高考数学复习第九章　第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（导学案）

这是一份高考数学复习第九章　第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（导学案），共14页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，一题多变，方法提炼，对点训练，加练备选等内容，欢迎下载使用。

第九章 解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【课程标准】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
【必备知识 精归纳】
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2.斜率公式
(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α.
(2)倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.
(3)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则直线l的斜率k=y2-y1x2-x1.
点睛(1)斜率公式与两点的顺序无关;
(2)在锐角范围内,直线的倾斜角越大,其斜率越大;在钝角范围内也是如此.
3.直线方程的5种形式
点睛(1)用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误.
(2)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.
(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
【常用结论】
1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;
2.直线Ax+By+C=0,
(1)当B=0时,直线的斜率不存在;当B≠0时,直线的斜率k=-AB,直线在y轴上的截距为-CB.
(2)当A=0时,直线在x轴上的截距不存在;当A≠0时,直线在x轴上的截距为-CA.
【基础小题 固根基】
1.(教材变化)直线x-y+1=0的倾斜角为( )
A.30°B.45°C.120°D.150°
解析：选B.由题得,直线y=x+1的斜率为1.设其倾斜角为α,则tan α=1.又因为0°≤α<180°,故α=45°.
2.(忽视斜率不存在)方程y=k(x-2)表示( )
A.通过点(2,0)的所有直线
B.通过点(2,0)且不垂直于y轴的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
解析：选C.y=k(x-2)为直线的点斜式方程,只能表示斜率存在的直线,且直线过点(2,0).
3.(结论2)若直线l为5x-12y+3=0,则直线l的斜率为( )
A.125B.512C.-512D.-125
解析：选B.直线l方程5x-12y+3=0可化为y=512x+14,所以直线l的斜率为512.
4.(与坐标轴垂直情况易混)经过点(0,3)且倾斜角为0°的直线方程为( )
A.x=3B.y=3
C.y=x+3D.y=2x+3
解析：选B.因为直线倾斜角为0°,故斜率为tan 0°=0,则直线方程为y-3=0×(x-0),即y=3.
5.(结论2)直线2x-y-2=0在y轴上的截距为( )
A.1B.2C.-1D.-2
解析：选D.由直线2x-y-2=0,可化为y=2x-2,所以直线2x-y-2=0在y轴上的截距为-2.
6.(教材提升)已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .
解析：因为A,B,C三点共线,
所以kAB=kAC,
所以7-54-3=x-5-1-3,所以x=-3.
答案:-3
题型一 直线的倾斜角与斜率
[典例1](1)若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1C.k3解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0(2)直线xcs α+3y-2=0的倾斜角的范围是( )
A.[-π6,π6]B.[0,π6]
C.[0,π6]∪[5π6,π)D.[π6,5π6]
解析：选C.已知直线方程xcs α+3y-2=0,设直线的倾斜角为θ,故tan θ=-csα3=-33cs α∈[-33,33],
即θ∈[0,π6]∪[5π6,π).
【一题多变】
[变式1]若例(2)中直线方程改为“xsin α+3y-2=0”,结果如何?
解析：选C.因为直线方程为xsin α+3y-2=0,
设直线的倾斜角为θ,故tan θ=-sinα3=-33sin α∈[-33,33],
即θ∈[0,π6]∪[5π6,π).
[变式2]若例(2)中直线方程改为“xsin α+3ycs α-2=0”,则直线倾斜角的范围为 .
解析：因为直线方程为xsin α+3ycs α-2=0,
设直线的倾斜角为θ,当cs α=0时,θ=π2;
当cs α≠0时,故tan θ=-sinα3csα=-33tan α∈R,此时θ∈[0,π2)∪(π2,π).
综上可知:即θ∈[0,π).
答案:[0,π)
(3)(2023·聊城模拟)设点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是( )
A.(-∞,-4]∪[34,+∞)
B.[-4,34]
C.[-34,4]
D.以上都不对
解析：选A.因为kPA=1-(-3)1-2=-4.所以当PA以P为定点顺时针旋转到B,则倾斜角变小(在钝角范围内),此时k≤-4,又kPB=1-(-2)1-(-3)=34,当PB以P为定点逆时针旋转到A(锐角范围内),则倾斜角变大,此时k≥34.
