高考数学复习核心专题突破(六)　微专题14　高考中的概率与统计问题（导学案）

这是一份高考数学复习核心专题突破(六)　微专题14　高考中的概率与统计问题（导学案），共21页。

题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
[典例1](2023·武汉模拟)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分),将不低于50分的考生的成绩分为5组,即[50,60),[60,70),[70,80), [80,90), [90,100],并绘制频率分布直方图如图所示,其中在[90,100]内的人数为3.
(1)求a的值,并估计不低于50分考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(2)现把[50,60)和[90,100]内的所有考生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上,并放在盒子内,现从盒中随机抽取2个小球,若取出的两人成绩差不小于30,则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取4次,每次取出2个小球,记下考号后再放回盒内,记取出“黄金搭档组”的次数为X,求X的分布列和均值E(X).
解析：(1)由题意,得(0.005+0.01+0.015+a+0.045)×10=1,解得a=0.025,不低于50分的考生的平均成绩估计为55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分).
(2)在[90,100]上的频率为0.005×10=0.05,由条件得总人数为30.05=60,
所以在[50,60)内的人数为60×0.1=6,每次抽取出“黄金搭档组”的概率P=C61C31C92=12,
因此X~B(4,12),
P(X=0)=C40×(12)0×(1-12)4=116,
P(X=1)=C41×(12)1×(1-12)3=14,
P(X=2)=C42×(12)2×(1-12)2=38,
P(X=3)=C43×(12)3×(1-12)1=14,
P(X=4)=C44×(12)4×(1-12)0=116,
X的分布列为
E(X)=np=4×12=2.
【方法提炼】
频率分布直方图与分布列综合问题的考查点及解题关键
(1)高考常将频率分布直方图与分布列交汇命题,常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查;
(2)在解答此类题时,准确把题中所涉及的事件进行分解,明确所求问题所属的事件类型是关键.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.
【对点训练】
(2023·西安模拟)某超市每年10月份都销售某种桃子,在10月份的每天计划进货量都相同,进货成本为每千克16元,销售价为每千克24元;当天超出需求量的部分,以每千克10元全部卖出.根据往年销售经验,每天的需求量与当天最高气温(单位:℃)有一定关系:最高气温低于25℃,需求量为1 000千克;最高气温位于[25,30)内,需求量为2 000千克;最高气温不低于30℃,需求量为3 000千克.为了制订2023年10月份的订购计划,超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据,得到如图所示的频率分布直方图.
以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率.
(1)求2023年10月份桃子一天的需求量X的分布列;
(2)设2023年10月份桃子一天的销售利润为Y元,当一天的进货量为多少千克时,E(Y)取到最大值?
解析：(1)由题意知X的可能取值为1 000,2 000,3 000,
P(X=1 000)=(0.008 9+0.031 1)×5=0.2,
P(X=2 000)=0.080 0×5=0.4,
P(X=3 000)=(0.046 7+0.033 3)×5=0.4.
所以X的分布列为
(2)设一天的进货量为n千克,则1 000≤n≤3 000.
①当1 000≤n<2 000时,
若最高气温不低于25℃,则Y=8n;
若最高气温低于25℃,则Y=1 000×8-(n-1 000)×6=14 000-6n.
此时E(Y)=0.8×8n+0.2×(14 000-6n)=5.2n+2 800<13 200.
②当2 000≤n≤3 000时,
若最高气温不低于30℃,则Y=8n;
若最高气温位于[25,30)内,则Y=2 000×8-(n-2 000)×6=28 000-6n;
若最高气温低于25℃,则Y=1 000×8-(n-1 000)×6=14 000-6n.
此时E(Y)=0.4×8n+0.4×(28 000-6n)+0.2×(14 000-6n)=14 000-0.4n≤13 200,当且仅当n=2 000时取等号.
综上,当一天的进货量为2 000千克时,E(Y)取到最大值.
