2023年香港大湾杯九年级竞赛复赛数学试卷

这是一份2023年香港大湾杯九年级竞赛复赛数学试卷，共10页。试卷主要包含了甲部，乙部，丙部等内容，欢迎下载使用。
1、【来源】
化簡 26+2105．
化简 26+2105．
Simplify26+2105．
2、【来源】
分母為 1242 的最簡真分數共有多少個?
分母为 1242 的最简真分数共有多少个?
Hw many simplified fractin(s) with denminatr 1242 is / are there?
3、【来源】
已知有理數 x>0 且 1+x=103+103+⋯，求 x 的值．
已知有理数 x>0 且 1+x=103+103+⋯，求 x 的值．
It is knwn that x is ratinal, x>0 and 1+x=103+103+ Find the value f x.
4、【来源】
若直線 L 通過 A(−3,11)，而 L 的斜率為 923，求 L 的 x 截距．
若直线 L 通过 A(−3,11)，而 L 的斜率为 923，求 L 的 x 截距．
If a straight line L passes thrugh A(−3,11), and the slpe f L is 923, find the x-intercept f L.
5、【来源】 试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。若 x≠0 及 x+1x=21，求 x2+1x2 的值．
若 x≠0 及 x+1x=21，求 x2+1x2 的值．
If x≠0 and x+1x=21, find the value f x2+1x2.
6、【来源】
對實數 x，求 x2−22x+65 的最小值．
对实数 x，求 x2−22x+65 的最小值．
Find the minimum value f x2−22x+65 fr real number x.
7、【来源】
已知 x 為銳角，且满足 cs⁡x=1517，求 1−2sin⁡x3tan⁡x 的值．
已知 x 为锐角，且满足 cs⁡x=1517，求 1−2sin⁡x3tan⁡x 的值．
It is knwn that x is an acute angle and satisfies cs⁡x=1517. Find the value f 1−2sin⁡x3tan⁡x.
8、【来源】
若 x≡17(md21)，求三位偶數 x 的最大值．
若 x≡17(md21)，求三位偶数 x 的最大值．
If x≡17(md21), find the maximum value f 3-digit even number x.
9、【来源】
已知 ∠A、∠B 和 ∠C 為某三角形內角，且 ∠A:∠B:∠C=8:7:3．求 ∠A 的值．
已知 ∠A、∠B 和 ∠C 为某三角形内角，且 ∠A:∠B:∠C=8:7:3．求 ∠A 的值．
It is knwn that ∠A, ∠B and ∠C are interir angles f a triangle and ∠A:∠B:∠C=8:7:3． Find the value f ∠A.
10、【来源】
已知 x,y 為整數，而 6x+2xy+y=16，求 xy 的最小值．
已知 x,y 为整数，而 6x+2xy+y=16，求 xy 的最小值．
If x,y are integers and 6x+2xy+y=16, find the minimum value f xy.
二、乙部：第11至20題（每題5分）乙部：第11至20题（每题5分）Sectin B: 11th t 20th Questin (Each carries 5 marks)
11、【来源】
一圓形被分割為兩個扇形，當中較小的扇形的圓心角為 80∘．若該小扇形面積的值為原本圓形周界的值的 5 倍，求該小扇形的面積．(設 π=227)
一圆形被分割为两个扇形，当中较小的扇形的圆心角为 80∘．若该小扇形面积的值为原本圆形周界的值的 5 倍，求该小扇形的面积．(设 π=227)
A circle is divided in tw sectrs such that the central angle f the minr sectr is 80∘. If the value f area f the minr sectr is 5 times f the value f circumference f the riginal circle, what is the area f the sectr ? (Take π=227)
12、【来源】
求 3+8+15+24+⋯+342+360 的值．
求 3+8+15+24+⋯+342+360 的值．
Find the value f 3+8+15+24+…+342+360.
13、【来源】
若 α 及 β 為方程 x2−8x+9=0 的相異根, 求 α2β3+α3β22 的值．
若 α 及 β 为方程 x2−8x+9=0 的相异根, 求 α2β3+α3β22 的值．
If α and β are the distinct rts f x2−8x+9=0, find the value f α2β3+α3β22．
14、【来源】
對兩位數 n，n+73 舆 n−39 皆为完全平方数．求 n 的最大可能值．
对两位数 n，n+73 与 n−39 皆为完全平方数．求 n 的最大可能值．
Fr a 2-digitnumber n , n+73 and n−39 are bth perfect square numbers. Find the maximum pssible value f n.
15、【来源】
已知 x 為實數，求 x−12+30−x 的最大值．
已知 x 为实数，求 x−12+30−x 的最大值．
Given that x is real, find the maximum value f x−12+30−x.
