:由正弦定理sin B=bsinAa=512,又0B:由正弦定理sin B=bsinAa=1,又0C:由正弦定理sin B=bsinAa=324>1,显然B无解,错误;
D:由正弦定理sin B=bsinAa=62>1,显然B无解,正确.
(3)(2023·成都模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3sin Asin C=2sin2B,2sin2A+2sin2C=5sin Asin C.
①求B;
②若A>C,b=3,求a,A.
解析：①由题意,得3ac=2b2,2a2+2c2=5ac.
则2ac=43b2,a2+c2=52ac=53b2,
所以cs B=a2+c2-b22ac=23b243b2=12,所以B=π3.
②将b=3代入①中式子,得ac=2,
由2a2+2c2=5ac得,(2a-c)(a-2c)=0.
当2a=c时,解得a=1,c=2;
当a=2c时,解得c=1,a=2.
又A>C,所以a>c,所以a=2,c=1.
所以cs A=b2+c2-a22bc=0,所以A=π2.
综上,a=2,A=π2.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边:利用正弦定理变形公式a=bsinAsinB等或余弦定理a2=b2+c2-2bccs A等求解.
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=asinBb等或余弦定理变形公式cs A=b2+c2-a22bc等求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
1.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=( )
A.1B.2C.5D.3
解析：选D.设AB=c,AC=b,BC=a,结合余弦定理:b2=a2+c2-2accs B可得:19=a2+4-2×2×a×cs120°,即:a2+2a-15=0,解得a=3(a=-5舍去),故BC=3.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于( )
A.2B.3C.2D.3
解析：选D.由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acs A=sin Asin B,又sin A≠0,sin B≠0,则cs A=12.
又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=3.
3.(2022·衡阳模拟)如图,在△ABC中,A=π3,AC=8,点D在AB边上,且BD=2,cs∠BDC=17.
(1)求cs∠ACD;(2)求BC的长.
解析：(1)由题图知∠ACD=∠BDC-∠A,因为cs∠BDC=17,所以sin∠BDC=437,所以cs∠ACD=cs(∠BDC-∠A)=cs∠BDC·cs π3+sin∠BDC·sin π3=17×12+437×32=1314.
(2)由(1)可得sin∠ACD=3314,
在△ACD中,利用正弦定理可得:ADsin∠ACD=ACsin∠CDA⇒AD=ACsin∠ACDsin∠CDA=8×3314437=3,在△ABC中,AB=3+2=5,利用余弦定理可得:BC2=82+52-2×8×5×12=49,所以BC=7.
【加练备选】
1.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=1∶3∶1,则B=( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：选C.设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
因为sin A∶sin B∶sin C=1∶3∶1,所以a∶b∶c=1∶3∶1.设a=x,则b=3x,c=x,由余弦定理可得cs B=a2+c2-b22ac=x2+x2-(3x)22x2=-12,故B=120°.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆的半径R=( )
A.823B.1433C.73D.733
解析：选D.因为b=8,c=3,A=60°,所以a2=b2+c2-2bccs A=64+9-2×8×3×12=49,所以a=7,所以此三角形外接圆的直径2R=asinA=732=1433,所以R=733.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=66b,sin B=6sinC.求cs A的值.
解析：在△ABC中,由bsinB=csinC及sin B=
6sin C,可得b=6c,又由a-c=66b,得a=2c,
所以cs A=b2+c2-a22bc=6c2+c2-4c226c2=64.
【题型二】利用正、余弦定理判断三角形形状
[典例2]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcs C+ccs B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.不确定
解析：选A.方法一(化角为边):
因为bcs C+ccs B=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a22a=a,所以asin A=a,即sin A=1,故A=π2,因此△ABC是直角三角形.
方法二(化边为角):因为bcs C+ccs B=asin A,
所以sin Bcs C+sin Ccs B=sin2A,
即sin(B+C)=sin2A,所以sin A=sin2A,
故sin A=1,即A=π2,因此△ABC是直角三角形.
方法三(射影定理):bcs C+ccs B=a=asin A,所以sin A=1,故A=π2,
因此△ABC是直角三角形.