【加练备选】
(2023·海口模拟)国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》规定46个城市实施生活垃圾强制分类,垃圾回收利用率要达35%以上.某市在实施垃圾分类之前,对该市大型社区(即人口数量在1万左右)一天产生的垃圾量(单位:吨)进行了调查.已知该市这样的大型社区有200个,如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.
(1)根据上述资料,估计当天这50个社区垃圾量的平均值x(四舍五入精确到整数);
(2)若当天该市这类大型社区的垃圾量X~N(μ,9),其中μ近似为(1)中的样本平均值x,请根据X的分布估计这200个社区中“超标”社区的个数(四舍五入精确到整数);
(3)市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查,现从这些社区中随机抽取3个进行重点监控,设Y为其中当天垃圾量至少为16吨的社区个数,求Y的分布列与均值.
附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析：(1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为[4,6),[6,8),[8,10),[10,12), [12,14),[14,16),[16,18]的频率分别为0.08,0.10,0.20,0.24,0.18,0.12,0.08,
x=5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08=11.04≈11,
所以估计当天这50个社区垃圾量的平均值为11吨.
(2)由(1)知μ=11,因为σ2=9,所以σ=3,
所以P(X>14)=P(X>μ+σ)=1-0.682 72=0.158 65,
所以这200个社区中“超标”社区的个数为200×0.158 65≈32.
(3)由(1)得样本中当天垃圾量为[14,16)的社区有50×0.12=6(个),垃圾量为[16,18]的社区有50×0.08=4(个),
所以Y的所有可能取值为0,1,2,3,
P(Y=0)=C63C103=16,P(Y=1)=C62C41C103=12,
P(Y=2)=C61C42C103=310,P(Y=3)=C43C103=130,
所以Y的分布列为
所以E(Y)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
题型二 回归模型与分布列的综合问题
[典例2](2023·石家庄模拟)某公司为了提高利润,从2016年到2022年每年都对生产环节的改进进行投资,投资金额x(单位:万元)与年利润增长量y(单位:万元)的数据如表:
(1)请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程.如果2023年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元,估计该公司在2023年的年利润增长量为多少.(结果保留两位小数)
(2)现从2016年到2022年这7年中抽出3年进行调查,记λ=年利润增长量-投资金额,设这3年中λ≥2万元的年份个数为ξ,求随机变量ξ的分布列与期望.
参考公式: =∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2, =y-x.参考数据:∑i=17xiyi=359.6,∑i=17xi2=259.
解析：(1)x=6,y=8.3,7x y=348.6,
=∑i=17xiyi-7x y∑i=17xi2-7x2=359.6-348.6259-7×36=117≈1.57,
=y-x=8.3-117×6≈-1.13,
所以经验回归方程为=1.57x-1.13.
将x=8代入方程得=1.57×8-1.13=11.43,
即该公司在2023年的年利润增长量大约为11.43万元.
(2)由题意可知,
ξ的可能取值为1,2,3,P(ξ=1)=C22C51C73=17;
P(ξ=2)=C21C52C73=47;P(ξ=3)=C53C73=27.
则ξ的分布列为
E(ξ)=1×17+2×47+3×27=157.
【方法提炼】
高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查,求解时注意概率模型的应用,明确所求问题所属的事件类型是关键.
【对点训练】
设某幼苗从观察之日起,第x天的高度为y(cm),测得的一些数据如下表所示:
作出这组数据的散点图发现:y(cm)与x(天)之间近似满足关系式y=bx+a,其中a,b均为大于0的常数.
(1)试借助一元线性回归模型,根据所给数据,用最小二乘法对a,b作出估计,并求出y关于x的经验回归方程;
(2)在作出的这组数据的散点图中,甲同学随机圈取了其中的3个点,记这3个点中幼苗的高度大于y的点的个数为ξ,其中y为表格中所给的幼苗高度的平均数,试求随机变量ξ的分布列和均值.
