辽宁省鞍山市铁东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份辽宁省鞍山市铁东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共18页。

1．考试时间90分钟，卷面满分100分，试卷共4页．
2．请仔细审题，认真思考，细致解答，规范书写，勿忘检查
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列式子是最简二次根式的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征．最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义和特征，逐项进行判断即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. ，是最简二次根式，故本选项符合题意；
D. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. 2，，6D. 3，5，7
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。【详解】解：A．，能构成直角三角形，故本选项正确；
B．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D．，不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：A．
3. 如图，在四边形中，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
故选：B．
4. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点到原点的距离是（ ）
A. 8B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点到原点的距离．
故选B．
5. 如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项A符合题意；
B、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
6. 若最简二次根式能与合并，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的化简是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
能与合并，则，进而可求出的值．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并，
，
，
故选：C．
7. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：作于R，于S，连接、交于点O．

由题意知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
8. 如图，在中，，垂足为，点为中点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由直角三角形的性质得出，推出，，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9. 如图，在正方形中，分别为上两点，且，若，则正方形的周长是（ ）
A. B. C. 12D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据正方形的性质得到，，由，推出，进而得到，利用勾股定理即可求出，由，求出，即可求出结果．
【详解】解：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
正方形的周长是，
故选：C．
10. 如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了矩形的对角线相等，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．根据等边对等角的性质可得，再求解即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
12. 如图，在四边形中，，，，则度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，
故答案为：．
13. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边分别为和（），若小正方形面积为，则大正方形的面积为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和的关系．
根据所求问题，利用小正方形的面积为4，，算出b的值，根据大正方形的面积为即可求解．
【详解】解：小正方形的面积为4，得到它的边长为2，
即得，
，
∴，
所以，，
故答案为：10．
14. 我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．
【答案】14.5
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：设秋千绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4）²+10²=x²，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．
15. 在矩形中，对角线，交于点，过作垂直于对角线，且与边交于点，若，，求矩形的周长为______．
【答案】24或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．分为当时及当时两种情况讨论，再求解即可．
【详解】解：分两种情况：
如图，当时，连接，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
矩形的周长为，
如图，当时，连接，
四边形是矩形，
，
，
，
设，
在中，由勾股定理得：，
，
，
矩形周长为，
故答案为：24或
三、解答题（16、18题每题5分，17题6分，19—21题每题7分，22题8分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解决问题的关键．
先根据二次根式的性质和乘除法法则运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式，最后合并即可．
【详解】解：
．
17. 如图，在平行四边形中，是对角线，其中于点E，于点F．求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质得到，则，再由垂直的定义得到，由此即可利用，证明．
【详解】证明∵ 四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
18. 请在如图所示方格内（每个小方格的边长均为1），若三角形的顶点都在格点上，则此三角形叫做“格点三角形”，画出格点三角形，且三边长分别为，，．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，应用与涉及作图，熟练掌握勾股定理在网格中的运用是解题关键．根据勾股定理，，，，在图中画出图形即可．
【详解】解：如图，即为所求．
19. 如图，在中，两点分别为中点，连接，过作交延长线于点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
证明是的中位线，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】证明：，两点分别为，中点，
∴是的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
20. 如图，在平行四边形中，边的垂直平分线恰好经过点，且与的延长线交于点，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得出，再结合平行四边形得出，证出四边形是平行四边形，再结合即可证明．
【详解】证明：垂直平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边上一点，连接，与交于点，且，过作交于，求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
【详解】证明：四边形菱形

四边形是平行四边形．
．
四边形是平行四边形
四边形是矩形．
22. 数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路：
；
又
请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题：
若．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）8 （2）14
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的乘法运算．
（1）利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可；
（2）由（1）知，利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
解：；，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
．
四、解答题（本题10分）
23. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点是延长线上一点，连接，且，以，为邻边作菱形，与交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，若；
①求的长；
②求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质易得，再根据菱形的性质易得，由平行线的判定及等量代换得到，进而证明结论；
（2）①根据菱形的性质得到，由（1）得四边形为平行四边形，易得，进而得到，从而证明，再根据，易证，进而得到，可得；
②连接交于点H，根据菱形的性质，可得，由①知，即是等腰三角形，再根据平行四边形的性质可得点O是的中点，易证，从而得到，再依据①中结合，可求，再根据结合，利用勾股定理即可求出的长，从而得到的长，结合菱形的性质得，利用勾股定理即可求出的长，从而得到的长，即可求出菱形的面积．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：①四边形是菱形，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
②连接交于点H，
四边形菱形，
，
由①知，
是等腰三角形，
四边形是平行四边形，
点O是的中点，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，
（负值已舍去），
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及平行线的判定与性质，灵活运用所学知识是解题的关键．