2024年广东省珠海市第八中学中考数学三模试卷

这是一份2024年广东省珠海市第八中学中考数学三模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣C．±3D．﹣3
2．（3分）新型冠状病毒的直径约为125纳米（1纳米＝1×10﹣9米），125纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A．1.25×10﹣11B．12.5×10﹣8
C．1.25×10﹣8D．1.25×10﹣7
3．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（2a2）3＝6a6
C．a2•a3＝a6D．（2a3）2＝4a6
4．（3分）式子n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n+1B．n2C．nD．n﹣1
5．（3分）一组数据4、5、8、x、3的众数是5，则这组数的中位数是（ ）
A．3B．4C．5D．8
6．（3分）把方程＝1去分母后正确的是（ ）
A．4x﹣3（x﹣1）＝1B．4x﹣3x﹣3＝12
C．4x﹣3（x﹣1）＝12D．4x+3x﹣3＝12
7．（3分）某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负一场扣1分，菁英中学队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）将一副三角板如图放置，∠ABE＝30°，∠DAC＝45°，若DA∥BC，则∠EBC的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ）
A．44°B．88°C．46°D．92°
10．（3分）将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363B．361C．359D．357
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）化简：＝ ．
12．（4分）若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是 ．
13．（4分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ．
14．（4分）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的内角和是 ．
15．（4分）如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则的长为 ．
16．（4分）如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，四边形ADEF为△ABC的内接正方形，若在△ABC内取一点，这点取自正方形ADEF的概率为 ．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为 ．
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．先化简，再求值：÷+，其中a﹣2b＝0．
19．随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果．
20．已知：BA⊥BD，FD⊥BD，AB＝CD，AC＝CF，求证：AC⊥FC．
21．某水果商贩用600元购进了一批水果，上市后销售非常好，商贩又用1400元购进第二批这种水果，所购水果数量是第一批购进数量的2倍，但每箱进价多了5元．
（1）求该商贩第一批购进水果每箱多少元；
（2）由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖，该商贩将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于800元，求每箱水果的售价至少是多少元？
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点F，AB＝6，过B、F两点的⊙O交BA于点G，交BC于点E，EB恰为⊙O的直径．
（1）判断CD和⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若cs∠A＝，求⊙O的半径．
23．如图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别交于点B、C（5，0），与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（﹣1，m），D是反比例函数位于第二象限内的图象上一点．
（1）求m的值及直线BC的解析式．
（2）将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对应点D'恰好落在直线BC上，求D点的坐标．
24．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t＝3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
25．如图1，抛物线y＝mx2+8mx+12m（m＞0），与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，点D是第三象限内抛物线上的一点，连接OD、AD、BD．
（1）若△OBC为等腰直角三角形，求m的值；
（2）若OD＝BD，∠ODA＝∠OBD，求抛物线的函数表达式；
（3）如图2，点P是抛物线上一动点，点Q在抛物线的对称轴上，若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．
2024年广东省珠海八中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）实数﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣C．±3D．﹣3
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数﹣3的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）新型冠状病毒的直径约为125纳米（1纳米＝1×10﹣9米），125纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A．1.25×10﹣11B．12.5×10﹣8
C．1.25×10﹣8D．1.25×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（2a2）3＝6a6
C．a2•a3＝a6D．（2a3）2＝4a6
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
B．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．（2a3）2＝4a6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）式子n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n+1B．n2C．nD．n﹣1
【分析】把式子n2﹣1与n2+n分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
【解答】解：∵n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），
∴n2﹣1与n2+n的公因式是n+1．
故选：A．
【点评】本题考查了公因式和因式分解，掌握因式分解是确定公因式的关键．
5．（3分）一组数据4、5、8、x、3的众数是5，则这组数的中位数是（ ）
A．3B．4C．5D．8
【分析】先根据众数的定义求出x的值，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：∵这组数据的众数为5，
∴x＝5，
则这组数据为3、4、5、5、8，
∴其中位数为5，
故选：C．