解析：(1)令μ=x,则y=bμ+a,根据已知数据表得到下表:
μ=1+2+3+4+5+6+77=4,
y=0+4+7+9+11+12+137=8,
通过上表计算可得
=∑i=17uiyi-7uy∑i=17ui2-7u2=283-7×4×8140-7×16=5928,
因为回归直线=μ+过点(μ,y),
所以=y-μ=-37,
故y关于x的经验回归方程为=5928x-37.
(2)7天中幼苗高度大于y=8的有4天,小于等于8的有3天,从散点图中任取3个点,即从这7天中任取3天,所以这3个点中幼苗的高度大于y的点的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=C33C40C73=135;
P(ξ=1)=C32C41C73=1235;
P(ξ=2)=C31C42C73=1835;
P(ξ=3)=C30C43C73=435.
所以随机变量ξ的分布列为
随机变量ξ的均值
E(ξ)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.
【加练备选】
数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏,玩家需要根据9×9盘面上的已知数字,推理出所有剩余空格的数字,并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1~9,且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
(1)赛前小明在某数独App上进行了一段时间的训练,每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关,经统计得到如下数据:
现用=+作为经验回归方程模型,请利用表中数据,求出该经验回归方程;(a,b用分数表示)
(2)小明和小红在数独App上玩“对战赛”,每局两人同时开始解一道数独题,先解出题的人获胜,不存在平局,两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为23,且各局之间相互独立,设比赛X局后结束,求随机变量X的分布列及均值.
参考数据(其中ti=1xi):
解析：(1)因为=+ ,ti=1xi,
所以=+t.
因为y=910+800+600+440+300+240+2107=500,
所以=1 750-7×0.37×5000.55=4550.55=9 10011,
所以=y-t=500-9 10011×0.37=2 13311,
所以=2 13311+9 10011t,
所以所求经验回归方程为=2 13311+9 10011x.
(2)随机变量X的所有可能取值为3,4,5,
P(X=3)= (23)3+(13)3=13,
P(X=4)=C32(23)2×13×23+C32(13)2×23×13=1027,P(X=5)=C42(23)2×(13)2×23+C42(13)2×(23)2×13=827.
所以随机变量X的分布列为
E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727.
题型三 独立性检验与分布列的综合问题
[典例3]2022年卡塔尔世界杯于当地时间11月20日开赛,某国家队为考察甲、乙两名球员对球队的贡献,现作如下数据统计:
乙球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置,且出场率分别为0.1,0.5,0.4;在乙出任前锋、中场、后卫的条件下,球队输球的概率依次为0.2,0.2,0.7.
(1)根据小概率值α=0.025的独立性检验,能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联?
(2)根据数据统计,问:
①当乙参加比赛时,求该球队某场比赛输球的概率;
②当乙参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求乙球员担当中场的概率;
③如果你是教练员,应用概率统计有关知识,该如何使用乙球员?
附表:
解析：(1)由题表中数据可得,b=60-30=30,c=60-30=30,
e=30+10=40,n=60+40=100,f=100-60=40,
零假设为H0:该球队胜利与甲球员参赛无关联,
则χ2=100×(30×10-30×30)260×40×60×40=6.25>5.024,
根据小概率值α=0.025的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联.
(2)①设A1表示“乙球员担当前锋”, A2表示“乙球员担当中场”, A3表示“乙球员担当后卫”, B表示“球队输掉某场比赛”,
则P(A1)=0.1,P(A2)=0.5,P(A3)=0.4,
P(B|A1)=P(B|A2)=0.2,P(B|A3)=0.7,
故P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.1×0.2+0.5×0.2+0.4×0.7=0.4,
故该球队某场比赛输球的概率是0.4.
