高考数学复习第十一章　第二节　二项式定理（导学案）

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1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
点睛
二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
2.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
(2)最大值:当n是偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值;当n是奇数时,中间的两项Cnn-12与Cnn+12相等,且同时取得最大值.
两个常用公式
(1)Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
(2)Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1.
1.(教材变式) (x-1x)22展开式中的常数项为( )
A.C2211B.-C2211C.C2212D.-C2212
解析：选B. (x-1x)22展开式中的常数项为C2211(-1)11=-C2211.
2.(二项式系数与项的系数)(1-2x)8展开式中x项的二项式系数为( )
A.28B.-28C.112D.-112
解析：选A.(1-2x)8展开式的通项公式为
Tk+1=C8k(-2x)k=(-2)kC8kxk2.
要求x项的二项式系数,只需k2=1,解得k=2,
所以x项的二项式系数为C82=8×72×1=28.
3.(结论)(1-x)5的二项展开式中,所有项的二项式系数之和是( )
A.0B.-1C.-32D.32
解析：选D.(1-x)5的二项展开式中所有项的二项式系数之和为25=32.
4.(结论)二项式(1+2x)5展开式的各项系数之和为( )
A.-1B.1C.32D.243
解析：选D.令x=1得(1+2×1)5=35=243,
所以二项式(1+2x)5展开式的各项系数之和为243.
5.(教材提升)已知二项式(x2-3x)6,则其展开式中x3的系数为__________.
解析：由题意可知, (x2-3x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r×(x2)6-r×(-3x)r=(-3)r×C6r×x12-3r,令12-3r=3,解得r=3.
所以二项式(x2-3x)6展开式中x3的系数为
(-3)3×C63=(-27)×20=-540.
答案:-540
6.(二项式定理的逆用)已知n∈N*,若Cn1+2Cn2+22Cn3+…+2n-2Cnn-1+2n-1=40,则n=__________.
解析：Cn1+2Cn2+22Cn3+…+2n-2Cnn-1+2n-1
=12(Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn-1)
=12[(1+2)n-1]=12(3n-1)=40,
所以n=4.
答案:4
题型一 二项式展开式
角度1 形如(a+b)n的展开问题
[典例1](1)在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是______________;系数为有理数的项的个数是______________.
解析：(2+x)9的通项为Tr+1=C9r(2)9-rxr(r=0,1,2,…,9),
可得常数项为T1=C90(2)9=162,
因为系数为有理数,所以r=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10共5项.
答案:162 5
(2)已知(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,则a3=( )
A.280B.35C.-35D.-280
【解题指南】将(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,化为(2t-1)7=a0+a1t+a2t2
+…+a7t7,利用展开式的通项求解即可.
解析：选A.因为(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,令x-1=t,则x=t+1,所以(2t-1)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7,
(2t-1)7展开式的通项为Tr+1=C7r(2t)7-r(-1)r,
令r=4,可得C74(2t)3=280t3,所以a3=280.
1.求解二项展开式中的特定项的关键点
(1)求通项,利用(a+b)n的展开式的通项公式Tr+1=Cnran-rbr(r=0,1,2,…,n)求通项.
(2)列方程(组)或不等式(组),利用二项展开式的通项及特定项的特征,列出方程(组)或不等式(组).
(3)求特定项,先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数,再根据要求写出特定项.
2.已知展开式的某项或其系数求参数,可由某项得出参数项,再由通项公式写出第k+1项,由特定项得出k值,最后求出其参数.
角度2 形如(a+b)n(c+d)m的展开问题
[典例2](2-x3)(x+1)5的展开式中x4的系数是__________.
【解题指南】由(2-x3)(x+1)5=2(x+1)5-x3(x+1)5,则分别求出(x+1)5中的x4与x的系数即可求解.
解析：(2-x3)(x+1)5=2(x+1)5-x3(x+1)5,所以展开式中x4的系数是2·C51-1·C54=5.
答案:5
1.求解形如(a+b)n(c+d)m的展开式问题的思路
(1)若n,m中一个比较小,可先考虑把它展开,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展开分别求解.
(2)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2;
(3)分别得到(a+b)n,(c+d)m的通项公式,综合考虑.
2.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题,可先分别化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最后进行合并即可.
角度3 形如(a+b+c)n的展开问题
[典例3](x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10B.20C.30D.60
解析：选C.在(x2+x+y)5的5个因式中,2个取因式中x2,剩余的3个因式中1个取x,其余因式取y,故x5y2的系数为C52C31C22=30.
求形如(a+b+c)n展开式中特定项的方法
1.(2022·眉山模拟)(m-x)5展开式中x3的系数为-20,则m2=( )
A.2B.1C.3D.2
解析：选A.(m-x)5的展开式通项公式为Tk+1=(-1)kC5km5-kxk,故(-1)3C53m2=-20,解得m2=2.
