高考数学复习第八章　第五节　空间向量的运算及其坐标表示（导学案）

这是一份高考数学复习第八章　第五节　空间向量的运算及其坐标表示（导学案），共25页。学案主要包含了必备知识，加练备选等内容，欢迎下载使用。

第五节 空间向量的运算及其坐标表示
课程标准
1．空间直角坐标系
(1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
(2)借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
2．空间向量及其运算
(1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．
(2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．
3．向量基本定理及坐标表示
(1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示．
(4)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．
【必备知识】精归纳
1．空间向量有关概念
(1)单位向量：模为1的向量．
(2)共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
(3)共面向量：平行于同一个平面的向量．
点睛 (1)0与任意向量平行．
(2)空间中任意两个向量是共面向量，任意三个向量不一定是共面向量．
2．空间向量有关定理
(1)共线向量定理：对空间中任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b，c)) 叫做空间的一个基底．
3．空间向量有关运算
设a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1，a2，a3)) ，b＝(b1，b2，b3)，
(1)坐标运算：则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)λ∈R．
(2)数量积运算：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝|a||b|cs 〈a，b〉．
点睛 向量a在向量b上的投影向量设为向量c，向量c与向量b共线，c＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) cs 〈a，b〉 eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))) .
4．空间向量有关公式
(1)空间两点间距离公式
已知P1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1，z1)) ，P2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2，z2)) ，则
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1P2)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－x1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2－y1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z2－z1))2) ．
(2)空间两点的中点公式
设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2),y＝\f(y1＋y2,2),z＝\f(z1＋z2,2))) .
(3)空间向量共线与垂直公式
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，其中b≠0，
则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R).
(4)空间向量模与夹角公式
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则|a|＝ eq \r(a·a) ＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ；
cs a，b＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) .
1．对空间任意一点O，若三点P，A，B满足 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝λ eq \(PB,\s\up6(→)) ⇔ eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＝1)⇔P，A，B三点共线．
2．证明空间四点共面的方法
对空间任意一点O，若四点P，M，A，B满足 eq \(MP,\s\up6(→)) ＝m eq \(MA,\s\up6(→)) ＋n eq \(MB,\s\up6(→)) ⇔ eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OM,\s\up6(→)) ＋y eq \(OA,\s\up6(→)) ＋z eq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)⇔P，M，A，B四点共面．
1.(教材变式)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，AA1＝c，则下列向量中与 eq \(BM,\s\up6(→)) 相等的向量是( )
A．－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c B． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c
C．－ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c D． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c
解析：选A. eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋AA1＋A1M
＝－a＋c＋ eq \f(1,2) (A1B1＋A1D1)
＝－a＋c＋ eq \f(1,2) (a＋b)＝－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c.
2．(教材提升)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2 eq \(BA,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) B．2 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→))
C．2 eq \(FG,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) D．2 eq \(EF,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→))
解析：选B.2 eq \(BA,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→))
＝2| eq \(BA,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) |cs 120°＝－a2，
2 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝2| eq \(AD,\s\up6(→)) || eq \(BD,\s\up6(→)) |cs 60°＝a2，
2 eq \(FG,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) ＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FG,\s\up6(→)))) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→)))) cs 180°
＝2× eq \f(a,2) ×a× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1)) ＝－a2，
2 eq \(EF,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝a×a×cs 120°＝－ eq \f(a2,2) .
3．(向量运算错误)对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是( )
A．若a∥b且b∥c，则a∥c
B．a· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋c)) ＝a·b＋a·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·b)) c＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b·c))
解析：选B.若b＝0，则由a∥b且b∥c，不能得出a∥c，A错；
由数量积对向量加法的分配律知B正确；
若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，当a⊥(b－c)时就成立，不一定有b＝c，C错；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·b)) c是与c平行的向量，a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b·c)) 是与a平行的向量，它们不一定相等，D错．
4．(结论1)已知空间三点A(－1，1，2)，B(0，3，5)，C(1，5，4－k)在一条直线上，则实数k的值是( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
解析：选D.因为空间三点A(－1，1，2)，B(0，3，5)，C(1，5，4－k)在一条直线上，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，3)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，4，2－k)) ，
故 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) .所以k＝－4 .
