高考数学复习规范答题提升课——解析几何综合问题（导学案）

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规范答题提升课——解析几何综合问题
续表
[典例](12分)(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.
问题1:求解第(1)问的关键是什么?思路 对几何条件的翻译和转化,即把直线斜率之间的关系转化为坐标间的关系,转化的难点是运算和因式分解.
问题2:求解第(2)问的关键是什么?思路 借助图形求出直线的斜率和点的横坐标,体现面积转化为长度,长度转化为坐标的处理思路.
(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上,
所以4a2-1a2-1=1,解得a2=2,
所以双曲线C的方程为x22-y2=1,2分
(基础得分点,求双曲线的标准方程)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),易知直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,由y=kx+mx22-y2=1,得(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,所以x1+x2=-4mk2k2-1,x1x2=2m2+22k2-1,3分
Δ=16m2k2-4(2m2+2)(2k2-1)>0⇒m2+1-2k2>0.
由kAP+kAQ=0得y1-1x1-2+y2-1x2-2=0,4分
即(x1-2)(kx2+m-1)+(x2-2)(kx1+m-1)=0,
即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,
所以2k×2m2+22k2-1+(m-1-2k)-4mk2k2-1-4(m-1)=0,化简得,8k2+4k-4+4m(k+1)=0,即(k+1)(2k-1+m)=0,所以k=-1或m=1-2k,5分
当m=1-2k时,直线l:y=kx+m=k(x-2)+1过点A(2,1),与题意不符,舍去,故k=-1.6分
(发展得分点,求直线的斜率)
(2)不妨设直线AP,AQ的倾斜角为α,βα<π2<β,
基础分
发展分
终极分
≤2分
[3,6]分
≥7分
约15%
约35%
约50%
(1)得步骤分:
对于解题过程中是得分点的,有则给分,无则没分,对于得分点步骤一定要写全.
第(1)问中写出代点求双曲线的过程,直接给出答案得1分.
第(1)问中设出直线方程,并将直线方程与双曲线联立,化简后得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系得出x1+x2及x1x2.
第(2)问中分别说明P,Q在双曲线的左支及右支的情形,缺少步骤,要扣掉1至2分.
(2)得关键分:
对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,解题时一定要写清得分的关键点.
第(1)问关键是:由kAP+kAQ=0,得到y1-1x1-2+y2-1x2-2=0,正确得1分.
因为kAP+kAQ=0,所以α+β=π,由(1)知,x1x2=2m2+2>0,
当P,Q均在双曲线左支时,∠PAQ=2α,所以tan 2α=22,
即2tan2α+tan α-2=0,解得tan α=22(负值舍去),
此时AP与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去;
7分
当P,Q均在双曲线右支时,因为tan∠PAQ=22,所以tan(β-α)=22,即tan 2α=-22,
即2tan2α-tan α-2=0,解得tan α=2(负值舍去),
于是,直线AP:y=2(x-2)+1,直线AQ:y=-2(x-2)+1,
8分
联立y=2(x-2)+1,x22-y2=1,可得,32x2-(8-22)x+10-42=0,
因为方程有一个根为2,所以xP=10-423,yP=42-53,
同理可得,xQ=10+423,yQ=-42-53.9分
所以PQ:x+y-53=0,|PQ|=163,点A到直线PQ的距离d=2+1-532=223,11分
故△PAQ的面积为12×163×223=1629.12分
(终极得分点,求三角形的面积)
第(2)中的关键是由kAP+kAQ=0,得到α+β=π.
(3)得计算分:
本题的运算量很大,各环节的计算要细致并且保证正确才能得分,如果一个环节、步骤中出现运算错误,会直接影响后续得分.
第(1)问将点代入到所设的双曲线的方程时,正确求出双曲线可得分,双曲线求错不得分.
第(2)问中正确求出直线AP和直线AQ的方程得1分,直线与双曲线联立,得出关于x的一元二次方程求出P点的坐标得1分;
第(2)问中正确求出PQ的直线方程,利用点到直线距离公式求出点A到直线PQ的距离得1分;
第(2)问中利用面积公式求出△PAQ的面积得1分.
解题思维
技巧策略
解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设—列—解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.