高考数学第一轮复习复习第1节　导数的概念及其意义、导数的运算（讲义）

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第1节 导数的概念及其意义、导数的运算
[课程标准要求]
1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义.
2.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x 的导数.
3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数,会使用导数公式表.
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.
(1)定义的变化形式:f′(x0)=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.
(2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
(2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0).
(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条.
2.函数y=f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.
3.基本初等函数的导数公式
函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数.
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)[f(x)g(x)]′=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
2.熟记以下结论:
(1)(1x)′=-1x2;
(2)(x)′=12x;
(3)[1f(x)]′=-f'(x)[f(x)]2(f(x)≠0);
(4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).
1.下列结论正确的是( B )
A.若y=cs 1x,则y′=-1xsin 1x
B.若y=sin x2,则y′=2xcs x2
C.若y=cs 5x,则y′=-sin 5x
D.若y=12xsin 2x,则y′=xsin 2x
解析:对于A,y=cs 1x,则y′=1x2sin 1x,故错误;对于B,y=sin x2,则y′=2xcs x2,故正确;对于C,y=cs 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;对于D,y=12xsin 2x,则y′=12sin 2x+xcs 2x,故错误.
2.设f(x)为可导函数,且limΔx→0f(1)-f(1-2Δx)Δx=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( D )
A.2B.-1C.1D.-12
解析:由导数的几何意义,点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1),因为Δx→0时,f(1)-f(1-2Δx)Δx→-1,所以f′(1)=limΔx→0f(1)-f(1-2Δx)2Δx=12limΔx→0f(1)-f(1-2Δx)Δx=-12,所以在点(1,f(1))处的切线斜率为-12.
3.若函数f(x)=ln(2x-1),则f′(2)= .
解析:f′(x)=22x-1,因此f′(2)=22×2-1=23.
答案:23
4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=exx+a.若f′(1)=e4,则a= .
解析:由于f′(x)=ex(x+a)-ex(x+a)2,
故f′(1)=ea(1+a)2=e4,解得a=1.
答案:1
5.(2021·全国甲卷)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为 .
解析:y′=(2x-1x+2)′=2(x+2)-(2x-1)(x+2)2=5(x+2)2,所以y′|x=-1=5(-1+2)2=5,所以切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.
答案:y=5x+2
导数的运算
1.已知函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1),则f′(2)的值为( D )
A.-2B.0C.-4D.-6
解析:法一 由题意f(1)=f′(1)+2+2f(1),化简得f(1)=-f′(1)-2,
而f′(x)=2f′(1)x+2,所以f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,故f(1)=0,
所以f(x)=-2x2+2x,所以f′(x)=-4x+2,所以f′(2)=-6.
法二 函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1)的导数为f′(x)=2f′(1)x+2,即f′(1)=2f′(1)+2,
解得f′(1)=-2,
因此f′(x)=-4x+2,
f′(2)=-6.
2.已知f(x)=lnx2x,则f′(12)等于( D )
A.-2-ln 2B.-2+ln 2
C.2-ln 2D.2+ln 2
解析:依题意有
f′(x)=1x·2x-2×12·(2x)-12·lnx2x,
故f′(12)=2+ln21=2+ln 2.
3.(2021·湖南长沙期中)若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2-1,且f(1)=1,则f′(1)+g′(1)等于( C )
A.1B.2C.3D.4
解析:因为f(1)=1,所以f(1)+g(1)=0,g(1)=-1.
因为f(x)+xg(x)=x2-1,所以f′(x)+g(x)+xg′(x)=2x,
所以f′(1)+g(1)+g′(1)=2,所以f′(1)+g′(1)=2-(-1)=3.
4.求下列函数的导数:
(1)y=2x+1x+2;(2)y=11+x+11-x;
(3)y=ln1+2x;(4)y=1+cs2x.
解:(1)法一 y′=(2x+1x+2)′=(2x+1)'(x+2)-(2x+1)(x+2)'(x+2)2=3(x+2)2.
法二 因为y=2x+1x+2=2(x+2)-3x+2=2-3x+2,
所以y′=(2-3x+2)′=(-3x+2)′=3(x+2)2.