5．(结论2)在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是( )
A． eq \(OM,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→))
B． eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up6(→))
C． eq \(MA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→)) ＝0
D． eq \(OM,\s\up6(→)) ＋ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0
解析：选C.根据向量共面定理，
eq \(OM,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ＋z eq \(OC,\s\up6(→)) ，若A，B，C不共线，
且A，B，C，M共面，则其充要条件是x＋y＋z＝1，
由此可得A，B，D不正确；
选项C： eq \(MA,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(MB,\s\up6(→)) － eq \(MC,\s\up6(→)) ，所以M，A，B，C四点共面．
6．(漏掉同向共线)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝(－4，2，t)的夹角为锐角，则实数t的取值范围为( )
A．(8，＋∞) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，＋∞))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，8)) ∪(8，＋∞)
解析：选D.夹角为锐角，则a·b＝8＋2＋4t>0，得t>－ eq \f(5,2) ，
当a∥b时， eq \f(－2,－4) ＝ eq \f(1,2) ＝ eq \f(4,t) ，得t＝8，
所以t的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，8)) ∪(8，＋∞).
【题型一】空间向量的线性运算
[典例1](1)(多选题)(2022·保定模拟)如图所示， M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN， eq \(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(OM,\s\up6(→)) ，设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，则下列等式成立的是( )
A. eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) c
B． eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a
C． eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) b－ eq \f(1,4) c－ eq \f(3,4) a
D． eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c
解析：选BD.根据向量的加减法及数乘运算法则：
eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c，故A选项错误；
eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a，
故B选项正确；
eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) ( eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a)＝－ eq \f(3,4) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c，故C选项错误；
eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) ＝a＋(－ eq \f(3,4) a)＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c＝ eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c，故D选项正确．
(2)(2023·昆明模拟)已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1) ，则a－b＋2c＝__________．
解析：因为a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3).
答案：(－4，3，3)
空间向量线性运算的解题策略
1．用已知向量来表示未知向量，结合图形，以图形为指导是解题的关键．
2．将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．利用三角形法则、平行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来．
3．空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算．
1．(2023·日照模拟)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝x＋y eq \(AB,\s\up6(→)) ＋z eq \(AD,\s\up6(→)) ，则( )
A.x＝1，y＝ eq \f(1,2) ，z＝－ eq \f(1,2)
B．x＝1，y＝－ eq \f(1,2) ，z＝ eq \f(1,2)
C．x＝ eq \f(1,2) ，y＝1，z＝－ eq \f(1,2)
D．x＝－ eq \f(1,2) ，y＝1，z＝ eq \f(1,2)
解析：选B.由题意得,=++=-+12
=-+12+12=-12+12,所以x=1,y=-12,z=12.
2．(2022·保定模拟)如图，在四面体OABC中， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，且 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(EA,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→)) ，则 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \f(1,3) a－ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c B． eq \f(1,3) a＋ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c
C．－ eq \f(1,3) a－ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c D．－ eq \f(1,3) a＋ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c
解析：选D.连接OF，因为 eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OF,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) ( eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c，
又 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(EA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) a，所以 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(OF,\s\up6(→)) － eq \(OE,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) a＋ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c.
【加练备选】
(2022·宁波模拟)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，F为BB1的中点， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝b， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝c，则＝( )
A． eq \f(4,3) a－ eq \f(3,2) b－c B． eq \f(4,3) a－b－ eq \f(4,3) c
C． eq \f(4,3) a－ eq \f(2,3) b－ eq \f(4,3) c D．a－ eq \f(3,2) b－ eq \f(4,3) c
解析：选C.设＝m， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝n，
则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝a＝m＋ eq \f(1,2) n＋c， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝b＝n＋ eq \f(1,2) m.