16、【来源】
一個三角形的邊長都是整數，三角形其中兩邊的邊長分别為 4 及 7，求當第三條邊的邊長為最大值時該三角形的面積．（答案以根式表示）
一个三角形的边长都是整数，三角形其中两边的边长分别为 4 及 7，求当第三条边的边长为最大值时该三角形的面积．（答案以根式表示）
A triangle with all integral lengths has tw f its side lengths equal 4 and 7. Find the area f the triangle when the remaining side is at its lngest.(Answer in surd frm.)
17、【来源】
求在直角坐標系統上以 A(8,2)、B(−4,6) 和 C(2,−2) 三點为顶點的三角形的面積．
求在直角坐标系统上以 A(8,2)、B(−4,6) 和 C(2,−2) 三点为顶点的三角形的面积．
Find the area f a triangle with vertices A(8,2), B(−4,6), C(2,−2) in Cartesian crdinate system.
18、【来源】
若 a、b 為正整數使得 a>b 及 20+396=a+b，求 ab 的值
若 a、b 为正整数使得 a>b 及 20+396=a+b，求 ab 的值．
If a, b are psitive integers such that a>b and 20+396=a+b, find the value f ab.
19、【来源】
一個盒子中有 696 個球，分别編號為 6 至 701．若要從盒中不重複地隨機抽出若干個球，請問最少要從盒子中抽出多少個球才可確保抽出的其中 4 球的編號是連續数?
一个盒子中有 696 个球，分别编号为 6 至 701．若要从盒中不重复地随机抽出若干个球，请问最少要从盒子中抽出多少个球才可确保抽出的其中 4 球的编号是连续数?
Balls are chsen at randm withut repetitin frm a bx cntaining 696 balls numbered 6 t 701. At least hw many ball(s) need t be chsen such that there are 4 balls chsen whse numbers are cnsecutive?
20、【来源】
已知有理數 x>0 且 =143+2143+2143+2...，求x的值．
已知有理数 x>0 且 =143+2143+2143+2...，求x的值．
It is knwn that x is ratinal, x>0 and x=143+2143+2143+ Find the value f x.
三、丙部：第21至25題（每題7分）丙部：第21至25题（每题7分）Sectin C: 21st t 25th Questin (Each carries 7 marks)
21、【来源】
按以下規律，數列的第 7 個數字應該是什么數字?
按以下规律，数列的第 7 个数字应该是什么数字?
Accrding t the pattern, which number shuld be the 7tℎ term in thenumber sequence?
1、5、19、65、211、655、 ⋯
22、【来源】
小美正在玩某電子遊戲，遊戲中每 6 件相同等級的衣服会自動合成變成 1 件高一級的衣服，小美現有 4689 件等級一的衣服，問自動合成後小美有多少件衣服?（當中包含不同等級）
小美正在玩某电子游戏，游戏中每 6 件相同等级的衣服会自动合成变成 1 件高一级的衣服，小美现有 4689 件等级一的衣服，问自动合成后小美有多少件衣服?（当中包含不同等级）
May is nw playing a vide game. In the game, if yu have 6 clthes f the same level, they will be autmatically cmbined t frm a clth 1 level higher than the riginal. Nw May has 4689 level 1 clthes, hw many clth(es) des she have after the cmbinatin? (Include all levels)
23、【来源】
一個盒子中有 250 個球，分别編號為 41 至 290．若要從盒中不重複地隨機抽出若干個球，请問最少要從盒子中抽出多少個球才可確保抽出的其中 5 球的編號是連續奇数?
一个盒子中有 250 个球，分别编号为 41 至 290．若要从盒中不重复地随机抽出若干个球，请问最少要从盒子中抽出多少个球才可确保抽出的其中 5 球的编号是连续奇数?
Balls are chsen at randm withut repetitin frm a bx cntaining 250 balls numbered 41 t 290. At least hw many ball(s) need t be chsen such that there are 5 balls chsen whse numbers are cnsecutive?
24、【来源】
已知 38=6561，求 12−14−210−482−86562 的值．
已知 38=6561，求 12−14−210−482−86562 的值．
It is knwn that 38=6561. Find the value f 12−14−210−482−86562．
25、【来源】
已知 1330229=4+63+2K+13+23，求 K 的值．
已知 1330229=4+63+2K+13+23，求 K 的值．
It is knwn that 1330229=4+63+2K+13+23 , find the value f K.
