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    高考数学复习核心专题突破(一) 微专题1 利用导数研究恒成立或存在性问题(导学案)

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    高考数学复习核心专题突破(一) 微专题1 利用导数研究恒成立或存在性问题(导学案)

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    这是一份高考数学复习核心专题突破(一) 微专题1 利用导数研究恒成立或存在性问题(导学案),共12页。
    分离参数求参数范围
    [典例1](2022·嘉兴模拟)已知函数f(x)=-xln x+a(x+1),a∈R.
    (1)求函数f(x)的单调区间;
    (2)若关于x的不等式f(x)≤2a在[2,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
    解析:(1)当a=0时,f(x)=-xln x(x>0),f'(x)=-ln x-1,
    由f'(x)>0解得00解得02,所以g'(x)>0,
    所以g(x)在区间(2,+∞)上单调递增,
    所以g(x)>g(2)=e2,所以a≤e2;
    综上所述,a的取值范围是(-∞,e2].
    方法二:f'(x)=(x-1)(ex-a),
    ①当a≤0时,因为x≥2,
    所以x-1>0,ex-a>0,
    所以f'(x)>0,
    则f(x)在[2,+∞)上单调递增,f(x)≥f(2)=0成立;
    ②当00,f(x)单调递增;
    ②01,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
    当x∈(1,m)时,f'(x)1时,x22lnx≥m;
    当00,
    所以φ(x)在(0,ln a+1)上单调递减,
    在(ln a+1,+∞)上单调递增,
    当ln a+1≤1,即1e1时,φ(x)在[1,ln a+1)上单调递减,在(ln a+1,+∞)上单调递增,
    所以φ(x)min=φ(ln a+1)1不符合题意;
    综上,实数a的取值范围为(-∞,1].
    等价转化法解决恒成立问题的策略
    (1)遇到“f(x)≥g(x)”型的不等式恒成立问题时,一般采用作差法,构造“左减右”的函数h(x)=f(x)-g(x)或“右减左”的函数u(x)=g(x)-f(x),进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0;
    (2)将比较法的思想融入函数中,转化为求解函数最值的问题,适用范围较广,但是往往需要对参数进行分类讨论.
    (2023·大连模拟)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x.
    (1)当a>2时,求函数f(x)的单调区间;
    (2)若存在x∈[1,+∞),使f(x)0,f'(x)=2x-(a+2)+ax=2x2−(a+2)x+ax=(2x−a)(x−1)x,
    又a2>1,所以当f'(x)>0时,01),
    所以φ(t)在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,
    所以φ(t)max=φ(2)=ln 2-12时,不等式恒成立;
    (另解:当a>2时,f(x)在(1,a2)上单调递减,在(a2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a2)x2-(a+1a)x+1,x∈(1a,a),
    所以(x-a)·ln(ax)>(x-a)(x-1a),
    因为x0,
    则φ(a)在(1,+∞)上单调递增,
    所以φ(a)>φ(1)=0,
    即h(x)max>0,与ln(ax)-x+1ag(x)对∀x∈(1a,a)恒成立.
    不等式存在与成立问题
    [典例3]已知函数f(x)=13x3+x2+ax.
    (1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a的最小值;
    (2)若函数g(x)=xex,对∀x1∈[12,2],∃x2∈[12,2],使f'(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围.
    解析:(1)由题设知f'(x)=x2+2x+a≥0在[1,+∞)上恒成立,
    即a≥-(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立,
    而函数y=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,则ymax=-3,
    所以a≥-3,所以a的最小值为-3;
    (2)“对∀x1∈[12,2],∃x2∈[12,2],
    使f'(x1)≤g(x2)成立”等价于
    “当x∈[12,2]时,f'(x)max≤g(x)max”.
    因为f'(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1
    在[12,2]上单调递增,
    所以f'(x)max=f'(2)=8+a,
    而g'(x)=1−xex,由g'(x)>0,得x0时,求函数f(x)的单调区间;
    (2)若存在x∈[1e,e2],使得不等式f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围.
    解析:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a-2a+1x+2x2=ax2−(2a+1)x+2x2=(ax−1)(x−2)x2,
    ①当1a=2,即a=12时,
    对∀x>0,f'(x)≥0,
    此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
    ②当0

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