高考数学复习第八章　第四节　空间直线、平面的垂直（导学案）

这是一份高考数学复习第八章　第四节　空间直线、平面的垂直（导学案），共26页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，加练备选，方法提炼，对点训练，思维导图·构网络等内容，欢迎下载使用。
第四节 空间直线、平面的垂直
【课程标准】
1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的定义,归纳出有关垂直的性质定理和判定定理,并加以证明.
2.能运用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
【必备知识·精归纳】
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
点睛证明线面垂直关键满足:(1)两条,(2)相交.
2.直线和平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是90°;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°.
(2)范围:0,π2
3.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.
(3)二面角的平面角θ的范围:0°≤θ≤180°.
4.平面与平面垂直
(1)定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
【常用结论】
1.若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
2.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
3.一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
4.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
【基础小题·固根基】
1.(教材提升)从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
A.互为余角B.相等
C.其和为周角D.互为补角
解析：选D.如图,A为二面角α-l-β内任意一点,AB⊥α,AC⊥β,过B作BD⊥l于D,连接CD,
因为AB⊥α,l⊂α,所以AB⊥l,
因为AC⊥β,l⊂β,所以AC⊥l,且AB∩AC=A,
所以l⊥平面ABCD,且CD⊂平面ABCD,
所以l⊥CD,
则∠BDC为二面角α-l-β的平面角,∠ABD=∠ACD=90°,
∠BAC为两条垂线AB与AC所成角,
所以∠A+∠BDC=180°,
所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角.
2.(结论1)已知l1,l2是平面α内的两条直线,l是空间的一条直线,则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：选A.当l⊥α时,l1⊂α,l2⊂α,所以l⊥l1且l⊥l2;当l⊥l1且l⊥l2,l1⊂α,l2⊂α,但l1,l2是否相交无法判断,所以l⊥α可能成立,也可能不成立.综上,“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件.
3.(多选题)(结论4)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是( )
A.若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则m∥n
B.若m∥n,m∥α,则n∥α
C.若α∩β=n,α⊥γ,β⊥γ,则n⊥γ
D.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,则β∥γ
解析：选ACD.对于选项A,由线面平行的性质可得正确;
对于选项B,若m∥n,m∥α,则n⊂α或n∥α,故错误;
对于选项C,若α⊥γ,则在γ内可作a⊥α,因为α∩β=n,所以n⊂α,则a⊥n,同理,可在γ内可作b⊥β,可得b⊥n,因为α∩β=n,所以a,b也相交,所以n⊥γ,故正确;
对于选项D,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又α∥γ,则由平行的传递性可得β∥γ,故正确.
4.(三角形的“心”概念混淆)在三棱锥P-ABC中,点O是点P在底面ABC内的射影.
①若PA=PB=PC,则O是△ABC的 心;
②若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的 心;
③若侧面PAB,PBC,PAC与底面ABC所成的二面角相等,则O是△ABC的 心.
解析：由三棱锥P-ABC中,点O是点P在底面ABC内的射影,知:
①若PA=PB=PC,则OA=OB=OC,
所以O是△ABC的外心;
②若PA⊥BC,PB⊥AC,
则AO⊥BC,BO⊥AC,
所以O是△ABC的垂心;
③若侧面PAB,PBC,PAC与底面ABC所成的二面角相等,
则点O到AB,AC,BC的距离相等,
所以O是△ABC的内心.
答案:①外 ②垂 ③内
题型一 垂直关系的判断
[典例1](多选题)(1)已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,下列四个命题中真命题是( )
A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
B.若α∥β,α⊥γ,则β⊥γ
C.若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β
D.若α⊥β,α∩β=n,m∥α,m⊥n,则m⊥β
解析：选ABD.对于A,因为α,β是不重合的平面,m⊥α,m⊥β,所以α∥β,正确;
对于B,因为α⊥γ,则存在直线a⊂α且a⊥γ,设a和β内一点P确定的平面与β的交线为b,因为α∥β,所以b∥a,从而b⊥γ,而b⊂β,所以β⊥γ,正确;
对于C,若m∥α,n∥β,m∥n,α,β可能相交,不一定平行,错误;
对于D,由m∥α,m⊥n,得在平面α内一定存在m'∥m,且m'⊥n,又α⊥β,α∩β=n,所以m'⊥β,所以m⊥β,正确.
(2)(2023·潍坊模拟)如图所示,平面PAD⊥矩形ABCD,且PA⊥AD,下列结论中不正确的是( )
A.PD⊥BDB.PD⊥CD
C.PB⊥BCD.PA⊥BD
解析：选A.因为平面PAD⊥矩形ABCD,
两平面交线为AD,PA⊥AD,且PA⊂平面PAD,
所以PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD,故D正确;
若PD⊥BD,由于PA⊥BD,PA∩PD=P,PA,PD⊂平面PAD,
则BD⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,
则BD⊥AD,这与ABCD为矩形矛盾,故A不正确;
因为平面PAD⊥矩形ABCD,
两平面交线为AD,AD⊥CD,CD⊂平面ABCD,
所以CD⊥平面PAD,PD⊂平面PAD,
所以PD⊥CD,故B正确;
由于PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以PA⊥CB,
又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,
所以BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以PB⊥BC,故C正确.
【加练备选】
(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)如图,下列各正方体中,O为下底的中点,M,N为顶点,P为所在棱的中点,则满足MN⊥OP的是( )
解析：选BC.设正方体的棱长为2.对于A,如图(1)所示,连接AC,则MN∥AC,故∠POC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,在直角三角形OPC中,OC=2,CP=1,故tan∠POC=12=22,故MN⊥OP不成立,故A错误.
对于B,如图(2)所示,取NT的中点为Q,连接PQ,OQ,则OQ⊥NT,PQ⊥MN,
在正方体SBCM-NADT中SN⊥平面ANTD,而OQ⊂平面ANTD,
故SN⊥OQ,而SN∩NT=N,故OQ⊥平面SNTM,又MN⊂平面SNTM,故OQ⊥MN,而OQ∩PQ=Q,所以MN⊥平面OPQ,而OP⊂平面OPQ,故MN⊥OP,故B正确.
对于C,如图(3),连接BD,则BD∥MN,由B的判断可得OP⊥BD,故OP⊥MN,故C正确.
对于D,如图(4),取AD的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,则AC∥MN,因为DP=PC,故PQ∥AC,故PQ∥MN,所以∠QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角,
因为正方体的棱长为2,故PQ=12AC=2,OQ=AO2+AQ2=2+1=3,PO=PK2+OK2=4+1=5,QO2