[变式1]本例条件“bcs C+ccs B=asin A”改为“csAcsB=ba=2”,试判断△ABC的形状.
解析：因为csAcsB=ba,由正弦定理得csAcsB=sinBsinA,所以sin 2A=sin 2B.由ba=2,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈(0,π),所以2A=180°-2B,即A+B=90°,所以C=90°,所以△ABC是直角三角形.
[变式2]本例条件“bcs C+ccs B=asin A”改为“sinAsinB=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc”,试判断△ABC的形状.
解析：因为sinAsinB=ac,所以ab=ac,所以b=c.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
所以b2+c2-a2=bc,
所以cs A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.
因为A∈(0,π),所以A=π3,
所以△ABC是等边三角形.
判定三角形形状的两种常用途径
1.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解析：(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,
故cs A=-12,又0(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=34.
又sin B+sin C=1,联立两式得sin B=sin C=12.
因为A为钝角,所以B,C为锐角,
故B=C=π6,
所以△ABC是以A为顶角的等腰三角形.
2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acsA=bcsB=ccsC,试判断△ABC的形状.
解析：因为acsA=bcsB=ccsC,
根据正弦定理得sinAcsA=sinBcsB=sinCcsC,即tan A=tan B=tan C,
结合正切函数的单调性可知A=B=C,
所以△ABC是等边三角形.
【加练备选】
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cA.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
解析：选A.依题意得sin C所以sin(A+B)即cs Bsin A+sin Bcs A-sin Bcs A<0,
所以cs Bsin A<0.又sin A>0,于是有cs B<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.
【题型三】正、余弦定理的综合应用
角度1 与三角形面积有关的问题
[典例3](2023·襄阳模拟)如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sin 2C=sin B,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的平分线.
(1)求cs C及线段BC的长;
(2)求△ADE的面积.
解析：(1)根据题意,sin 2C=sin B⇒2sin Ccs C=sin B,由正弦定理知:2ccs C=b,
又b=3,c=6,所以cs C=b2c=14,
又由cs C=a2+b2-c22ab=14,
解得a=6,即BC=6.
(2)根据题意,因为AD为BC边上的中线,
所以CD=12BC=3,因为AE平分∠BAC,
所以S△ABES△ACE=12AB·AEsin∠BAE12AC·AEsin∠CAE=12BE·ℎ12CE·ℎ,
故ABAC=BECE=2,
可得CE=13BC=2,cs C=14,则sin C=154,
所以S△ADE=S△ACD-S△ACE=12×3×3×154-12×3×2×154=3158.
角度2 最值或范围问题
[典例4](2022·西安模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且bsin B-asin A=2bsinA+π6-csin C.
(1)求角A的大小;
(2)求sin C·cs B的取值范围.
解析：(1)bsin B-asin A=2bsinA+π6-csin C=2bsin Acs π6+2bcs Asin π6-csin C,
由正弦定理得
b2-a2=2bcsin Acs π6+2bccs Asin π6-c2,
所以3bcsin A+bccs A=b2+c2-a2=2bccs A,3sin A=cs A,cs A≠0,所以tan A=33,
又A∈(0,π),所以A=π6;
(2)△ABC为锐角三角形,所以A+B=π6+B>π2,B>π3,即π3sin Ccs B=sin5π6-Bcs B=sin 5π6cs B-cs 5π6sin Bcs B=12cs2B+32sin Bcs B=1+cs2B4+34sin 2B=1232sin 2B+12cs 2B+14=12sin2B+π6+14,π3则5π6<2B+π6<7π6,-12所以0即sin Ccs B的取值范围是0,12.
1.求解三角形面积问题的方法技巧
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
2.解三角形中的最值或范围问题的两种解法
(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.
1.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= .
解析：设CD=2BD=2m>0,则在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcs∠ADB=m2+4+2m,在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD·ADcs∠ADC=4m2+4-4m,
所以AC2AB2=4m2+4-4mm2+4+2m=4m2+4+2m-121+mm2+4+2m
=4-12m+1+3m+1≥4-122m+1·3m+1
=4-23,
当且仅当m+1=3m+1即m=3-1时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,BD=3-1.