(2)y=11+x+11-x=(1-x)+(1+x)(1+x)(1-x)=21-x,
所以y′=(21-x)′=(-2x-1)′=2(x-1)2.
(3)因为y=ln1+2x,所以y=12ln(1+2x),
所以y′=12·11+2x·(1+2x)′=11+2x.
(4)因为y=1+cs2 x=1+1+cs2x2=32+12cs 2x,
所以y′=(32+12cs 2x)′=-12sin 2x·(2x)′=-sin 2x.
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
导数的几何意义
求切线方程
[例1] (1)已知f(x)=(x+1)ex,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为 ;
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ,
.
解析:(1)由f(x)=(x+1)ex得
f′(x)=ex+(x+1)ex,所以在x=0处的切线的斜率为f′(0)=e0+(0+1)e0=2,又f(0)=1,故切点坐标为(0,1),所以所求的切线方程为
y-1=2x,即2x-y+1=0.
(2)先求当x>0时,曲线y=ln x过原点的切线方程,设切点坐标为(x0,y0),则由y′=1x,
得切线斜率为1x0,又切线的斜率为y0x0,
所以1x0=y0x0,解得y0=1,
代入y=ln x,得x0=e,
所以切线斜率为1e,切线方程为y=1ex.
同理可求得当x<0时的切线方程为y=-1ex.综上可知,两条切线方程为y=1ex,y=-1ex.
答案:(1)2x-y+1=0 (2)y=1ex y=-1ex
(1)求曲线在点P(x0,y0)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在点P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若在该点P处的导数不存在,则切线垂直于x轴,切线方程为x=x0.
(2)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据斜率相等建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
求切点坐标
[例2] 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )
A.(0,0)B.(1,-1)
C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)
解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax,因为曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3x02+2ax0=-1,①
因为x0+x03+ax02=0,即x0(x02+ax0+1)=0,②
由①可得x0≠0,因此变形②为x02+ax0+1=0,结合①可解得x0=±1,
所以当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.故选D.
根据导数的几何意义求切点坐标应注意两点:一是切点坐标既在曲线的图象上又在切线上;二是切线的斜率等于切点的横坐标的导数值.
求参数的值(范围)
[例3] (1)已知直线y=ax+4(a∈R)与曲线y=1ex-ln x相切,则a= ;
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
解析:(1)由y=1ex-ln x,所以y′=-1ex2-1x,
设切点坐标为(x0,y0),则ax0+4=1ex0-ln x0,
a=-1ex02-1x0,消去a得ln x0+3-2ex0=0,
因为函数f(x)=ln x+3-2ex在(0,+∞)上单调递增,且f(1e)=0,所以x0=1e,此时a=-2e.
(2)因为y=(x+a)ex,所以y′=(x+a+1)ex.设切点为A(x0,(x0+a)ex0),O为坐标原点,由题意,得切线斜率kOA=(x0+a+1)ex0=(x0+a)ex0x0,化简,得x02+ax0-a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,所以关于x02+ax0-a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
答案:(1)-2e (2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
(1)处理与切线有关的参数问题,通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上,故满足切线方程;③切点在曲线上,故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时,注意利用数形结合,化归与转化的思想方法.
[针对训练]
1.曲线y=x3+m(x<0)在点A处的切线方程为y=3x+2m-2,则切点A的坐标为 .
解析:由曲线在点A处的斜率y′=3x2=3得
x=±1,
因为x<0,所以x=-1,
由切点A的横坐标为-1,
所以(-1)3+m=-3+2m-2,解得m=4,
所以A的坐标为(-1,3).
答案:(-1,3)
2.已知f(x)=lnxx2+1,则曲线在(1,1)处的切线方程为 .
解析:因为f(x)=lnxx2+1,所以f′(x)=1x·x2-lnx·2xx4=x-2xlnxx4=1-2lnxx3,
所以f′(1)=1,所以切线方程为y-1=x-1,
即y=x.
答案:y=x
3.若曲线f(x)=mxex-n在点(1,f(1))处的切线为y=ex,则mn= .
