湖北省武汉市青山区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市青山区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024年4月
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑
1．实数2024的倒数是（ ）
A．B．2024C．D．
2．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ）
A．确定性事件B．随机事件C．不可能事件D．必然事件
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
6．关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限；B．图象与坐标轴有交点；
C．若图象经过点，则必经过点；
D．图象上有两点，若，则．
7．从写有数字的3张卡片中任意抽取两张，摆成一个两位数，摆出的两位数是3的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．一次越野跑中，前a秒钟小明跑了，小刚跑了，小明，小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（ ）
A．2050B．2250C．2890D．3050
9．如图，的弦在圆心O的两侧，的直径为4，弦为上一动点，若于点E，当点D从点C运动到点A的过程中，点E运动的路径长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，二次函数和反比例函数的图象交于点，则关于x的方程的解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置．
11．据统计，2023年湖北省人民政府发行惠购湖北岁末消费券，带动消费71.6亿元，“71.6亿”用科学记数法表示为___________．
12．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为___________．
13．已知，非零实数满足：，则___________．
14．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点在同一条直线上，若，则河流的宽度为___________m．
15．如图，等边边长为分别是边上的一个动点，且，连接，交于点P，则的最小值为___________．
16．已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论：
①；
②若是抛物线上两点，若，则；
③若方程有四个根，则这四个根的和为12；
④当时，若，对应y的整数值有4个，则．
其中正确的结论是___________．（填写序号）
三、解答题（共8小题，共72分）
下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（本小题满分8分）求不等式组的整数解．
18．（本小题满分8分）如图，在中，是外角的平分线，于点E．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．
19．（本小题满分8分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表．
成绩频数分布表
成绩扇形统计图
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）一共抽取了_______人，表中______，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”_____；
（2）求所抽取的这些学生的平均成绩；
（3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？
20．（本小题满分8分）如图，为的直径，C是上一点，过点C的直线交的延长线于点于点E，交于点平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
21．（本小题满分8分）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图．
图1 图2
（1）如图1，在边上画点D，使平分，再在线段上画点E，使；
（2）如图2，P是边上一点，先将绕点B逆时针旋转，得到线段，旋转角等于，画出线段，再画点Q，使两点关于直线对称．
22．（本小题满分10分）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点为水柱的落水点，．抛物线最高点距y轴．
图1 图2
（1）求图1中右边抛物线的解析式；
（2）计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，若想雕像不碰到水柱，请直接写出线段的取值范围；
（3）圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由．
23．（本小题满分10分）【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离．
图1 图2 图3
【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）；
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；
【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）．
24．（本小题满分12分）已知，抛物线与x轴交于点与y轴交于点C．
图1 图2
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线顶点为D，点P在抛物线上，若，求点P的坐标；
（3）如图2，直线过点，交抛物线于两点（点E在点F左侧，且点E不与点A重合），直线分别交y轴于点．请判断：是否为定值，如果是定值，求其定值，若不是，请说明理由．
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
10．【解析】将分别代入和
得到，原方程可化为，
方程解的个数就是函数与交点的个数．
二次函数顶点坐标为，
令反比例函数中，，则
故时，反比例函数在二次函数上方．
根据图象。二次函数与反比例函数有三个交点，原方程有三个解．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．12．13．14．15．16．②③
16．解：①图象开口方向不确定，对称轴为直线，
能得到：，但无法判断c的符号，
是错误的；
②由题意知：，
．
，
．
，
，
，
，
．
故②正确．
③，
，
当时，，
当时，，
这四个根的和为12，
③正确；
④（i）当时，若随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
的整数值有4个，
，
，
（ii）时，若随x的增大而减小，
，
的整数值有4个，
，
，
综上所述：或，
④错误．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解：解不等式，得，……2分
解不等式，得，……4分
故不等式组的解集为．……6分
所以不等式组的整数解为：………8分
18．（1）证明：，
．
是外角的平分线，
，……2分
，
，
，
，
，
四边形为矩形．……4分
（2）解：答案不唯一，如：当时，四边形是一个正方形．…5分
证明：，
，……6分
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
故当时，四边形是一个正方形．……8分
19．解：（1）本次调查一共随机抽取学生：（人），
则A组的人数（人），
本次调查一共随机抽取50名学生，第位两个数都在C组，中位数落在C组，
故答案为：；…3分
（2）抽取的这些学生的平均成绩为：（分），
答：所抽取的这些学生的平均成绩是83.4分；……6分
（3）该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数约为：（人），
答：该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有504人．……8分
20．（1）连接，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C在圆O上，为圆O的半径，
是圆O的切线；……4分
（2）在直角三角形中：
又
……8分
21．画图如图（1）……4分
画图如图（2）……8分
（1） （2）
22．（1）设右侧抛物线的解析式为：
，
抛物线过两点且最高点距y轴1.5米
…3分
（2）…6分
（3）水柱会落在圆形水池外，理由如下：
把代入
，
当喷出的抛物线最大高度为时，
设抛物线的解析式为：
又上述抛物线过点
当时，
水柱会落在圆形水池之外…10分
23．【问题探究】（1）；……3分
（2）作于于N
……4分
……5分
……6分
……7分
【问题拓展】……10分
连接，作于P，设，
则
易证
由（2）得
又

24．（1）将代入得：
，解得：；
抛物线解析式为．…3分
（2）如图，过点C作，交于点Q，
由
过点D作轴于点M，
过点Q作轴于点N，
则
又
又由题意可知：
设，则
联立：，解得：（舍去），
…7分
（3）答：是定值，理由如下：
设，
联立：，整理得：，
，
设，
联立：，整理得：，
，解得：；
，
令，得，
同理可得：；
，
，
又，
，为定值……12分
组别
分数/分
频数
组内学生的平均成绩/分
A
a
65
B
10
75
C
14
85
D
18
95
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
A
C
C
B
A
C
C