【方法提炼】
斜率的两种求法
(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.
(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2)求斜率.
提醒牢记口诀:
“斜率变化分两段,90°是分界线;
遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”.
【对点训练】
1.直线3x+2y=6的倾斜角的余弦值为( )
A.31313B.-21313C.21313D.-23
解析：选B.记直线3x+2y=6的倾斜角为α,
则tan α=-32,所以π2<α<π,
所以1-cs2αcs2α=94,
解得cs α=-21313.
2.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π4]B.[3π4,π）
C.[0,π4]∪[π2,π）D.[π4,π2]∪[3π4,π）
解析：选B.k=-1a2+1∈[-1,0),因此倾斜角的取值范围是[3π4,π].
3.(多选题)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( )
解析：选BD.当a>0,b>0时,-a<0,-b<0,结合选项知B符合;当a>0,b<0时,-a<0,-b>0,选项D符合;当a<0,b>0或a<0,b<0或a=0或b=0时都不符合.
【加练备选】
过A(1,-3),B(-2,0)两点的直线的倾斜角是( )
A.45°B.60°C.120°D.135°
解析：选D.由已知得直线的斜率为k=0-(-3)-2-1=tan α=-1,0°≤α<180°,
所以倾斜角α=135°.
题型二 求直线的方程
[典例2](1)如图,直线l的方程是( )
A.3x-y-3=0B.3x-2y-3=0
C.3x-3y-1=0D.x-3y-1=0
解析：选D.由题图可得直线的倾斜角为30°,
所以斜率k=tan 30°=33,
因为直线l与x轴的交点为(1,0),
所以直线的点斜式方程可得l:y-0=33(x-1),
即x-3y-1=0.
(2)(多选题)下列说法正确的是( )
A.截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
解析：选BD.对于A,若直线过原点,横、纵截距都为零,则不能用方程xa+ya=1表示,所以A不正确;对于B,当m=0时,平行于y轴的直线方程为x=2,所以B正确;对于C,若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tan θ(x-1)表示,所以C不正确;对于D,设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据∥可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,所以D正确.
(3)若直线l的方程是y=-x+1,则( )
A.直线经过点(1,0),斜率为1
B.直线经过点(-1,0),在y轴上的截距为-1
C.直线经过点(1,0),在y轴上的截距为1
D.直线经过点(-1,0),斜率为-1
解析：选C.令y=0,解得x=1,
所以直线过点(1,0),
所以选项B,D不正确,
又因为直线l的方程是y=-x+1,表示斜率为-1,在y轴上截距为1的直线,所以选项C正确.
【方法提炼】
求直线方程的注意事项
(1)在求直线方程时,根据题目的条件选择适当的形式.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零).
【对点训练】
1.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足( )
A.ab>0,bc<0B.ab>0,bc>0
C.ab<0,bc>0D.ab<0,bc<0
解析：选A.由题意可知直线斜率小于0,纵截距大于0,
即-ab<0,-cb>0,所以ab>0bc<0.
2.(多选题)过点(-2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是( )
A.x-2+y=1B.x-2+y-5=1
C.x-2+y-1=1D.x2+y=1
解析：选AB.由题可知,直线过点(-2,0),
所以直线在x轴上的截距为-2,
又直线在两坐标轴上的截距之差为3,
所以直线在y轴上的截距为1或-5,
则所求直线方程为x-2+y=1或x-2+y-5=1.
3.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为 .
解析：由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,
因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为12,
则tan α=12,
所以直线l的斜率k=tan 2α=2tanα1-tan2α=2×121-(12) 2=43,
所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=43(x-1),即4x-3y-4=0.
答案:4x-3y-4=0
【加练备选】
(2022·泉州模拟)直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限,则( )
A.a<0,b<0B.a<0,b>0
C.a>0,b<0D.a>0,b>0
分析：分析出直线x+ay+b=0的斜率以及该直线在y轴上截距的符号,即可得出a,b的符号.
解析：选C.因为直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限,
则该直线的斜率-1a<0,可得a>0,
该直线在y轴上的截距-ba>0,可得b<0.
