高考数学复习第七章　第二节　等差数列（导学案）

这是一份高考数学复习第七章　第二节　等差数列（导学案），共21页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，一题多变，加练备选，解题提示等内容，欢迎下载使用。

第二节 等差数列
【课程标准】
1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
【必备知识·精归纳】
1.等差数列的有关概念
点睛三个数成等差数列,设为a-d,a,a+d;
四个数成等差数列,设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
2.等差数列的前n项和公式
点睛1.等差数列前n项和公式可变形为
Sn=d2n2+(a1-d2)n.当d≠0时,它是关于n的二次函数,表示为Sn=An2+Bn(A,B为常数);
2.a1>0,d<0,则Sn存在最大值.
a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.
(1)等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N*).
(3)Snn也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差为12d.
(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.
(5)若数列{an},{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则anbn=S2n−1T2n−1;
(6)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n,则S偶-S奇=nd,S奇S偶=anan+1.
②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,
S奇-S偶=an,S奇S偶=nn−1.
点睛若{an}为等差数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是am+an=ap+aq成立的充分不必要条件.
【基础小题·固根基】
1.(不理解等差数列的定义)(多选题)下列数列中是等差数列的是( )
A.a-d,a,a+d
B.2,4,6,8,…,2(n-1),2n
C.a-2d,a-d,a+d,a+2d(d≠0)
D.an-1=an-12(n∈N*,n>1)
解析：选ABD.对于A选项,由于(a+d)-a=a-(a-d)=d,故是等差数列,正确;
对于B选项,2,4,6,8,…,2(n-1),2n中,
2n-2(n-1)=2,是等差数列,正确;
对于C选项,因为a-d-(a-2d)=d,(a+d)-(a-d)=2d,又d≠0,即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差,故不是等差数列;
对于D选项,由an-1=an-12(n∈N*,n>1)得
an-an-1=12(n∈N*,n>1),满足等差数列定义.
2.(教材变式)等差数列{an}中,a3+a9=6,则{an}的前11项和等于( )
A.-33B.33C.27D.-27
解析：选B.S11=11(a1+a11)2=11(a3+a9)2=112×6=33.
3.(教材变式)由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( )
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
解析：选C.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,
所以新数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
4.(求最值忽视an=0的项)已知等差数列{an}的通项公式为an=5n-15,当Sn取得最小值时,n等于 .
解析：令an=5n-15=0,得n=3,即a3=0,又当1≤n<3时,an<0,故当n=2或n=3时,Sn取得最小值.
答案:2或3
【题型一】等差数列的基本运算
[典例1](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5=-14,S3=-39,则S10=( )
A.6B.10C.12D.20
解析：选B.因为a2+a5=2a1+5d=-14,
S3=3a1+3d=-39,解得a1=-17,d=4,
所以S10=10a1+45d=-170+45×4=10.
(2)(2022·杭州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=42,则a2+a3+a7= ( )
A.12B.15C.18D.21
解析：选C.由等差中项的性质得S7=7a4=42,
a4=6,即a1+3d=6,
a2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1+6d=3a1+9d=3(a1+3d)=18(或a2+a3+a7=a1+a4+a7=3a4=18).
(3)已知在等差数列{an}中,a1+a3=12,a2+a4=18,n∈N*,则a3+a6+a9+…+a3n=( )
A.92(n2+n)B.32(n2+n)
C.92(n2+2n)D.32(n2+2n)
解析：选A.因为{an}是等差数列且a1+a3=12,a2+a4=18,所以2a1+2d=12,2a1+4d=18,
解得d=3,a1=3.
则an=3+(n-1)×3=3n,n∈N*,
a3,a6,a9,…,a3n构成首项为a3=9,公差为9的等差数列,则a3+a6+a9+…+a3n=9n+12n(n-1)×9=92(n2+n).
(4)(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )
A.an=2n-5B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n
解析：选A.方法一:设等差数列{an}的公差为d,因为S4=0,a5=5,所以4a1+4×32d=0,a1+4d=5,
解得a1=−3,d=2,
所以an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,
Sn=na1+n(n−1)2d=n2-4n.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,
因为S4=0,a5=5,所以4a1+4×32d=0,a1+4d=5,
解得a1=−3,d=2.
选项A,a1=2×1-5=-3;
选项B,a1=3×1-10=-7,排除B;
选项C,S1=2-8=-6,排除C;
选项D,S1=12-2=-32,排除D.