所以n＝b－ eq \f(1,2) m，a＝m＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)m)) ＋c，
所以m＝ eq \f(4,3) a－ eq \f(2,3) b－ eq \f(4,3) c.
【题型二】共线、共面向量定理及应用
[典例2](1) eq \a\vs4\al(金榜原创·易错对对碰)
①对于空间中的四点A，B，C，P，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(5,8) eq \(AC,\s\up6(→)) ，则P，B，C 三点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不共线
②对于空间中的四点A，B，C，P，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,8) eq \(AC,\s\up6(→)) ，则P，A，B，C 四点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不共线
解析：①选C.因为向量起点相同，系数和为1，所以P，B，C 三点共线．
②选B.由共面向量定理可得．
(2)与向量n＝(1，－1，2)反向的单位向量的坐标为( )
A．(－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),3) ) B．( eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),3) )
C．(－1，1，－2) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))
解析：选A.因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n)) ＝ eq \r(1＋1＋4) ＝ eq \r(6) ，
所以与向量n反向的单位向量为－ eq \f(n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(6))，\f(1,\r(6))，－\f(2,\r(6)))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),3))) .
[变式1]本例(2)中“反向”改为“同向”．
解析：选B.与向量n同向的单位向量为
eq \f(n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))) ＝( eq \f(1,\r(6)) ，－ eq \f(1,\r(6)) ， eq \f(2,\r(6)) )＝( eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),3) ).
[变式2](多选题)本例(2)中“反向”改为“共线”．
解析：选AB.与向量n共线的单位向量为
± eq \f(n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))) ＝±( eq \f(1,\r(6)) ，－ eq \f(1,\r(6)) ， eq \f(2,\r(6)) )＝( eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),3) )或(－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),3) ).
(3)已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－1，2)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－2)) ，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，2，λ)) ，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝( )
A． eq \f(3,2) B．2 C． eq \f(5,2) D．3
解析：选B.因为a，b，c三向量共面，
所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，2，λ)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3m，－m，2m)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－n，3n，－2n)) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3m－n＝6,3n－m＝2,2m－2n＝λ)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(3,2)，,λ＝2.))
1．共线、共面向量定理的应用
(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线；
(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行，四点共面；
(3)根据向量共线和向量共面求参数取值；
(4)与a同向的单位向量为 eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))) ，反向的单位向量为－ eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))) ，共线的单位向量为± eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))) .
2．证明四点P，M，A，B共面的方法
(1) eq \(MP,\s\up6(→)) ＝x eq \(MA,\s\up6(→)) ＋y eq \(MB,\s\up6(→)) ；
(2)对空间任意一点O， eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OM,\s\up6(→)) ＋x eq \(MA,\s\up6(→)) ＋y eq \(MB,\s\up6(→)) ；
(3)对空间任意一点O，
eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OM,\s\up6(→)) ＋y eq \(OA,\s\up6(→)) ＋z eq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)；
(4) eq \(PM,\s\up6(→)) ∥ eq \(AB,\s\up6(→)) 或 eq \(PA,\s\up6(→)) ∥ eq \(MB,\s\up6(→)) 或 eq \(PB,\s\up6(→)) ∥ eq \(AM,\s\up6(→)) .
1．(2023·杭州模拟)已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，2)) ，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝( )
A．－ eq \f(11,4) B． eq \f(1,5) C． eq \f(3,5) D．－ eq \f(1,2)
解析：选D.ka＋b＝(－k＋1，k，2)，
a－2b＝(－3，1，－4)，
则 eq \f(－k＋1,－3) ＝ eq \f(k,1) ＝ eq \f(2,－4) ，解得k＝－ eq \f(1,2) .