【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．（3分）把方程＝1去分母后正确的是（ ）
A．4x﹣3（x﹣1）＝1B．4x﹣3x﹣3＝12
C．4x﹣3（x﹣1）＝12D．4x+3x﹣3＝12
【分析】方程两边乘以12得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程＝1，
去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝12．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
7．（3分）某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负一场扣1分，菁英中学队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据菁英中学队在8场比赛中得到12分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）将一副三角板如图放置，∠ABE＝30°，∠DAC＝45°，若DA∥BC，则∠EBC的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】根据平行线的性质直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABE+∠EBC+∠BAE+∠CAD＝180°，
∵∠ABE＝30°，∠BAE＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠EBC＝180°﹣30°﹣90°﹣45°＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ）
A．44°B．88°C．46°D．92°
【分析】根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝46°，
∴∠B＝90°﹣46°＝44°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．（3分）将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363B．361C．359D．357
【分析】根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．
【解答】解：观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：
第一行的第一个数：1×0+1＝1
第二行的第一个数：2×1+1＝3
第三行的第一个数：3×2+1＝7
…
第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1
∴第19行的第一个数：19×18+1＝343
∴第19行的第11个数：343+10×2＝363
故选：A．
【点评】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）化简：＝ 3+2 ．
【分析】先找到﹣1的有理化因式，再分母有理化即可．
【解答】解：＝＝3+2，
故答案为3+2．
【点评】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
12．（4分）若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是 1 ．
【分析】将x＝﹣2代入题目中的方程，即可求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，
∴（﹣2）2+k×（﹣2）﹣2＝0，
解得，k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
13．（4分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ﹣4 ．
【分析】把P（a，b）代入一次函数解析式得到b＝3a+2，则3a﹣b＝﹣2，即可求解．
【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
∴3a﹣b＝﹣2，
∴6a﹣2b＝2×（﹣2）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．
14．（4分）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的内角和是 1440° ．
【分析】正多边形的每一个内角都等于144°，则每个外角是180°﹣144°＝36°．外角和是360°，则可以求得这个多边形的边数，再根据边数即可求得内角和．
【解答】解：这个多边形的边数是360°÷（180°﹣144°）＝360°÷36°＝10，
则内角和是（10﹣2）×180°＝1440°，
故答案为：1440°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理和内角和公式，根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数是解题的关键．
15．（4分）如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则的长为 π ．
【分析】连接OC、OD、BD．根据图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积求出半径R，再根据弧长公式的长度．
【解答】解：如图，连接OC、OD、BD．
∵C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠CDO＝∠BOD，
∴CD∥OB，
∴S△OCD＝S△BCD，
∴图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积，
∴，
∴R＝3，
∴的长为＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．根据图形推知图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积是解题的难点．
16．（4分）如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，四边形ADEF为△ABC的内接正方形，若在△ABC内取一点，这点取自正方形ADEF的概率为 ．
【分析】根据已知，求出△ABC面积，利用相似性质，求出正方形的变成和面积，利用面积的比，即可求出概率．
【解答】解：在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4．
∴．BC＝5．
∵四边形ADEF为△ABC的内接正方形．
∴EF∥AB．EF＝FA．
∴△CEF∽△CBA．
∴即：．
∴．
∴正方形ADEF的面积为：．
∴在△ABC内取一点，这点取自正方形ADEF的概率为＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形相似的判定和性质、勾股定理、概率的公式，比较综合，关键在于求出相应图形的面积，属于拔高题．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为 15 ．
【分析】由折叠的性质得出∠BNF＝∠BEF，由条件得出tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，由勾股定理得出EF＝3x，得出AB＝BF，则可得出答案．
【解答】解：方法一：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，
∴AF⊥DE，AE＝EF，
∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，
∴B，E，N，F四点共圆，
∴∠BNF＝∠BEF，
∴tan∠BEF＝，
设BF＝x，BE＝2x，
∴EF＝＝3x，
∴AE＝3x，
∴AB＝5x，
∴AB＝BF．