【方法提炼】
解决等差数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换求解.
【对点训练】
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N*),则a2 023的值为( )
A.2 026B.4 040C.5 044D.3 020
解析：选B.由题意得
am=a1+(m−1)d=4,Sm=ma1+m(m−1)2d=0,Sm+2−Sm=am+1+am+2=2a1+(m+m+1)d=14,
解得a1=−4,m=5,d=2,
所以an=-4+(n-1)×2=2n-6,
则a2 023=2×2 023-6=4 040.
2.已知{an}是公差不为零的等差数列,且a1+a10=a9,则S9a10= .
解析：因为a1+a10=a9,
所以a1+a1+9d=a1+8d,即a1=-d.
所以a1+a2+…+a9=S9=9a1+9×82d=27d,
a10=a1+9d=8d,所以S9a10=278.
答案:278
3.(2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .
解析：方法一(观察归纳法):
数列{2n-1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;
数列{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….
观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,
则an=1+6(n-1)=6n-5.
故前n项和为Sn=n(a1+an)2=n(1+6n−5)2=3n2-2n.
方法二(引入参变量法):
令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,
则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数.
令m=2t-1,则n=3t-2(t=1,2,3,…).
at=b3t−2=c2t−1=6t-5,即an=6n-5.
以下同方法一.
答案:3n2-2n
4.已知等差数列{an},满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,则数列{an}的通项公式为 .
解析：因为{an}是等差数列,且a2+a3+a4=18,所以3a3=18,a3=6,因为a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,
所以a2+a4=12,a2·a4=11,解得a2=11,a4=1,或a2=1,a4=11.
当a2=11,a4=1,时,a1=16,d=-5.
所以an=a1+(n-1)d=16+(n-1)×(-5)
=-5n+21,
当a2=1,a4=11时,a1=-4,d=5.
所以an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)×5=5n-9.
综上an=-5n+21或an=5n-9.
答案:an=-5n+21或an=5n-9
【题型二】等差数列的判定与证明
[典例2]已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,若数列{an}是等差数列,且a2=3a1.证明:数列{Sn}是等差数列.
【证明】由已知{an}是等差数列,设数列{an}的公差为d,
因为a2=3a1,所以a2=3a1=a1+d,得d=2a1,所以Sn=na1+n(n−1)2d=n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数,
所以Sn=na1,
所以Sn+1-Sn=(n+1)a1-na1
=a1(常数),所以数列{Sn}是等差数列.
【一题多变】
[变式]已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,且a2=3a1,若{Sn}是等差数列.证明:数列{an}是等差数列.
【证明】已知数列{Sn}是等差数列,a2=3a1,
所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.
设数列{Sn}的公差为d,d>0,
则S2-S1=4a1-a1=d,得a1=d2,
所以Sn=S1+(n-1)d=nd,
所以Sn=n2d2,
所以an=Sn-Sn−1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2(n≥2),是关于n的一次函数,且a1=d2满足上式,所以数列{an}是等差数列.
【方法提炼】
证明数列是等差数列的主要方法
1.定义法:对于n≥2的任意自然数,证明an-an−1为同一常数.
2.等差中项法:验证2an−1=an+an−2(n≥3,n∈N*)都成立.
【对点训练】
1.已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·Sn−1=0(n≥2),a1=12.求证:1Sn是等差数列并求Sn.
解析：因为an=Sn-Sn−1(n≥2),
又an=-2Sn·Sn−1,
所以Sn−1-Sn=2Sn·Sn−1,Sn≠0.
因此1Sn-1Sn−1=2(n≥2).故由等差数列的定义知1Sn是以1S1=1a1=2为首项,2为公差的等差数列,所以1Sn=1S1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,即Sn=12n.
2.已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.证明数列ann是等差数列,并求{an}的通项公式.
解析：由已知得nan+1−(n+1)ann(n+1)=2,即an+1n+1-ann=2,所以数列ann是首项为a11=1,公差为d=2的等差数列,则ann=1+2(n-1)=2n-1,
所以an=2n2-n.
【加练备选】
(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1bn=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解析：(1)由已知可得:2Sn+1bn=2,
bnbn−1=Sn(n≥2)
⇒2bn−1bn+1bn=2(n≥2)⇒2bn−1+1=2bn(n≥2)⇒bn-bn−1=12(n≥2),b1=32.
故{bn}是以32为首项,12为公差的等差数列.