②由①知,球队输的条件下,乙球员担当中场的概率P(A2|B)=P(A2B)P(B)=0.5×
③由①知,球队输的条件下,乙球员担当前锋的概率P(A1|B)=P(A1B)P(B)=0.1×,
球队输的条件下,乙球员担当后卫的概率P(A3|B)=P(A3B)P(B)=0.4×,
0.05<0.25<0.7,故应该多让乙球员担任前锋,来扩大赢球场次.
【方法提炼】
高考常将独立性检验与统计等交汇在一起进行考查,由统计图表解决相关问题.
【对点训练】
(2023·大连模拟)某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级,为了更好地对比技术升级前和升级后的效果,其中甲生产线继续使用旧的生产模式,乙生产线采用新的生产模式.质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各200件该医疗用品,在抽取的400件产品中,根据检测结果将它们分为“A”“B”“C”三个等级,A,B等级都是合格品,C等级是次品,统计结果如表所示:
(表一)
(表二)
在相关政策扶持下,确保每件该医疗用品的合格品都有对口销售渠道,但按照国家对该医疗用品产品质量的要求,所有的次品必须由厂家自行销毁.
(1)请根据所提供的数据,完成上面的2×2列联表(表二),依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为产品的合格率与技术升级有关?
(2)在抽检的所有次品中,按甲、乙生产线生产的次品比例进行分层随机抽样抽取10件该医疗用品,然后从这10件中随机抽取5件,记其中属于甲生产线生产的有X件,求X的分布列和均值;
(3)每件该医疗用品的生产成本为20元,A,B等级产品的出厂单价分别为m元、40元.若甲生产线抽检的该医疗用品中有70件为A等级,用样本的频率估计概率,若进行技术升级后,平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过9元,则A等级产品的出厂单价最高为多少元?
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
解析：(1)根据所提供的数据,可得2×2列联表:
零假设为H0:产品的合格率与技术升级无关,根据列联表中的数据,经计算得到
χ2=400×(160×10-190×40)2200×200×350×50=1447≈20.571>10.828=x0.001,
所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为产品的合格率与技术升级有关.
(2)由于所有次品中,甲、乙生产线生产的次品比例为4∶1,故抽取的10件中有8件甲生产线的,2件乙生产线的,从中随机抽取5件,其中属于甲生产线的数量X的所有可能取值为3,4,5,
则P(X=3)=C83C22C105=29,P(X=4)=C84C21C105=59,
P(X=5)=C85C105=29,所以X的分布列为
所以E(X)=3×29+4×59+5×29=4.
(3)甲生产线抽检的产品中有70件A等级,90件B等级,40件C等级,
乙生产线抽检的产品中有130件A等级,60件B等级,10件C等级,
因为用样本的频率估计概率,
所以对于甲生产线,单件产品的利润
x甲=70m+90×40-200×20200=720m-2,
对于乙生产线,单件产品的利润
x乙=130m+60×40-200×20200=1320m-8.
x乙-x甲=1320m-8-(720m-2)≤9,所以m≤50.
即A等级产品的出厂单价最高为50元.
【加练备选】
(2022·滨州模拟)为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务时间的统计数据如表:
(1)求m,n;
(2)根据小概率值α=0.050的独立性检验,能否认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?
(3)从该校学生中随机调查60名学生,一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X,以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,求X的数学期望.
附:
χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
【解题指南】(1)根据分层抽样方法,计算比例,即可求解;
(2)补全2×2列联表,按照公式计算χ2,根据独立性检验,可得结论;
(3)根据题意,以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,计算概率为3248=23,符合二项分布,计算期望.
解析：(1)根据分层抽样法,抽样比例为n960=20+8560,所以n=48,所以m=48-20-8-12=8.
(2)根据题意完善2×2列联表,如下:
零假设为H0:该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别无关.
计算χ2=48×(20×8-8×12)228×20×32×16≈0.685 7<3.841=x0.050,
根据小概率值α=0.050的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此不能认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.
(3)参加社区服务时间超过1小时的频率为3248=23,用频率估计概率,从该校学生中随机调查60名学生,则X~B(60,23),则E(X)=60×23=40.