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝BF•AD＝×15＝15．
方法二：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，
∴AF⊥DE，AE＝EF，AN＝NF，
∴BN＝NF，
∴∠NBF＝∠NFB，
∴∠BNF+2∠AFB＝180°，
∵∠BEF+2∠AED＝180°，∠AED＝∠NAD＝∠AFB，
∴∠BNF＝∠BEF，
∴tan∠BEF＝，
设BF＝x，BE＝2x，
∴EF＝＝3x，
∴AE＝3x，
∴AB＝5x，
∴AB＝BF．
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝BF•AD＝×15＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．先化简，再求值：÷+，其中a﹣2b＝0．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式把分式化简，再利用a﹣2b＝0，找到a与b的数量关系代入即可．
【解答】解：原式＝
＝1+
＝
＝．
∵a﹣2b＝0，
∴a＝2b，
∴原式＝＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式把分式化简是解题关键．
19．随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数是 500人 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果．
【分析】（1）根据A的人数÷其所占的比例＝参与问卷调查的总人数；
（2）求出C的人数﹣15，再将条形统计图补充完整即可；
（3）列表得出所有结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝500（人），
即参与问卷调查的总人数为500人，
故答案为：500人；
（2）500×15%﹣15＝60（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）根据题意，列表如下：
共有9个等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种APP的情况有3种，
∴小强和他爸爸选择同一种APP的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图；列表得出所有结果是解题的关键．
20．已知：BA⊥BD，FD⊥BD，AB＝CD，AC＝CF，求证：AC⊥FC．
【分析】根据HL可直接证明Rt△ABC≌Rt△CDF，可得∠BAC＝∠DCF，则∠DCF+∠ACB＝90°，再结合垂直的定义可得结论．
【解答】证明：∵BA⊥BD，FD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDF（HL），
∴∠BAC＝∠DCF，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠DCF+∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，即AC⊥FC．
【点评】本题主要考查直角三角形的全等的性质与判定，熟练掌握HL的证明方法是解题基础．
21．某水果商贩用600元购进了一批水果，上市后销售非常好，商贩又用1400元购进第二批这种水果，所购水果数量是第一批购进数量的2倍，但每箱进价多了5元．
（1）求该商贩第一批购进水果每箱多少元；
（2）由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖，该商贩将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于800元，求每箱水果的售价至少是多少元？
【分析】（1）设该商场第一批购进了这种水果x箱，则第二批购进这种水果2x箱，根据关键语句“每个进价多了5元”可得方程，解方程即可；
（2）设水果的售价为y元，根据题意可得不等关系：水果的总售价﹣成本﹣损耗≥利润，由不等关系列出不等式即可．
【解答】解：（1）设该商场第一批购进了这种水果x箱，则第二批购进这种水果2x箱，
可得：，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原分式方程的解，
，
答：该商贩第一批购进水果每箱30元；
（2）设水果的售价为y元，根据题意得：
60y﹣（600+1400）﹣40×10%y≥800，
解得：y≥50，
则水果的售价为50元．
答：水果的售价至少为50元．
【点评】此题主要考查了分式方程，以及不等式的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系以及不等关系，列出方程与不等式．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点F，AB＝6，过B、F两点的⊙O交BA于点G，交BC于点E，EB恰为⊙O的直径．
（1）判断CD和⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若cs∠A＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OF，求出OF∥BD，根据等腰三角形性质求出CD⊥AB，推出OF⊥CD，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出BC，设半径为r，证△△CFO∽△CDB，得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，
理由如下：连接OF，
∵AC＝BC，CD平分∠ACB，
∴AD＝BD＝3，CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠OBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠FBD，
∴∠OFB＝∠FBD，
∴OF∥DB，
∴∠CFO＝∠BDC＝90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∴cs∠ABC＝cs∠A＝
在Rt△BDC中，cs∠ABC＝＝，
∴BC＝9，
∵OF∥DB，
∴△CFO∽△CDB，
设⊙O的半径是r，则＝，
∴r＝，
即⊙O的半径是．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．
23．如图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别交于点B、C（5，0），与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（﹣1，m），D是反比例函数位于第二象限内的图象上一点．
（1）求m的值及直线BC的解析式．
（2）将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对应点D'恰好落在直线BC上，求D点的坐标．
【分析】（1）先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BC的解析式；
（2）设点D落在D′处，连接OD、OD′，过点D、D′分别作x轴的垂线，垂足为E、F，易证得△DEO≌△OFD'，得到DE＝OF，OE＝D′F，设D点的坐标为（x，﹣），则D′点的坐标为（﹣，﹣x），把D′的坐标代入BC的解析式，求得x的值，即可求得D的坐标．
【解答】解：（1）直线BC与函数y＝﹣的图象交于点A（﹣1，m），
∴m＝﹣＝6，
∴A（﹣1，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，6），C（5，0）代人得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
（2）如图，设点D落在D′处，连接OD、OD′，过点D、D′分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵∠DOD′＝90°，
∴∠DOE+∠D′OF＝90°，