2．(2022·保定模拟)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A．a－b，2a－c，b－c
B．b＋2c，a－b，a－2b－2c
C．a＋2b，2a－c，2b＋c
D．a＋2b＋3c，a＋b，a＋c
解析：选B.对于A，设x，y，使得
a－b＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－c)) ＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c)) ，则
a－b＝2xa＋yb－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y)) c，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝1,y＝－1,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))＝0)) ，该方程组无解，故A错误；
对于B，设x，y，使得
b＋2c＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2b－2c)) ，
则b＋2c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y)) a－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2y)) b－2yc，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2y))＝1,－2y＝2)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－1)) ，故B正确；
对于C，设x，y，使得
a＋2b＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－c)) ＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2b＋c)) ，
则a＋2b＝2xa＋2yb＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－x)) c，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝1,2y＝2,y－x＝0)) ，
该方程组无解，故C错误；
对于D，设x，y，使得
a＋2b＋3c＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c)) ，
则a＋2b＋3c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y)) a＋xb＋yc，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1,x＝2,y＝3)) ，
该方程组无解，故D错误．
3．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(AG,\s\up6(→)) ＝2，AC1与平面EFG交于点M，则 eq \f(AM,AC1) ＝__________．
解析：由题可设 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<λ<1)) ，
因为＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋
＝2 eq \(AE,\s\up6(→)) ＋3 eq \(AF,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,2) eq \(AG,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝2λ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋3λ eq \(AF,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,2) λ eq \(AG,\s\up6(→)) ，
因为M，E，F，G四点共面，
所以2λ＋3λ＋ eq \f(3,2) λ＝1，解得λ＝ eq \f(2,13) .
答案： eq \f(2,13)
【题型三】空间向量的数量积及应用
角度1 求空间向量数量积
[典例3](1)(2022·潍坊模拟)已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i上的投影向量为( )
A．i B．－i C． eq \r(14) i D．－ eq \r(14) i
解析：选A.因为a＝i＋2j＋3k，i，j，k为标准正交基底，所以a在i上的投影向量为|a|cs a，i eq \f(i,|i|) ＝i.
(2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→)) 的值为( )
A．1 B． eq \f(1,2) C． eq \f(1,4) D． eq \f(\r(3),4)
解析：选C.此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，
因为点E，F分别是BC，AD的中点，
所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AC,\s\up6(→)))) · eq \(AF,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AF,\s\up6(→)))) cs 60°＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AF,\s\up6(→)))) cs 60°
＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) .
求空间向量的数量积的方法
(1)若给出的条件不适合建系要用基底进行运算；
(2)若给定条件下适合建立空间直角坐标系，则用坐标进行运算．
提醒 运用定义求数量积时一定要根据正确方向判定夹角的大小．
角度2 求长度
[典例4](1)(2023·郑州模拟)如图，在一个60°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝ eq \r(2) ，AC＝1，BD＝2，则CD＝________．
解析：由已知可得 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→))))
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→))))2) ，
因为线段AC，BD均与棱AB垂直，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(CA,\s\up6(→)) ， eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BD,\s\up6(→)) ，
因为二面角的大小为60°，所以〈 eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BD,\s\up6(→)) 〉＝60°，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→)))) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→))))2) ＝ eq \r(\(CA,\s\up6(→))2＋\(AB,\s\up6(→))2＋\(BD,\s\up6(→))2＋2\(CA,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→))) ，
因为AB＝ eq \r(2) ，AC＝1，BD＝2，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→)))) ＝ eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)))2＋22＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))) ＝ eq \r(5) .
答案： eq \r(5)
(2)如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则线段AC1的长为________．
解析：因为=++=++,
所以==+++2·+2·+2·
=+++2·cs 90°+2·cs 60°+2·cs 60°=1+1+4+2×1×2×12+2×1×2×12=10,所以AC1=10.
答案:10
利用数量积求两点间的距离的解题策略
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，基本思路是：
(1)先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式；
(2)求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模；
(3)利用公式|a|＝ eq \r(a·a) 求解即可．
角度3 夹角问题
[典例5](1)(2022·烟台模拟)已知a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，3，1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5))) ，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为________．
解析：由题意得a·b>0且a，b不共线，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2×5＋3t＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)))×1>0,－\f(2,5)≠\f(t,3))) ，解得t> eq \f(52,15) 且t≠－ eq \f(6,5) .