题型三 直线方程的综合应用
角度1 求与最值有关的直线方程
[典例3]已知直线l过点M(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,求当||·||取得最小值时直线l的方程.
解析：设A(a,0),B(0,b),且a>0,b>0,
直线l的方程为xa+yb=1,所以2a+1b=1.
||·||=-·=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5
=(2a+b)（2a+1b）-5=2ba+2ab≥4,当且仅当a=b=3时取等号,此时直线l的方程为x+y-3=0.
角度2 由直线方程求参数的值或范围
[典例4](1)(多选题)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )
A.1B.-1C.-2D.2
解析：选AC.由直线的方程ax+y-2-a=0,得此直线在x轴和y轴上的截距分别为a+2a和2+a.由a+2a=2+a得a=1或a=-2.
(2)(2023·北京模拟)已知点P(cs θ,sin θ)在直线ax-y+3=0上.则当θ变化时,实数a的取值范围为( )
A.[-22,22]
B.(-∞,-22]∪[22,+∞)
C.[-3,3]
D.(-∞,-3]∪[3,+∞)
解析：选B.因为点P(cs θ,sin θ)在直线ax-y+3=0上,
所以acs θ-sin θ+3=0,
所以sin θ-acs θ=1+a2sin(θ-φ)=3,
其中tan φ=a,
因为sin(θ-φ)≤1,
所以1+a2≥3,
即a2≥8,
解得a≤-22或a≥22.
【方法提炼】
1.求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤
(1)设出直线方程,建立目标函数.
(2)利用基本不等式、一元二次函数求解最值,得出待定系数.
(3)写出直线方程.
2.由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项
(1)注意寻找等量关系或不等关系.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
(2)注意直线恒过定点问题.
【对点训练】
1.已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积最小时,直线l的方程为 .
解析：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),
则A（2-1k,0）,B(0,1-2k),S△AOB=12(1-2k)·（2-1k）=12[4+(-4k)+(-1k)]≥12×(4+4)=4,
当且仅当-4k=-1k,即k=-12时,等号成立.
故直线l的方程为y-1=-12(x-2)
即x+2y-4=0.
答案:x+2y-4=0
2.定义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是f(x)图象上的任意一点,其中x=λa+(1-λ)b(λ∈R),向量=λ+(1-λ),其中O是坐标原点.若不等式||≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若y=x+1x在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围是 .
分析：由题意求得点A,B的坐标,写出直线AB的方程,再求出M,N两点的坐标以及||,利用基本不等式求得||的最大值,从而求出k的取值范围.
解析：由题意知a=1,b=2,
所以A(1,2),B(2,52),
所以直线AB的方程为y=12x+32.
因为xM=λ+2(1-λ)=2-λ,ON=λ(1,2)+(1-λ)(2,52)=(2-λ,52-λ2),
所以M,N两点的横坐标相同,且点N在直线AB上,
所以|MN|=|yM-yN|=|x+1x-12x-32|=|x2+1x-32|,x2+1x≥2x2·1x=2,当且仅当x=2时取等号.
又因为2<32,
所以|MN|=|x2+1x-32|≤32-2,
要使||≤k恒成立,k的取值范围是k≥32-2.
答案:[32-2,+∞)
3.已知直线kx-y+2k-1=0恒过定点A,点A在直线mx+ny+2=0上,其中m,n均为正数,则1m+2n的最小值为 .
解析：已知直线kx-y+2k-1=0,
整理得y+1=k(x+2),
故直线恒过定点A(-2,-1).
因为点A在直线mx+ny+2=0上,
所以2m+n=2,整理得m+n2=1.
由于m,n均为正数,则1m+2n=(m+n2)(1m+2n)=1+n2m+2mn+1≥2+2n2m·2mn=4,
当且仅当m=12,n=1时,等号成立.
答案:4
【加练备选】
若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1B.2C.4D.8
解析：选C.由ax+by=ab,得xb+ya=1,
故直线在x轴、y轴上的截距分别为b,a.
因为直线过点(1,1),
所以1a+1b=1.
又a>0,b>0,
所以a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
【思维导图·构网络】
名称
方程
适用条件
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)
截距式
xa+yb=1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)
平面内所有直线
教材改编
结论应用
易错易混
1,6
3,5
2,4