又∵∠DOE+∠ODE＝90°，
∴∠DOF＝∠ODE，
又∵OD＝OD′，∠DFO＝∠D′FO＝90°，
∴△DEO≌△OFD'（AAS），
∴DE＝OF，OE＝D′F，
设D点的坐标为（x，﹣），则D′点的坐标为（﹣，﹣x），
∵对应点D'恰好落在直线BC上，
∴+5＝﹣x，
解得x＝﹣2或x＝﹣3，
当x＝﹣2时，y＝﹣＝3；当x＝﹣3时，y＝﹣＝2，
∴D点的坐标为（﹣2，3）或（﹣3，2）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
24．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t＝3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【分析】（1）当t＝3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE∥OA，DE＝OA＝4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB＝∠DEA＝90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF＝AE＝3即可；
（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式，＝，由三角形中位线定理得出DM＝AB＝3，DN＝OA＝4，证明△DMF∽△DNE，得出＝，再由三角函数定义即可得出答案；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，NE＝3﹣t，求出S△ADF：S△ADE＝2：1（等比性质），得（AF•DM）：（AE•DN）＝2：1，由△DMF∽△DNE得：MF＝（3﹣t），求出AF＝4+MF＝﹣t+，得出3×（﹣t+）：（4t）＝2：1，求出t的值即可；
②当点E越过中点之后，NE＝t﹣3，解法同①．
【解答】解：（1）当t＝3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA＝8，OC＝6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE＝OA＝4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB＝∠DEA＝90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF＝AE＝3；
（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴，＝，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM＝AB＝3，DN＝OA＝4，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDM＝∠EDN，
又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴＝，
∵∠EDF＝90°，
∴tan∠DEF＝＝；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，EN＝3﹣t，
S△DFG：S△DEG＝2：1，
∵同高，
∴FG：EG＝2：1，∴S△AFG：S△AEG＝2：1，
∴S△ADF：S△ADE＝2：1（等比性质），
∴（AF•DM）：（AE•DN）＝2：1，
∴（AF•DM）：（AE•DN）＝2：1，
由△DMF∽△DNE得：＝＝，
∴FM＝EN＝（3﹣t），
∴AF＝4+MF＝﹣t+，
∴3×（﹣t+）：（4t）＝2：1，
解得：t＝；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE＝t﹣3，
∴FG：EG＝1：2，∴S△AFG：S△AEG＝1：2，
∴S△ADF：S△ADE＝1：2（等比性质），
∴（AF•DM）：（AE•DN）＝1：2，
∴（AF•DM）：（AE•DN）＝1：2，
由△DMF∽△DNE得：
∴＝＝，
∴FM＝EN＝（3﹣t），
∴AF＝4+MF＝﹣t+，
∴3×（﹣t+）：（4t）＝1：2，
解得：t＝；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、一次函数解析式的求法等知识；本题综合性强，难度较大．
25．如图1，抛物线y＝mx2+8mx+12m（m＞0），与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，点D是第三象限内抛物线上的一点，连接OD、AD、BD．
（1）若△OBC为等腰直角三角形，求m的值；
（2）若OD＝BD，∠ODA＝∠OBD，求抛物线的函数表达式；
（3）如图2，点P是抛物线上一动点，点Q在抛物线的对称轴上，若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）△OBC为等腰直角三角形，故OB＝OC，即6＝12m，即可求解；
（2）证明△ODA∽△OBD，求出OD＝2，进而求解；
（3）①当BC是菱形的边时，则点B向右平移6个单位向上平移12m个单位得到点C，同样Q（P）向右平移6个单位向上平移12m个单位得到点P（Q），得到点P的坐标为（2，n+12m）或（﹣10，n﹣12m），进而求解；②当BC是对角线时，由中点坐标公式得：点P（﹣2，12m﹣n），进而求解．
【解答】解：（1）令y＝mx2+8mx+12m＝0，则x＝﹣2或﹣6，令x＝0，则y＝12m，
即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（﹣6，0），点C（0，12m）；
∵△OBC为等腰直角三角形，故OB＝OC，
即6＝12m，
解得：m＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x+6；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠ODA＝∠OBD，∠AOD＝∠BOD，
∴△ODA∽△OBD，
则OD2＝OA•OB＝2×6＝12，则OD＝2，
∵OD＝BD，DH⊥AB，
则OH＝AB＝3，∠DBO＝∠BOD＝∠ODA，
则AH＝OH﹣AO＝3﹣2＝1，
∵∠BOD＝∠ODA，
∴AD＝OA＝2，
则HD＝＝＝，
即点D（﹣3，﹣），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣＝9m﹣24m+12m，
解得：m＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x+4；
（3）由（1）知，点B（﹣6，0），点C（0，12m），抛物线的对称轴为x＝﹣4，
设点Q（﹣4，n），
①当BC是菱形的边时，
则点B向右平移6个单位向上平移12m个单位得到点C，同样Q（P）向右平移6个单位向上平移12m个单位得到点P（Q），
则点P的坐标为（2，n+12m）或（﹣10，n﹣12m），
当点P的坐标为（2，n+12m），将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：n＝20m，
即点P的坐标为（2，32m），
∵以点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则BC＝PC，
即（﹣6）2+（12m）2＝（2﹣0）2+（32m﹣12m）2，
解得：m＝（舍去负值），即m＝，
即点P（2，8）；
当点P的坐标为（﹣10，n﹣12m）时，
同理可得：点P（﹣10，）；
②当BC是对角线时，由中点坐标公式得：点P（﹣2，12m﹣n），
将点P的坐标代入抛物线表达式得：12m﹣m＝4m﹣16m+12m，
解得：n＝12m，
此时，点P的纵坐标和点C的纵坐标相同，显然不可能，故舍去；
综上，点P的坐标为（2，8）或（﹣10，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及到一次函数的性质、图形的平移、三角形相似、菱形的基本性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．