2.(a2+3b+1)5的展开式中b3的系数为( )
A.90B.180C.270D.360
解析：选C.(a2+3b+1)5的展开通项为Tr+1
=C5r(a2+1)5-r(3b)r=3rC5r(a2+1)5-rbr,
当r=3时,T4=33C53(a2+1)2b3=33C53(a4b3+2a2b3+b3),所以b3的系数为33C53=270.
3.已知960x3是(2x-ax)6的展开式中的某一项,则实数a的值为________.
解析：因为Tr+1=C6r(2x)6-r·(-ax-12)r
=C6r·(2)6-r(-a)r·x6-32r,令6-32r=3,得r=2,所以C62·24·(-a)2=960,即16×15a2=960,解得a=±2.
答案:±2
4.(2023·天津模拟)(x-2y)(2x-y)5的展开式中的x3y3系数为__________.
解析：(2x-y)5的展开式通项为
Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r=(-1)r·25-rC5rx5-ryr,
当r=2时,T3=80x3y2,当r=3时,T4=-40x2y3,
所以(x-2y)(2x-y)5的展开式中的x3y3项为
(-2y)·80x3y2+x·(-40x2y3)=-200x3y3,其系数为-200.
答案:-200
题型二 二项式系数的和与各项系数和问题
[典例4](1)已知(1-2x)2 023=a0+a1x+…+a2 023x2 023,则a12+a222+a323+…+a2 02322 023=( )
A.-2B.-1C.0D.2
【解题指南】根据题意,分别令x=0和x=12,代入计算即可求解.
解析：选B.根据题意,令x=0,得a0=(1-0)2 023=1,
令x=12,得(1-1)2 023=a0+a121+a222+…+a2 02322 023,
因此a12+a222+a323+…+a2 02322 023=-a0=-1.
(2)(2022·漳州模拟)已知(ax-13x)5(a为常数)的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等,则该展开式中的常数项为( )
A.-90B.-10C.10D.90
【解题指南】由题意可得(a-1)5=25,得a=3,然后求出二项式展开式的通项公式,由x的次数为零,求出r,从而可求出常数项.
解析：选A.因为(ax-13x)5(a为常数)的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等,所以(a-1)5=25,得a=3,
所以(ax-13x)5=(3x-13x)5,
则其展开式的通项公式为Tr+1=C5r(3x)5-r(-13x)r=C5r·35-r·(-1)rx15-5r6,令15-5r6=0,得r=3,所以该展开式中的常数项为C53·35-3·(-1)3=-90.
——自主完善,老师指导
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可.
(2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1).
①奇数项系数之和为a0+a2+a4+…= f(1)+f(-1)2.
②偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= f(1)-f(-1)2.
1.(2022·北京高考)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )
A.40B.41C.-40D.-41
解析：选B.令x=1,得1=a4+a3+a2+a1+a0;令x=-1,得81=a4-a3+a2-a1+a0.两式相加除以2得,a0+a2+a4=41.
2.(2023·潍坊模拟)若(x2-2x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则|a1|+|a2|+…+|a10|=
__________.
解析：由题设,含xk的项中,当k为奇数,项系数为负,而当k为偶数,项系数为正,
所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-a1+a2-a3…-a9+a10.
令x=0,则a0=25=32;令x=-1,得a0-a1+a2-a3…-a9+a10=55=3 125.
所以|a1|+|a2|+…+|a10|=3 125-32=3 093.
答案:3 093
3.(2022·杭州模拟)已知关于x,y的二项式(x+y)3·(x+3)n的展开式中,n为正整数,若x4的系数为27,则n=________;若n=5,y=3,则展开式中所有项的二项式系数之和为________.
解析：(x+y)3(x+3)n的展开式中,含x4的项为C33·x3·y0·Cn1·x·3n-1=n·3n-1·x4,
所以,n·3n-1=27,解得n=3;
当n=5,y=3时,二项式为(x+3)8,二项式系数和为28=256.
答案:3 256
题型三 二项式系数的性质及二项式定理的应用
角度1 二项式系数的性质
[典例5](1)(多选题)在(x+1)n(n∈N*)的展开式中,若第5项为二项式系数最大的项,则n的值可能是( )
A.7B.8C.9D.10
【解题指南】由题意,利用二项式系数的性质,求得n的值.
解析：选ABC.当n=7时,(a+b)7的展开式有8项,(a+b)7的展开式中二项式系数C73,C74最大,即第4项和第5项的二项式系数最大;
当n=8时,(a+b)8的展开式有9项,(a+b)8的展开式中二项式系数C84最大,即第5项的二项式系数最大;
当n=9时,(a+b)9的展开式有10项,(a+b)9的展开式中二项式系数C94,C95最大,即第5项和第6项的二项式系数最大;
当n=10时,(a+b)10的展开式有11项,(a+b)10的展开式中二项式系数C105最大,即第6项的二项式系数最大.