答案:3-1
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-3cacsB=tan B+tan A.
(1)求A;
(2)若D为BC上一点,且BC=3BD=3AB,AD=3,求△ABC的面积.
解析：(1)在△ABC中,因为-3cacsB=tan B+tan A,
所以由正弦定理得:-3sinCsinAcsB=sinBcsB+sinAcsA,即-3sinCsinAcsB=sinBcsA+csBsinAcsBcsA=
sin(A+B)csBcsA=sinCcsBcsA,
因为sin C≠0,cs B≠0,
所以-3sinA=1csA,即tan A=-3,
因为A∈(0,π),所以A=2π3.
(2)在△ABC中,因为BC=3BD=3AB,A=2π3,所以a=3c,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccs A,即b2+bc-2c2=0,解得b=c(b=-2c舍去),
因为=+=+13=+13(-)=23+13,所以=23+132.即32=49c2+2×29bccs 2π3+19b2,
因为b=c,所以32=13c2,解得:c2=27,
所以△ABC的面积S△ABC=12bcsin A=12×27×32=2734.
【加练备选】
1.在①asin 2C=4csin Ccs2A2;②a2-c2=bc这两个条件中任取一个,补充在下面问题中,并解答补充完整的题目.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,已知 .
(1)求证:A=2C;
(2)若2a=3c,且b=5,求S的值.
解析：(1)若选择①,
由asin 2C=4csin Ccs2A2,
得a·2sin Ccs C=4c·sin C·1+csA2,
因为sin C≠0,所以a·cs C=c·(1+cs A),
所以sin Acs C=sin C+sin Ccs A,得sin(A-C)=sin C,
因为0所以-π若选择②,由a2-c2=bc及a2=b2+c2-2bccs A,得bc=b2-2bccs A,
得c=b-2ccs A,由正弦定理得,sin C=sin B-2sin Ccs A,
所以sin C=sin(A+C)-2sin Ccs A,则sin C=sin Acs C+cs Asin C-2sin Ccs A,
所以sin C=sin Acs C-cs Asin C=sin(A-C),
因为0所以-π(2)由(1)知,A=2C,由2a=3c及正弦定理得2sin A=3sin C,
所以2sin 2C=3sin C,则4sin Ccs C=3sin C,
因为sin C≠0,所以cs C=34,sin C=1-916=74,由余弦定理c2=b2+a2-2abcs C,得c2=25+94c2-15c·34,得c2-9c+20=0,解得c=4或c=5,当c=4时,a=6,S=12absin C=12×6×5×74=1574,当c=5时,a=152,
S=12absin C=12×152×5×74=75716.
综上所述:S=1574或S=75716.
2.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,且acs C+12c=b.
(1)求A;
(2)若a=1,求△ABC的周长L的取值范围.
解析：(1)因为acs C+12c=b,
所以由正弦定理得sin Acs C+12sin C=sin B,
因为sin B=sin (A+C)=sin Acs C+cs Asin C,所以12sin C=cs Asin C,
因为sin C≠0,所以cs A=12,
又因为0(2)由正弦定理得b=asinBsinA=2sinB3,c=asinCsinA=2sinC3,
所以L=a+b+c=1+23(sin B+sin C)
=1+23sinB+sin(A+B)
=1+232sinB+12csB=1+2sinB+π6,
因为A=π3,所以B∈0,2π3,
所以B+π6∈π6,5π6,
所以sinB+π6∈12,1,则L∈(2,3].
故△ABC的周长L的取值范围是(2,3].
条件
在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c
内容
a2= b2+c2-2bccs A ;
b2= c2+a2-2cacs B ;
c2= a2+b2-2abcs C
变形
cs A= b2+c2-a22bc ;
cs B= c2+a2-b22ac ;
cs C= a2+b2-c22ab
条件
在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为外接圆半径
内容
asinA= bsinB = csinC =2R
变形
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R
教材改编
结论应用
易错易混
1,2,6
3,5
4