高考数学复习规范答题提升课——函数与导数综合问题（导学案）

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规范答题提升课——函数与导数综合问题
[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=xeax-ex.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)<-1,求a的取值范围;
(3)设n∈N*,证明:112+1+122+2+…+1n2+n>ln(n+1).
问题1:如何讨论函数的单调性? 首先设函数y=f(x)在某区间D内可导,如果f'(x)>0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f'(x)<0,则f(x)在区间D内为减函数.
问题2:如何解决不等式的恒成立问题? 一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性;如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号;有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.
(1)当a=1时,f(x)=(x-1)ex,则f'(x)=xex,……2分
当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; ……4分
(基础得分点,判断函数的单调性)
(2)设h(x)=xeax-ex+1,则h(0)=0,
又h'(x)=(1+ax)eax-ex,
设g(x)=(1+ax)eax-ex,则g'(x)=(2a+a2x)eax-ex,
………………5分
若a>12,则g'(0)=2a-1>0,故存在x0∈(0,+∞),使得∀x∈(0,x0),总有g'(x)>0,故g(x)在(0,x0)为增函数,故x∈(0,x0)时g(x)>g(0)=0,故h(x)在(0,x0)为增函数,故x∈(0,x0)时h(x)>h(0)=0,与题设矛盾.
若00),故S'(x)=11+x-1=-x1+x<0,故S(x)在(0,+∞)上为减函数,故S(x)0时ln(1+x)基础分
发展分
终极分
≤4分
[5,8]分
≥8分
约30%
约30%
约40%
(1)得步骤分:对于解题过程中是得分点的,有则给分,无则没分,对于得分点步骤一定要写全.
第(1)问中首先将a=1代入到函数解析式中,然后对函数f(x)求导,进而分析函数的单调性,有则给分,无则不得分.
第(2)问中构造新的函数h(x),对函数h(x)求导,求导后,再构造函数g(x),对函数g(x)求导,进而分析论证得出函数h(x)的单调性,有则给分,无则不得分.
(2)得关键分:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,解题时一定要写清得分的关键点.
所以eax+ln(1+ax)-ex故h'(x)≤0总成立,即h(x)在(0,+∞)上为减函数,
所以h(x)当a≤0时,eax≤1,ex>1,axeax≤0,
所以h'(x)=eax-ex+axeax<0,………………7分
所以h(x)在(0,+∞)上为减函数,所以h(x)综上a≤12,即a的取值范围是(-∞,12].8分
(发展得分点,函数的恒成立问题,求参数取值范围)
(3)取a=12,则∀x>0,总有xe12x-ex+1<0成立,
令t=e12x,则t>1,t2=ex,x=2ln t,
故2tln t1恒成立.
………………………………9分
所以对任意的n∈N*,有2ln n+1n整理得ln(n+1)-ln n<1n2+n,………………10分
故112+1+122+2+…+1n2+n>ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+…+ln(n+1)-ln n=ln(n+1),故不等式成立.………………………………12分
(终极得分点,导数与不等式综合应用)
第(2)问中的关键是通过反复构造函数,然后求导,进而确定函数h(x)的单调性,利用恒成立问题的解题思路求解,过程比较繁琐,但是每个关键的求解过程必须要全,否则扣掉相应分数.
第(3)问的关键是取a=12,得到xe12x-ex+1<0这一不等式,构造2ln t1恒成立,进而进行证明.
(3)得运算分:第(1)问中对函数f(x)求导,计算正确得分,错误不给分.
第(2)问对构造的新函数求导,计算正确得分,错误不给分,分a>12,0解题思维
技巧策略
函数与导数问题一般以函数为载体,以导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,这些都是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.