1 、【答案】 21+5
;
【解析】 26+2105=21+221×5+5
=(21+5)2=21+5【标注】
2 、【答案】 792
;
【解析】 1242=2×33×23 ∴2×1242×(1−12)(1−13)(1−123)=2×1242×12×23×2223=4×9×22=792
【标注】
3 、【答案】 1
;
【解析】 1+x=103+103+x
1+x=103+(1+x)1+x=104+x(1+x)(4+x)=10x2+5x+4=10x2+5x−6=0(x−1)(x+6)=0∴ x=1 r x=−6(rej)
【标注】
4 、【答案】 −3119
;
【解析】 923=0−11x+39(x+3)=−11×239x+27=−2539x=−280x=−3119
【标注】
5 、【答案】 439
;
【解析】 x2+1x2=(x+1x)2−2
=212−2=439【标注】
6 、【答案】 56
;
【解析】 x2−22x+65=x2−22x+121−56=(x−11)2−56≥−56
【标注】
7 、【答案】 717
;
【解析】 1−2sin⁡x3tan⁡x=1−2sin⁡x3sin⁡xcsx=1−2cs⁡x3=1−2×153×17=1−1017=717
【标注】
8 、【答案】 962
;
【解析】 ∵ 999÷21=47⋯12
∴ (999−12)−21−21+17=962
【标注】
9 、【答案】 80
;
【解析】 ∠A:∠B:∠C=8:7:3∠A+∠B+∠C=180∘
⇒∠A=180∘×88+7+3=80∘【标注】
10 、【答案】 −18
;
【解析】 6x+2xy+y=16
2x(3+y)+y=162x(3+y)+(3+y)=19(2x+1)(3+y)=192x+1=193+y=1⇒x=9y=−2⇒xy=−182x+1=13+y=19⇒x=0y=16⇒xy=02x+1=−193+y=−1⇒x=−10y=−4⇒xy=402x+1=−13+y=−19⇒x=−1y=−22⇒xy=22∴ −18
【标注】
11 、【答案】 141427
;
【解析】 5×2πr=πr2×80∘360∘
10πr=πr2×2910=r×29r=45πr2×80∘360∘=227×452×29=22×45×5×27=99007=141427【标注】
12 、【答案】 2451
;
【解析】 3+8+15+24+⋯+342+360
=1×3+2×4+3×5+4×6+⋯+17×19+18×20=1×(1+2)+2×(2+2)+3×(3+2)+4×(4+2)+⋯+17×(17+2)+18×(18+2)=(22−1)+(32−1)+(42−1)+(52−1)+⋯+(182−1)+(192−1)=(12+22+32...+192)−1+1+1⋯+1⏟19′s=19×20×396−19=19×10×13−19=2470−19=2451【标注】
13 、【答案】 324
;
【解析】 α+β=8αβ=9
∴ α2β3+α3β22=(αβ)2(α+β)2=92×82=324
【标注】
14 、【答案】 768
;
【解析】 n+73=A2n−39=B2⇒(A−B)(A+B)=A2−B2=(n+73)−(n−39)=112
A−B=2A+B=56⇒A=29B=27⇒n=272+39=768A−B=4A+B=28⇒A=16B=12⇒n=122+39=183A−B=8A+B=14⇒A=11B=3⇒n=32+39=48∴ 768
【标注】
15 、【答案】 6
;
【解析】 x−12+30−x)2=(x−12)2+2x−1230−x+(30−x)2
(x−12)+2−360+42x−x2+(30−x)=18+281−(x2−42x+441)=18+281−(x−21)2≤18+281=18+2×9=36x−12+30−x≤36=6【标注】
16 、【答案】 7394
;
【解析】 4+7−1=10
4+7+102=10.5∴(10.5)(10.5−4)(10.5−7)(10.5−10)=21×13×7×124=7×3×13×7×14×4=7394【标注】
17 、【答案】 36
;
【解析】 12×8−6×42−12×42−8×62=96−12−24−24=36
【标注】
18 、【答案】 33
;
【解析】 20+396=11+211×9+9=(11+9)2=11+3∴11×3=33
【标注】
19 、【答案】 523
;
【解析】 696÷4×3+1=174×3+1=522+1=523
【标注】
20 、【答案】 13
;
【解析】 x=143+2143+2143++2xx2=143+2xx2−2x−143=0(x−13)(x+11)=0
∴ x=13 r x=−11(rej)
【标注】
21 、【答案】 2059
;
【解析】 31−21=1
32−22=533−23=1934−24=6535−25=21136−26=66537−27=2059【标注】
22 、【答案】 14
;
【解析】 4689÷6=781⋯3
781÷6=130⋯1130÷6=21⋯421÷6=3⋯3∴ 3+1+4+3+3=14
【标注】
23 、【答案】 226
;
【解析】 125+125×45+1=126+100=226
【标注】
24 、【答案】 12690420
;
【解析】 12−14−210−482−86562=13−1−13+1−232+1−434+1−838+1=(3+1)−(3−1)(3−1)(3+1)−232+1−434+1−838+1=232−1−232+1−434+1−838+1=434−1−434+1−838+1=838−1−838+1=16(38−1)(38+1)=166560×6562=1410×6562
=12690420【标注】
25 、【答案】 6
;
【解析】 3+2K+13+23=61330229−4=6×2291330−4×229=22969
K+13+23=222969−3=2×69229−3×69=6911K=6911−13+23=6911−311=6【标注】