(2)在二项式(x-2x)n的展开式中,仅第四项的二项式系数最大,则展开式中常数项为
( )
A.-360B.-160
C.160D.360
解析：选B.因为展开式中,仅第四项的二项式系数最大,所以展开式共有7项,则n=6,则展开式的通项公式为Tk+1=C6kx6-k(-2x)k
=(-2)kC6kx6-2k,由6-2k=0得k=3,即常数项为T4=(-2)3C63=-160.
1.二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数,那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大;
(2)如果n是奇数,那么中间两项(第n+12与第n+12+1项)的二项式系数相等并最大.
2.展开式系数最大值的两种求解思路
(1)由于展开式系数是离散型变量,因此在系数均为正值的前提下,求最大值只需解不等式组ak≥ak-1,ak≥ak+1即可求得答案.
(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,可以看作关于n的数列,通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性,并根据系数的单调性求出系数的最值.
角度2 二项式定理的应用
[典例6]中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究,设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(md m).如9和21除以6所得的余数都是3,则记为9≡21(md 6).若a=C220+C221·2+C222·22+…+C2222·222,a≡b(md 10),则b的值可以是( )
A.2 019B.2 020
C.2 021D.2 022
【解题指南】利用二项式定理化简a=C220+C221·2+C222·22+…+C2222·222为(10-1)11,展开可得到a被10除余9,由此可得答案.
解析：选A.a=C220+C221·2+C222·22+…+C2222·222=(1+2)22=322=911=(10-1)11=C1101011+
C1111010(-1)1+C112109(-1)2+…+C111010(-1)10+C1111(-1)11,所以a被10除余9,2 019,2 020,
2 021,2 022除以10余9的是2 019.
二项式定理应用的常见题型及求解策略
(1)逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求,使之具备二项式定理右边的结构,然后逆用二项式定理求解.
(2)利用二项式定理解决整除问题的思路:①观察除式与被除式间的关系;②将被除式拆成二项式;③结合二项式定理得出结论.
(3)近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.
1.已知n为满足S=n+C271+C272+C273+…+C2727(n≥3)能被9整除的正数n的最小值,则(x-1x)n的展开式中,系数最大的项为( )
A.第6项
B.第7项
C.第11项
D.第6项和第7项
解析：选B.S=n+C271+C272+C273+…+C2727
=n+(1+1)27-C270=(9-1)9+n-1=9(98-C9197+…+C98)+n-2,
因为n≥3,所以S能被9整除的正数n的最小值是n-2=9,所以n=11.
所以(x-1x)11的展开式中的通项公式为
Tk+1=C11kx11-k(-1x)k=(-1)kC11kx11-2k,
只考虑k为偶数的情况,
由T5=C114x3,T7=C116x-1,T9=C118x-5,
可知系数最大的项为第7项.
2.(2022·无锡模拟)二项式(1+2x)2+(1+2x)3+…+(1+2x)7的展开式中,含x2项的二项式系数为( )
A.84B.56C.35D.21
解析：选B.因为二项式为(1+2x)2+(1+2x)3+…+(1+2x)7,
所以其展开式中,含x2项的二项式系数为
C22+C32+C42+C52+C62+C72
=C43+C42+C52+C62+C72
=C53+C52+C62+C72
=C63+C62+C72
=C73+C72
=C83=56.
3. (y-2x2)6的展开式中二项式系数最大的项为第__________项,系数最大的项为__________.
解析：因为(y-2x2)6的展开式中二项式系数的最大值为C63,所以二项式系数最大的项为第4项.因为(y-2x2)6的展开式的通项为
Tk+1=C6k·y6-k(-2x2)k=C6k·(-2)kx-2ky6-k,
所以展开式中系数最大的项为奇数项.
展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C60·(-2)0,C62·(-2)2,C64·(-2)4,C66·(-2)6,即1,60,240,64,所以展开式中系数最大的项为240x-8y2.
答案:4 240x-8y2
【加练备选】
(多选题)已知(x-2)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则下列结论正确的有
( )
A.a0=1
B.a6=210
C.a12+a222+a323+…+a10210=11 024
D.a0+a2+a4+a6+a8+a10=512
解析：选ABD.对于A,取x=1,由(x-2)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,得a0=1,故A正确;
对于B,(x-2)10=[1-(x-1)]10的展开式中第7项为C106[-(x-1)]6,所以a6=C106=210,故B正确;
对于C,取x=32得a12+a222+a323+…+a10210=(12)10-a0=-1 0231 024,故C错误;
对于D,由(x-2)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,
取x=0得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=210,
取x=2得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)+(a1+a3+a5+a7+a9)=0,所以a0+a2+a4+a6+a8+a10
=29=512,故D正确.
二项式定理
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk+1=Cnkan-kbk,它表示展开式的第k+1项
二项式系数
Cnk(k=0,1,…,n)
教材改编
结论应用
易错易混
1,5
3,4
2,6