故实数t的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(52,15)，＋∞)) .
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(52,15)，＋∞))
[变式]将本例(1)中“a与b的夹角为锐角”改为“a与b的夹角为钝角”，则实数t的取值范围是______________________．
解析：由题意得a·b<0且a，b不共线，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2×5＋3t＋（－\f(2,5)）×1<0,－\f(2,5)≠\f(t,3))) ，解得t< eq \f(52,15) 且t≠－ eq \f(6,5) .
故实数t的取值范围为(－∞，－ eq \f(6,5) )∪(－ eq \f(6,5) ， eq \f(52,15) ).
答案：(－∞，－ eq \f(6,5) )∪(－ eq \f(6,5) ， eq \f(52,15) )
(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AD,\s\up6(→)) ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为 eq \f(3\r(2),10) ，则λ的值为________．
解析：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0).所以=(0,2,-1),
=+=+λ=(0,0,-2)+λ(-2,0,0)=(-2λ,0,-2),
所以=||=22λ2+1·5,所以225λ2+1=3210,
解得λ=13或λ=-13(舍去).
答案:13
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法

角度4 解决垂直问题
[典例6](多选题)(2023·孝感模拟)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且EF⊥A1E.若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，则B1F的值可能为( )
A． eq \r(3) B. 2 C. eq \r(5) D. eq \r(6)
解析：选BCD.以点C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz.
所以A1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1，0)) .设E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0，m)) ，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，n)) ，
0≤m≤3，0≤n≤3，则 ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，m)) ，
eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，n－m)) .
因为EF⊥A1E，所以 · eq \(EF,\s\up6(→)) ＝0，
即－1＋m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－m)) ＝0，化简得mn＝1＋m2.
当m＝0时，显然不符合题意．
故n＝ eq \f(1,m) ＋m≥2，当且仅当m＝1时，等号成立．
故B1F的最小值为2.
所以2≤B1F≤3，对照四个选项，可选BCD.
利用数量积解决垂直问题的解题策略
证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式，然后利用数量积为0说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
1．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，2)) ，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A． eq \f(7,5) B．2 C． eq \f(5,3) D．1
解析：选A.因为a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，2)) ，
所以a·b＝－1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \r(2) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝ eq \r(5) .
因为ka＋b与2a－b互相垂直，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ka＋b)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－b)) ＝0，
即2k eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a|2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－k))a·b－)) b|2＝0，
即4k－(2－k)－5＝0，解得k＝ eq \f(7,5) .
2．已知a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，1，2)) ，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A． eq \f(5π,6) B． eq \f(2π,3) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,6)
解析：选D.因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，
所以b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，2)) ，
所以cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))
＝ eq \f(3,\r(1＋1)×\r(1＋1＋4)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
又因为〈a，b〉∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π)) ，
所以向量a与b的夹角为 eq \f(π,6) .
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1.求证:与,共面.
【证明】因为=-,=+=-12,=23=23(+),
所以=-=23(+)-=23+23=23+23,
所以与,共面.
4．(2022·大连模拟)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P为线段BC的中点．
(1)求；
(2)求直线AB1与D1P所成角的余弦值．
解析：(1)因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BC上,且满足BP=PC.
设=a,=b,=c,这三个向量不共面,a,b,c构成空间的一个基底.
所以=-=-=a+12b-b+c=a-12b-c.
所以=a-12b-c2=a2+14b2+c2-a·b-2a·c+b·c
=4+14×4+1-2×2×12-2×2×1×12+2×1×12=4+1+1-2-2+1=3,所以=3.
(2)由(1)知,=a-12b-c,=3,
因为=a+c,=a+c2=4+1+2×2×1×12=7,
所以cs<,>==a+c·a-12b-c7×3=a2-12a·b-a·c+a·c-12b·c-c27×3=3221=2114,
故直线AB1与D1P所成角的余弦值为2114.
教材改编
结论应用
易错易混
1，2
4，5
3，6