高考数学第一轮复习复习第1节　函数的概念及其表示（讲义）

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第1节 函数的概念及其表示
[课程标准要求]
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
1.函数的有关概念
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C⊆B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
1.若集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f:A→B的是( D )
解析:A中的对应不满足函数的存在性,即存在x∈A,但B中没有与之对应的y;B,C均不满足函数的唯一性,只有D正确.
2.(必修第一册P72习题T2改编)下列四组函数中表示同一个函数的是( C )
A.f(x)=x-1·x-1与g(x)=(x-1)2
B.f(x)=x与g(x)=x2x
C.f(x)=x2与g(x)=|x|
D.f(x)=1,x∈R与g(x)=x0
解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,是同一个函数;D选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一个函数.
3.(2022·河南南阳三测)函数f(x)=2x-2,x≤1,lg2(x-1),x>1,则f(f(52))等于( A )
A.-12 B.-1C.-5D.12
解析:f(x)=2x-2,x≤1,lg2(x-1),x>1,
所以f(52)=lg232,
f(f(52))=f(lg232)=2lg232-2=32-2
=-12.
4.(2020·北京卷)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是 .
解析:函数f(x)=1x+1+ln x的自变量满足x+1≠0,x>0,所以x>0且x≠-1,
即定义域为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
5.函数f(x)=x-1x在区间[2,4]上的值域为 .
解析:f(x)=x-1x在区间[2,4]上单调递增,
又f(2)=32,f(4)=154,
故f(x)的值域为[32,154].
答案:[32,154]
函数的定义域
1.(2023·湖北武汉模拟)函数f(x)=1ln(x+1)+4-x2的定义域为( B )
A.[-2,0)∪(0,2]B.(-1,0)∪(0,2]
C.[-2,2] D.(-1,2]
解析:要使函数有意义,
则需x+1>0,x+1≠1,4-x2≥0,解得-1所以x∈(-1,0)∪(0,2].
所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,2].
2.已知函数f(2x-3)的定义域是[-1,4],则函数f(1-2x)的定义域为( C )
A.[-2,1]B.[1,2]
C.[-2,3]D.[-1,3]
解析:因为函数f(2x-3)的定义域是[-1,4],所以-1≤x≤4,即-5≤2x-3≤5,所以f(x)的定义域为[-5,5],所以f(1-2x)满足-5≤1-2x≤5,所以-2≤x≤3,所以函数f(1-2x)的定义域为[-2,3].
3.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(x-1)的定义域为 .
解析:因为f(x)的定义域为[0,2],
所以0≤x-1≤2,即1≤x≤3,
所以函数f(x-1)的定义域为[1,3].
答案:[1,3]
4.(2023·河南郑州模拟)已知函数f(x)=3x-1ax2+ax-3的定义域是R,则实数a的取值范围是 .
解析:因为函数f(x)=3x-1ax2+ax-3的定义域是R,所以ax2+ax-3≠0对任意实数x都成立.当a=0时,显然成立;当a≠0时,需Δ=a2+12a<0,解得-12答案:(-12,0]
(1)求给定函数的定义域:由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义.
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
②若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
求函数的解析式
1.(2022·黑龙江哈尔滨月考)已知f(2x+1)=lg x,则f(x)的解析式为 .
解析:令2x+1=t(t>1),则x=2t-1,
所以f(t)=lg2t-1(t>1),
所以f(x)=lg2x-1(x>1).
答案:f(x)=lg2x-1(x>1)
2.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为 .
解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
又f(0)=c=3,所以f(x)=ax2+bx+3,
所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.
所以4a=4,4a+2b=2,
解得a=1,b=-1,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+3.
答案:f(x)=x2-x+3
3.已知f(x+1x)=x2+1x2,则f(x)的解析式为 .
解析:因为f(x+1x)=x2+1x2=(x+1x)2-2,
所以f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞).
答案:f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
4.已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x,则f(x)= .
解析:因为2f(x)+f(1x)=3x,①
把①中的x换成1x,得2f(1x)+f(x)=3x.②
联立①②可得2f(x)+f(1x)=3x,2f(1x)+f(x)=3x,
解得f(x)=2x-1x(x≠0).