(2)由(1)知bn=32+12(n-1)=n+22,
则2Sn+2n+2=2⇒Sn=n+2n+1.
n=1时,a1=S1=32.
n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1).
故an=32,n=1,−1n(n+1),n≥2.
【题型三】等差数列的性质
角度1 等差数列的项的性质
[典例3](1)已知等差数列a1,a2,a3,…,an-1,an,前6项和为10,最后6项和为110,所有项和为360,则该数列的项数n=( )
A.26B.30C.36D.48
解析：选C.由题意知a1+a2+…+a6=10,an+an-1+…+an-5=110,
两式相加得6(a1+an)=120,所以a1+an=20,又n(a1+an)2=360,所以n=36.
(2)已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.则数列中间一项的值为 ,项数为 .
解析：设等差数列{an}的项数为2n-1,所有的奇数项和为S,则S=n(a1+a2n−1)2=nan,
设所有的偶数项和为T,
则T=(n−1)(a2+a2n−2)2=(n-1)an,
TS=n−1n=261290=910,解得n=10,
项数2n-1=19,中间一项为a10,由S=10a10=290,得a10=29,所以此数列中间一项是29,项数为19.
答案:29 19
角度2 等差数列前n项和的性质
[典例4](1)已知数列{an}是等差数列S3S6=13,则S6S12=( )
A.310B.13C.18D.19
解析：选A.由S3S6=13,得S6=3S3,
设S3=m,则S6=3m.
因为数列{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,
S9-S6,S12-S9,…,是以m为首项,m为公差的等差数列,所以S9-S6=3m,S12-S9=4m,
所以S9=6m,S12=10m,所以S6S12=3m10m=310.
(2)(2023·巴中模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-2 022,且S2 0232 023-S2 0222 022=1,则S2 023=( )
A.0B.1C.2 022D.2 023
解析：选A.设等差数列的公差为d,
则Sn=na1+n(n−1)2d,Snn=a1+n−12d,
因为Sn+1n+1-Snn=12d,所以Snn是等差数列.
因为S2 0232 023-S2 0222 022=1,
所以S2 0232 023=-2 022+(2 023-1)×1=0,
所以S2 023=0.
(3)设等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn.若对于任意的正整数n都有SnTn=2n+13n−1,则a9b9= .
解析：对于等差数列的前n项和满足S2n-1=(2n-1)an,知道anbn=S2n−1T2n−1,所以a9b9=S17T17=2×17+13×17−1=3550=710.
答案:710
【一题多变】
[变式1]本例(3)中条件不变,则a8b9=( )
A.3552B.3150C.3148D.3546
【解题提示】先设Sn=(2n+1)nt,
Tn=(3n-1)nt,由a8=S8-S7,b9=T9-T8计算a8b9.
解析：选B.设Sn=(2n+1)nt,Tn=(3n-1)nt,t≠0.则a8=S8-S7=136t-105t=31t,b9=T9-T8=234t-184t=50t,所以a8b9=3150.
[变式2]本例(3)中条件不变,则b2+b8a3+a5+a7= .
解析：由b2+b8a3+a5+a7=2b53a5=23×b5a5=23×T9S9=23×2619=5257.
答案:5257
角度3 等差数列前n项和的最值
[典例5]等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是( )
A.5B.6C.7D.8
解析：选C.
方法一(邻项变号法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,
根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.
根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时,Sn最大.
方法二(函数法):设公差为d,由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,
得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.
根据二次函数的性质,知当n=7时,Sn最大.
方法三 (图象法):根据a1=13,S3=S11,
知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n=3+112=7时,Sn取得最大值.
【一题多变】
本例中将“a1=13,S3=S11”改为“a1=20,S10=S15”,则Sn最大时,n为何值?
解析：因为a1=20,S10=S15,
所以10×20+10×92d=15×20+15×142d,
所以d=-53.
方法一:由an=20+(n-1)×−53=-53n+653,
得a13=0.即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.
所以当n=12或n=13时,Sn取得最大值.
方法二:Sn=20n+n(n−1)2·−53=-56n2+1256n=-56n−2522+3 12524.
因为n∈N*,所以当n=12或n=13时,Sn有最大值.
方法三:由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.
所以5a13=0,即a13=0.又a1=20>0,
所以{an}为单调递减数列,
所以当n=12或n=13时,Sn有最大值.