解析:将x=1代入y=ex,得切点为(1,e),
e=me-n,①
又f′(x)=mex(x+1),f′(1)=2me=e,m=12,
代入①得n=-e2,所以mn=-e4.
答案:-e4
4.若过点P(-1,m)可以作三条直线与曲线C:y=xex相切,则m的取值范围是 .
解析:设切点坐标为(x0,y0),过点P的切线方程为y=(x0+1)ex0(x-x0)+x0ex0,
代入点P坐标,化简为m=(-x02-x0-1)ex0,
即这个方程有三个不等根即可,
令f(x)=(-x2-x-1)ex,
求导得到f′(x)=(-x-1)(x+2)ex,
令f′(x)=(-x-1)(x+2)ex<0,
得x<-2或x>-1,
令f′(x)=(-x-1)(x+2)ex>0,
得-2所以函数在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,
故得到f(-2)即m∈(-3e2,-1e).
答案:(-3e2,-1e)
[例1] 已知实数x满足2f(x)+xf′(x)=2xcs 2x+2(cs x+sin x)2,x>0,f(π2)=5,那么f(π)的值为( )
A.0B.1C.2D.π
解析:由2f(x)+xf′(x)=2xcs 2x+2(cs x+sin x)2,两边同时乘x可得
2xf(x)+x2f′(x)=2x2cs 2x+2xsin 2x+2x=[x2f(x)]′,
又(x2sin 2x+x2)′=2x2cs 2x+2xsin 2x+2x,
因此x2f(x)=x2sin 2x+x2+c(c为常数).
由f(π2)=5,即π24×5=π24sin π+π24+c,可得c=π2,所以f(x)=sin 2x+π2x2+1,所以f(π)=sin 2π+π2π2+1=2.故选C.
[例2] 设f(x)=|ln x|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,e2)上有三个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1e)B.(1e2,1e)
C.(2e2,2e)D.(2e2,1e)
解析:令g(x)=f(x)-ax=0,可得f(x)=ax.
在平面直角坐标系内画出函数f(x)=|ln x|的图象如图所示.
当x>1时,f(x)=ln x.由y=ln x得y′=1x.
设过原点的直线y=ax与函数y=ln x的图象相切于点A(x0,ln x0),
则有ln x0=ax0,a=1x0,解得x0=e,a=1e,
所以当直线y=ax与函数y=ln x的图象相切时a=1e.
又当直线y=ax经过点B(e2,2)时,有2=a·e2,解得a=2e2.
结合图象可得当直线y=ax与函数f(x)=|ln x|的图象有3个交点时,实数a的取值范围是(2e2,1e).故选D.
[例3] 若仅存在一条直线与函数f(x)=aln x(a>0)和g(x)=x2的图象均相切,则实数a等于( )
A.eB.eC.2eD.2e
解析:设直线与g(x)=x2的切点坐标为(x1,x12),
由g′(x)=2x可知,该直线的斜率为2x1,即该直线的方程为y-x12=2x1(x-x1),
即为y=2x1x-x12.
设直线与f(x)=aln x的切点坐标为(x2,aln x2),
由f′(x)=ax可知,该直线的斜率为ax2,即该直线的方程为y-aln x2=ax2(x-x2),
即为y=ax2x+a(ln x2-1),
因为仅存在一条直线与函数f(x)=aln x(a>0)和g(x)=x2的图象均相切,
所以2x1=ax2,a(ln x2-1)=-x12,
所以a=4x22-4x22ln x2,
令h(x2)=4x22-4x22ln x2,
则h′(x2)=8x2-8x2ln x2-4x2=4x2(1-2ln x2),
当4x2(1-2ln x2)>0时,即0当4x2(1-2ln x2)<0时,即e即h(x2)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,则h(x2)在x=e处取得最大值,h(e)=4e-4e×12=2e,函数h(x2)的图象如图所示.
因为切线只有一条,
即x2的值唯一,且a>0,
所以只有a=2e.故选C.
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f′(x)=cs x
f(x)=cs x
f′(x)=-sin x
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f′(x)=axln a
f(x)=ln x
f′(x)=1x
f(x)=lga x(a>0,且a≠1)
f′(x)=1xlna