答案:2x-1x(x≠0)
函数解析式的求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想:已知关于f(x)与f(1x)或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
分段函数
分段函数求值
[例1] 已知函数f(x)=lg12x,x>1,2+36x,x≤1,则f(f(12))等于( )
A.3B.4C.-3D.38
解析:f(12)=2+3612=8,
f(f(12))=f(8)=lg128=-3.故选C.
求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时,要先确定所求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.
(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
分段函数与方程
[例2] (2022·山东济南二模)已知函数f(x)=2x-1,x≤0,x12,x>0,若f(m)=3,则m的值为( )
A.3B.2C.9D.2或9
解析:因为函数f(x)=2x-1,x≤0,x12,x>0,f(m)=3,
所以2m-1=3,m≤0或m12=3,m>0,解得m=9.故选C.
根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
分段函数与不等式
[例3] 函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+f(x-12)>1的x的取值范围是 .
解析:当x>12时,
f(x)+f(x-12)=2x+2x-12>2x>2>1;
当0f(x)+f(x-12)=2x+(x-12)+1=2x+x+12>2x>1;
当x≤0时,f(x)+f(x-12)=x+1+(x-12)+1=2x+32,
所以f(x)+f(x-12)>1⇒2x+32>1⇒x>-14,即-14答案:(-14,+∞)
求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
[针对训练]
1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=lg3(x+1),x≥0,g(x),x<0,则g(f(-8))等于( )
A.-1B.-2C.1D.2
解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=lg3(x+1),x≥0,g(x),x<0,所以f(-8)=-f(8)=-lg39=-2,所以g(f(-8))=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-lg33=-1.故选A.
2.(2021·浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=
x2-4,x>2,|x-3|+a,x≤2.若f(f(6))=3,则a= .
解析:因为6>2,所以f(6)=6-4=2,
所以f(f(6))=f(2)=1+a=3,解得a=2.
答案:2
3.已知函数f(x)=x3,x≥0,-x2,x<0,若对于任意的x∈R,|f(x)|≥ax,则a= .
解析:当x≥0时,|f(x)|=x3≥ax,即x(x2-a)≥0恒成立,则有a≤0;
当x<0时,|f(x)|=x2≥ax,即a≥x恒成立,
则有a≥0,所以a=0.
答案:0
[例1] (2022·北京顺义模拟)若函数f(x)=-ln(-x),a≤x<0,-x2+2x,0≤x≤2的值域为[0,+∞),则a的取值范围是( )
A.[-1,0)B.[-1,-1e)
C.[-1,-1e]D.(-1,-1e)
解析:由于函数f(x)=-ln(-x),a≤x<0,-x2+2x,0≤x≤2
的值域为[0,+∞),
当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x∈[0,1],
故当a≤x<0时,f(x)=-ln(-x)的值域至少包含区间(1,+∞),如图所示,
由于当x趋于0时,f(x)趋于+∞;
当x=a时,f(x)=-ln(-a),
所以0≤-ln(-a)≤1,所以-1≤ln(-a)≤0,
所以e-1≤-a≤1,解得-1≤a≤-1e.故选C.
[例2] 设函数f(x)=1x,x>0,ex,x≤0,若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为( )
A.(-∞,1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解析:当x>0时,F(x)=1x+x≥21x·x=2,当且仅当1x=x,即x=1时,取等号;
当x≤0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增函数,F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).故选C.
[例3] 若f(x)对于任意实数x都有2f(x)-f(1x)=2x+1,则f(12)等于( )
A.3B.4C.83D.43
解析:因为f(x)对于任意实数x都有2f(x)-f(1x)=2x+1,所以2f(x)-f(1x)=2x+1,2f(1x)-f(x)=2x+1,
解得f(x)=43x+23x+1,所以f(12)=43×12+23×12+1=3.故选A.
[例4] 如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为 .
解析:当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0),
由图象得-k+b=0,b=1,解得k=1,b=1.
所以y=x+1;
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,
因为图象过点(4,0),
所以0=a(4-2)2-1,解得a=14.
综上,函数f(x)在[-1,+∞)上的解析式为f(x)=x+1,-1≤x≤0,14(x-2)2-1,x>0.
答案:f(x)=x+1,-1≤x≤0,14(x-2)2-1,x>0