【加练备选】
1.已知等差数列{an}中,a1=7,设其前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则公差d的取值范围是( )
A.(-1,+∞) B.(-1,- 78)
C.(- 78,- 79)D.(- 76,-1)
解析：选B.由题意知数列{an}是递减数列,且a8>0,a9<0,又因为a1=7,所以7+7d>0,7+8d<0,即-12.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=-1,S8=4,则Sn的最小值为 .
解析：设等差数列{an}的公差为d.由题意可知a1+3d=−1,8a1+28d=4,解得a1=−10,d=3,
则数列{an}的前n项和Sn=na1+n(n−1)d2=32n2-232n.而函数f(x)=32x2-232x的零点为x=0和x=233,故当n接近0或233时,Sn取得最小值.又S1=10,S7=7,S8=4,
所以当n=8时,Sn的最小值为4.
答案:4
【方法提炼】——自主完善,老师指导
等差数列前n项和最值的求法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解;
(2)邻项变号法
①当a1>0,d<0时,满足am≥0,am+1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
②当a1<0,d>0时,满足am≤0,am+1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
【对点训练】
1.(2023·平顶山模拟)已知Sn为正项等差数列{an}的前n项和,若a3+a9=a62,则S11=( )
A.22B.20C.16D.11
解析：选A.由a3+a9=a62及a3+a9=2a6可得2a6=a62,a6=2,故S11=11(a1+a11)2=11a6=22.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S2=3,S4=18,则S6=( )
A.36B.45C.63D.75
解析：选B.因为Sn为等差数列{an}的前n项和,所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即3,15,S6-18成等差数列,所以3+(S6-18)=30,解得S6=45.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a5a3=59,则S9S5=( )
A.1B.-1C.2D.12
解析：选A.方法一:S9S5=9(a1+a9)5(a1+a5)=9a55a3,
因为a5a3=59,所以S9S5=1.
方法二:a5a3=59⇒a1+4da1+2d=59⇒2a1=-13d,
所以S9S5=9(a1+a9)5(a1+a5)=9(2a1+8d)5(2a1+4d)=9(−5d)5(−9d)=1.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm−1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于( )
A.3B.4C.5D.6
解析：选C.因为数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,所以数列Snn也为等差数列.所以Sm−1m−1+Sm+1m+1=2Smm,即−2m−1+3m+1=0,解得m=5.
5.(多选题)(2022·永州模拟)已知等差数列{an}是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则( )
A.d>0
B.a8=0
C.S15>0
D.S7,S8均为Sn的最大值
解析：选BD.因为等差数列{an}是递减数列,
所以an+1-an<0,所以d<0,故A错误;
因为S7=S8,所以a8=S8-S7=0,故B正确;
因为S15=15(a1+a15)2=15a8=0,故C错误;
由题意得a7>0,a8=0,a9<0,所以S7=S8≥Sn(n∈N*),故D正确.
【加练备选】
1.(2023·张家口模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,且S3=S19,则S21=( )
A.1B.2C.3D.4
解析：选B.方法一:因为S3=S19,所以S19-S3=a4+a5+…+a19=8(a4+a19)=0,
所以a4+a19=0,所以S21=a1+a2+a3+(a4+a5+…+a19)+a20+a21=a1+a2+a3+a20+a21=a1+2(a4+a19)=a1=2.
方法二:将Sn=An2+Bn看成二次函数f(x)=Ax2+Bx,当x=n时的函数值Sn=f(n),根据二次函数的对称性,由S3=S19可知,Sn的图象关于n=11对称,因此S21=S1=a1=2.
2.已知{an}为等差数列,a1>0,a2 021·a2 022<0,a2 0212-a2 0222>0,则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )
A.2 021B.4 044C.4 043D.4 042
【解题提示】由已知可得a2 021>0,a2 022<0,
a2 021+a2 022>0,根据等差数列求和公式计算,判断S4 042和S4 043的正负求解.
解析：选D.因为{an}为等差数列,a1>0,
a2 021·a2 022<0,a2 0212-a2 0222>0,
所以a2 021>0,a2 022<0,a2 021+a2 022>0,
则S4 042=4 042(a1+a4 042)2=2 021(a2 021+a2 022)>0,S4 043=4 043(a1+a4 043)2=4 043a2 022<0,
则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 042.
【题型四】等差数列在实际生活中的应用
[典例6](1)(2022·南通模拟)《张丘建算经》曾有类似记载:“今有女子善织布,逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同)”.若该女子第一天织布两尺,前二十日共织布六十尺,则该女子第二十日织布( )
A.三尺B.四尺C.五尺D.六尺
解析：选B.用an表示该女子第n天织布尺寸,则a1=2,S20=60,由S20=20(a1+a20)2得
10×(2+a20)=60,a20=4.
