高考数学复习规范答题提升课——立体几何综合问题（导学案）

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规范答题提升课——立体几何综合问题
[典例]
(12分)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P­ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C­AE­B的正弦值．
问题1：看到证明线面平行想到什么？
思路 由线面平行的判定定理进行证明．
问题2：如何证明(1)中线面平行？
思路 构造平行四边形或三角形中位线，先证明线线平行．
问题3：PO是三棱锥的高，PA＝PB，可以得出什么结论？
思路 斜线相等，它在底面的射影也相等．
问题4：如何求二面角C­AE­B的正弦值？
思路 建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的公式求解．
(1)连接BO并延长交AC于点D，连接OA，PD，
1分
因为PO是三棱锥P­ABC的高，
所以PO⊥平面ABC，AO，BO⊂平面ABC，
又PA＝PB，所以OA＝OB，
又AB⊥AC，所以∠BAC＝90°，
所以O是△ABD的外心，所以DO＝OB，2分
又E为PB的中点，所以OE为△PBD的中位线，
所以OE∥PD，3分
又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，
所以OE∥平面PAC；4分
（基础得分点，线面平行的判定）
(2)如图，以点A为坐标原点，直线AB，AC分别为x轴，y轴，过点A与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，6分
（发展得分点①，空间直角坐标系的建立）
因为PO＝3，AP＝5，所以OA＝ eq \r(AP2－PO2) ＝4，
又∠OBA＝∠OBC＝30°，BD＝2OA＝8，所以AD＝4，AB＝4 eq \r(3) ，AC＝12，
所以O(2 eq \r(3) ，2，0)，B(4 eq \r(3) ，0，0)，P(2 eq \r(3) ，2，3)，C(0，12，0)，所以E(3 eq \r(3) ，1， eq \f(3,2) )，
则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(3 eq \r(3) ，1， eq \f(3,2) )， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(4 eq \r(3) ，0，0)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(0，12，0)，
设平面AEB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝3\r(3)x1＋y1＋\f(3,2)z1＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝4\r(3)x1＝0，))
令z1＝2，得n＝(0，－3，2)；8分
设平面AEC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(AE,\s\up6(→))＝3\r(3)x2＋y2＋\f(3,2)z2＝0，,m·\(AC,\s\up6(→))＝12y2＝0，))
令x2＝ eq \r(3) ，得m＝( eq \r(3) ，0，－6)；10分
(发展得分点②，平面法向量的求法)
设二面角C­AE­B为θ，则|cs θ|＝ eq \f(|n·m|,|n||m|) ＝ eq \f(12,\r(13)×\r(39)) ＝ eq \f(4\r(3),13) ，11分
所以sin θ＝ eq \r(1－cs2θ) ＝ eq \f(11,13) ，故二面角C­AE­B的正弦值为 eq \f(11,13) .12分
（终极得分点，利用空间向量法求二面角）
基础分
发展分
终极分
≤4分
[5，9]分
≥10分
约30%
约45%
约25%
(1)得步骤分：对于解题过程中是得分点的，有则给分，无则没分，对于得分点步骤一定要写全．
第(1)问中正确作出辅助线得1分，通过证明推导出OE为△PBD的中位线，得1分，
利用线面平行的判定定理得出结论得2分；
第(2)问中根据(1)建立适当的空间直角坐标系，只要建系正确就可得分．再分别求出相关点的坐标，求出平面AEB及平面AEC的法向量，再根据二面角公式求解，有则给分，无则不得分．
(2)得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，解题时一定要写清得分的关键点．
第(1)问中证明线面平行的关键步骤要写清OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，有则给分，无则不得分；
第(2)问中的关键步骤是求出|csθ|＝ eq \f(|n·m|,|n||m|) 的值后，要转化为求sin θ＝ eq \r(1－cs2θ) ，如果没有进行转化扣掉1分．
(3)得计算分：通过建立适当的空间直角坐标系，解答正确与否，关键在运算上．如第(2)问中：
得分点①：正确求出相应点的坐标，坐标正确得分，只要有一个点的坐标不正确，直接影响到后边的运算．
得分点②：求出两个法向量，只要求解正确即可得2分．
得分点③：求|csθ|＝ eq \f(|n·m|,|n||m|) ，计算正确得1分，错误不得分．
得分点④：求sin θ＝ eq \r(1－cs2θ) 的值，计算正确得1分．
解题思维
技巧策略
立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系．
建模：将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；
建系：依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．