高考数学复习规范答题提升课——统计与概率综合问题（导学案）

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规范答题提升课——统计与概率综合问题
【知晓规范·考场不失分】
【明确思维·答题知策略】
[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1)
【审题导思】
问题1:如何根据频率分布直方图求平均数? 平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.
问题2:第(2)问中估计[20,70)的概率如何求? 直接求解运算量稍大些,可用P(A)=1-P(A)求解.
问题3:根据第(3)问中给出的信息,如何求概率? 利用条件概率公式P(C|B)=P(BC)P(B)求解.
【规范解答】
(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁);…………4分
(基础得分点,平均数的求法)
(2)设A=“一位这种疾病患者的年龄在区间[20,70)”,所以P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89;…………8分
(发展得分点,相关概率的求法)
(3)设B=“任选一人,年龄位于区间[40,50)”,C=“从该地区中任选一人患这种疾病”,
则由已知得:P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B|C)=0.023×10=0.23,…………10分
则由条件概率公式可得从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),此人患这种疾病的概率为P(C|B)=P(BC)P(B)=P(C)P(B|C)P(B)=0.001× 437 5≈0.001 4.…………12分
(终极得分点,条件概率的应用)
【分值分布】
基础分
发展分
终极分
≤4分
[5,9]分
≥10分
约30%
约45%
约25%
【满分指导】
(1)得步骤分:
对于解题过程中是得分点的,有则给分,无则没分,对于得分点步骤一定要写全.
第(1)问中写出求该地区这种疾病患者的平均年龄的步骤得2分;
第(2)问中如果采用间接法,写出步骤正确得2分;如果采用直接法,步骤书写正确得2分;
第(3)问中公式书写正确得2分.
(2)得计算分:
第(1)(2)(3)问中,在步骤书写不全的情况下,相应地正确求出值,均得分.
解题思维
技巧策略
(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;
(2)厘清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;
(3)明确抽取方式,是放回还是不放回、抽取有无顺序等;
(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率;
(5)确定随机变量取值并求其对应的概率,写出分布列后再求均值、方差;
(6)会套用求, χ2的公式,再作进一步求值与分析.