(2)我国古人将一年分为24个节气,如图所示,相邻两个节气的日晷长变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中夏至到立冬的日晷长的和为 尺.
解析：因为相邻两个节气的日晷长变化量相同,所以每个节气的日晷长构成等差数列,设冬至日晷长13.5尺为a1,则芒种日晷长2.5尺为a12,所以d=a12−a112−1=-1,所以夏至日晷长为1.5尺,记夏至日晷长1.5尺为b1,小暑为b2,大暑为b3,…,立冬为b10,则b1+b2+…+b10=10×1.5+10×(10−1)2×1=60.
答案:60
【方法提炼】
实际问题中,涉及相同的增加(或减少)量问题,可以抽象为等差数列模型求解.
【对点训练】
1.(2023·昆明模拟)《九章算术》是我国一部杰出的数学著作,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共出百钱.欲令高爵出少,以次渐多,问各几何?”意思是:“有大夫、不更、簪袅、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱,按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列,这5个人各出多少钱?”在这个问题中,若不更出17钱,则公士出的钱数为( )
A.10B.14C.23D.26
解析：选D.设大夫、不更、簪袅、上造、公士所出的钱数依次排成一列,构成数列{an}.由题意可知,等差数列{an}中a2=17,前5项和为100.
设公差为d(d>0),前n项和为Sn,则S5=5a3=100,解得a3=20.
所以d=a3-a2=3,所以公士出的钱数为a5=a3+2d=20+2×3=26.
2.(多选题)(2022·南通模拟)朱世杰是历史上伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.”其大意为:“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天比前一天多派7人,官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则( )
A.将这1 864人派遣完需要16天
B.第十天派往筑堤的人数为134
C.官府前6天共发放1 467升大米
D.官府前6天比后6天少发放1 260升大米
【解题提示】依题意第n天派遣的人数与第n天获得的大米升数均为等差数列,利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解.
解析：选ACD.记数列{an}为第n天派遣的人数,数列{bn}为第n天发放的大米升数,则{an}是以64为首项,7为公差的等差数列,即an=7n+57,{bn}是以192为首项,21为公差的等差数列,即bn=21n+171,所以a10=7×10+57=127,B不正确;
设第k天派遣完这1 864人,则64k+7k(k−1)2=1 864,解得k=16(负值舍去),A正确;
官府前6天共发放大米192×6+6×52×21
=1 467(升),C正确;
官府前6天比后6天少发放大米21×10×6
=1 260(升),D正确.
【备选题型】等差数列中求{|an|}的前n项和问题
[典例]若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
解析：因为a1=13,d=-4,所以an=17-4n,所以a4=1,a5=-3.
当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
=na1+n(n−1)2d=13n+n(n−1)2×(-4)
=15n-2n2;
当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an)
=T4-(Tn-T4)=2T4-Tn
=2×(13+1)×42-(15n-2n2)=2n2-15n+56.所以Tn=15n−2n2,n≤4,2n2−15n+56,n≥5.
【方法提炼】
已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的方法
先根据通项公式判断{an}的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数列的求和问题.要注意转化的等价性.
【对点训练】
1.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2,则下列说法正确的是( )
A.an=34-2n
B.S16为Sn的最小值
C.|a1|+|a2|+…+|a16|=272
D.|a1|+|a2|+…+|a30|=450
解析：选AC.数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2.
当n=1时,a1=32,当n≥2时,an=Sn-Sn−1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=-2n+34,
当n=1时也成立,所以an=34-2n,故A正确;
由于Sn=33n-n2=-(n-332)2+3324,当n=16或17时,Sn取得最大值,故B错误;
由于an=-2n+34≥0,解得n≤17,
所以|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16=16×(32+2)2=272,故C正确;
所以|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16-(a17+a18+…+a30)=272-14×(0−26)2=454,故D错误.
2.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列
{|an|}的前18项和T18= .
解析：由a1>0,a10·a11<0知d<0,且a10>0,a11<0,所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.
答案:60
【思维导图·构网络】
定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
通项
公式
设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=a1+(n-1)d
等差
中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b
已知条件
前n项和公式
a1,an,n
Sn=n(a1+an)2
a1,d,n
Sn=na1+n(n−1)2d
教材改编
易错易混
2,3
1,4