题型四 概率、统计与函数、数列的结合
角度1 概率与数列的交汇
[典例4]某几位大学生自主创业创办了一个服务公司,提供A,B两种民生消费产品(人们购买时每次只买其中一种)服务,他们经过统计分析发现:第一次购买产品的人购买A的概率为23,购买B的概率为13,而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为14,购买B产品的概率为34,前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为12,购买B产品的概率也是12,如此往复.记某人第n次来购买A产品的概率为Pn.
(1)求P2,并证明数列Pn-25是等比数列;
(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品,求X的分布列并求E(X);
(3)经过一段时间的经营,每天来购买产品的人稳定在800人,假定这800人都已购买过很多次该两款产品,那么公司每天应至少准备A,B产品各多少份?(直接写结论,不必说明理由)
解析：(1)P2=23×14+13×12=13,
由题意可知Pn+1=14×Pn+12×(1-Pn)=-14Pn+12,
所以Pn+1-25=-14(Pn-25),
又P1-25=23-25=415,
所以数列Pn-25是首项为415,公比为-14的等比数列.
(2)X的可能取值有0,1,2,3,
且P(X=k)=C3k(13)k(23)3-k,
故P(X=0)= (23)3=827,
P(X=1)=C31×13×(23)2=49,
P(X=2)=C32×(13)2×23=29,
P(X=3)= (13)3=127,
故X的分布列为
E(X)=0×827+1×49+2×29+3×127=1.
(3)由(1)知Pn-25=415×(-14)n-1,
故Pn=415×(-14)n-1+25,
所以当n→+∞时,Pn→25,
故准备A产品800×25=320(份),准备B产品800×35=480(份).
【方法提炼】
概率与数列的交汇问题的主要类型
(1)求通项公式:关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式,然后根据构造法(一般构造等比数列)求出通项公式;
(2)求和:主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和;
(3)利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限.
角度2 概率与函数的交汇
[典例5]某地盛产橙子,但橙子的品质与当地的气象相关指数λ有关,气象相关指数λ越大,橙子品质越高,售价同时也会越高.某合作社统计了近10年当地的气象相关指数λ,得到了如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)从这10年中任意抽取3年研究气象相关指数λ对橙子品质的影响,求这3年的气象相关指数λ在[0.9,1]之间的个数X的数学期望;
(3)根据往年数据知,该合作社的利润y(单位:千元)与每亩地的投入x(单位:千元)和气象相关指数λ之间的关系为y=100λ-200x+2λ-4x-40,x∈[4,8],求气象相关指数λ取何值时,对于任意的x∈[4,8],该合作社都不亏损.
解析：(1)由频率分布直方图可知0.1×(1+1+a+5)=1,解得a=3;
(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,
10年中气象相关指数λ在[0.9,1]之间的频数为5×0.1×10=5,
P(X=0)=C53C103=112,P(X=1)=C52C51C103=512,
P(X=2)=C51C52C103=512,P(X=3)=C53C103=112,
所以X的分布列为
E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=32;
(3)由题意得y≥0在x∈[4,8]上恒成立,即25λ≥(x+10)(x+2)x在x∈[4,8]上恒成立,
令g(x)=(x+10)(x+2)x=x+20x+12,x∈[4,8],则25λ≥g(x)max,
g'(x)=1-20x2,
由g'(x)>0,得25由g'(x)<0,得4≤x<25,所以g(x)在[4,25)上单调递减,
又g(4)=21,g(8)=22.5,所以g(x)max=22.5,所以25λ≥22.5,解得λ≥0.9,
所以当气象相关指数λ∈[0.9,1]时,对于任意的x∈[4,8],该合作社都不亏损.
【方法提炼】
概率统计与函数的交汇问题,解题的关键点
(1)借助二次函数,分段函数的性质,利用单调性求均值和方差的最值;
(2)利用导数研究函数的极值点,从而确定最优解.但问题的本质仍是以概率统计为主导,利用函数辅助求解.
【对点训练】
(2023·长沙模拟)湖南省会城市长沙是楚文明和湖湘文化的发源地,是国家首批历史文化名城.城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观,又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹,每年都有大量游客来长沙参观旅游.为了合理配置旅游资源,管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查,据统计,其中13的人计划只游览岳麓山,另外23的人计划既游览岳麓山又参观马王堆.每位游客若只游览岳麓山,则记1分;若既游览岳麓山又参观马王堆,则记2分.假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立,视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取3人,记这3人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望;
(2)从游客中随机抽取n人(n∈N*),记这n人的合计得分恰为n+1分的概率Pn,求P1+P2+…+Pn;
(3)从游客中随机抽取若干人,记这些人的合计得分恰为n分的概率an,随着抽取人数的无限增加,an是否趋近于某个常数.若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.
解析：(1)由题意知,每位游客计划不参观马王堆的概率为13,参观马王堆的概率为23,则X的可能取值为3,4,5,6,
P(X=3)= (13)3=127,P(X=4)=C31·23·(13)2=29,P(X=5)=C32·(23)2·13=49,P(X=6)= (23)3=827,
所以X的分布列如表所示:
所以E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5;
(2)因为这n人的合计得分为n+1分,则其中只有1人计划参观马王堆,所以Pn=Cn1·23·(13)n-1=2n3n,
设Sn=P1+P2+…+Pn=23+432+633+…+2n3n,
则13Sn=232+433+634+…+2(n-1)3n+2n3n+1,
由两式相减,得23Sn=23+232+233+…+23n-2n3n+1=2×13(1-13n)1-13-2n3n+1=1-2n+33n+1,所以P1+P2+…+Pn=Sn=32(1-2n+33n+1);
(3)在随机抽取的若干人的合计得分为(n-1)分的基础上再抽取1人,则这些人的合计得分可能为n分或(n+1)分,记“合计得n分”为事件A,“合计得(n+1)分”为事件B,A与B是对立事件.
因为P(A)=an,P(B)=23an-1,所以an+23an-1=1(n≥2),
即an-35=-23(an-1-35)(n≥2).
因为a1=13,则数列an-35是首项为-415,公比为-23的等比数列,所以an-35=-415(-23)n-1,n≥1,所以an=35-415(-23)n-1=35+25·(-23)n.
因为0<-23<1,则当n→+∞时, (-23)n→0,所以an→35,所以随着抽取人数的无限增加,an趋近于常数35.
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116
X
1 000
2 000
3 000
P
0.2
0.4
0.4
Y
0
1
2
3
P
16
12
310
130
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
投资金额
x/万元
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增
长量y/万元
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
λ/万元
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
ξ
1
2
3
P
17
47
27
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度y(cm)
0
4
7
9
11
12
13
x
1
4
9
16
25
36
49
μ=x
1
2
3
4
5
6
7
y
0
4
7
9
11
12
13
ξ
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒/题)
910
800
600
440
300
240
210
∑i=17tiyi
t
∑i=17ti2-7t2
1 750
0.37
0.55
X
3
4
5
P
13
1027
827
项目
球队胜
球队负
合计
甲参加
30
b
60
甲未参加
c
10
f
合计
60
e
n
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
等级
A
B
C
频数
200
150
50
生产线
检测结果
合计
合格品
次品
甲
160
乙
10
合计
α
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
生产线
检测结果
合计
合格品
次品
甲
160
40
200
乙
190
10
200
合计
350
50
400
X
3
4
5
P
29
59
29
性别
时间
超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
性别
时间
合计
超过1小时
不超过1小时
男
20
8
28
女
12
8
20
合计
32
16
48
X
0
1
2
3
P
827
49
29
127
X
0
1
2
3
P
112
512
512
112
X
3
4
5
6
P
127
29
49
827