高考数学第一轮复习复习第1节　数列的概念（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第1节　数列的概念（讲义），共13页。

[课程标准要求]
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
1.数列的定义
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
1.(选择性必修第二册P8练习T3改编)数列{an}的前几项为12,3,112,8,212,…,则此数列的通项公式可能是( A )
A.an=5n-42B.an=3n-22
C.an=6n-52D.an=10n-92
解析:数列为12,62,112,162,212,…,其分母为2,分子是首项为1,公差为5的等差数列,故通项公式为an=5n-42.
2.在数列{an}中,a1=1,an=1+1an-1(n≥2),则a4等于( B )
A.32B.53C.74D.85
3.数列{an}是递增数列,则{an}的通项公式可以是下面的( A )
A.an=-1nB.an=n2-3n
C.an=2-nD.an=(-n)n
解析:f(x)=-1x在(0,+∞)上是增函数,所以an=-1n是递增数列,符合题意;an=n2-3n,则a1=a2=-2,{an}不是递增数列,不合题意;an=2-n ,有a1=12,a2=14,{an}不是递增数列,不合题意;an=(-n)n,有a2=(-2)2=4,a3=(-3)3=-27,数列{an}不是递增数列,不合题意.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n2,则an= ,若Sn=n2+1,则an= .
解析:若Sn=n2,则当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
当n=1时满足上式,所以an=2n-1.
若Sn=n2+1,当n=1时,a1=S1=2.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,
当n=1时不满足上式,
故an=2,n=1,2n-1,n≥2.
答案:2n-1 2,n=1,2n-1,n≥2
5.在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n= .
解析:由题可知n∈N*,令an=-n2+6n+7≥0,
得1≤n≤7(n∈N*),
所以该数列的第7项为零,且从第8项开始an<0,则S6=S7且最大.
答案:6或7
由an与Sn的关系求通项公式
1.(2022·安徽宿州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=2(n∈N+),则{an}的通项公式为an= .
解析:因为an+Sn=2(n∈N+),
所以an-1+Sn-1=2,n≥2,
两式相减得an-an-1+an=0,n≥2,
所以2an=an-1,n≥2.
又a1+S1=2a1=2,所以a1=1.
所以{an}是以1为首项,12为公比的等比数列,
所以an=(12)n-1.
答案:(12)n-1
2.记数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n为正整数),则数列{an}的通项公式为 .
解析:因为a1=1,an+1=2Sn,①
所以an=2Sn-1(n≥2),②
①-②可得,3an=an+1(n≥2).
当n=1时,a2=2S1=2,
即当n=1时,不满足3an=an+1,
所以数列{an}从第二项开始是以3为公比的等比数列,
所以an=1,n=1,2×3n-2,n≥2.
答案:an=1,n=1,2×3n-2,n≥2
3.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .
解析:因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,
所以Sn+1-Sn=SnSn+1.
因为Sn≠0,
所以1Sn-1Sn+1=1,即1Sn+1-1Sn=-1.
又1S1=-1,
所以数列{1Sn}是首项为-1,公差为-1的等差数列,
所以1Sn=-1+(n-1)×(-1)=-n,
所以Sn=-1n.
答案:-1n
4.(2022·河南郑州月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=a2=1,当n≥2时,Snan=Sn-1an+1,则Sn= ,a12= .
解析:当n≥2时,Sn(Sn-Sn-1)=Sn-1(Sn+1-Sn),
所以Sn2=Sn-1Sn+1.因为a1=a2=1,所以{Sn}是首项为1,公比为2的等比数列,
所以Sn=2n-1,所以a12=S12-S11=210=1 024.
答案:2n-1 1 024
根据an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2消去Sn(或消去an),可求an(或Sn).
注意检验a1的情况,若满足an=f(n)(n≥2),则结果写成an=f(n)(n∈N*),
否则写成分段形式,即an=S1,n=1,f(n),n≥2.
用累加法、累乘法求通项公式
1.在数列{an}中,a1=0,an-an-1=2n-1(n≥2),则{an}的通项公式是 .
解析:当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=0+3+5+7+…+2n-1=(n-1)(3+2n-1)2=n2-1,
又a1=0符合上式,所以an=n2-1.
答案:an=n2-1
2.已知数列{an}满足a1=3,an-an-1=2n-1(n≥2),则数列{an}的通项公式 .
解析:当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=3+2+22+…+2n-1=3+2-2n-1·21-2=2n+1,又a1=3符合上式,所以an=2n+1.
答案:an=2n+1
3.已知数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1,其中n∈N*,则{bn}的通项公式为 .
解析:当n≥2时,bn=b1·b2b1·b3b2·…·bnbn-1=2×31×42×53×…·nn-2·n+1n-1=n(n+1),
又b1=2满足上式,
所以{bn}的通项公式bn=n(n+1).
答案:bn=n(n+1)
当出现an+1-an=f(n)时,用累加法求an,即利用an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1(n≥2);当出现an+1an=f(n)时,用累乘法求an,即利用an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1(n≥2),注意观察哪些项消去或约去,为此有时要“多写几项”.
数列性质及其应用
数列的周期性
[例1] (1)数列{an}满足a1=12,an+1=1-1an,则a2 024等于( )
A.-1B.12C.2D.3
(2)(多选题)若数列{an}满足an+1=2an,0≤an≤12,2an-1,12A.13B.2C.23D.45
解析:(1)数列{an}满足a1=12,an+1=1-1an,
当n=1时,解得a2=1-1a1=-1,
当n=2时,解得a3=1-1a2=2,
当n=3时,解得a4=1-1a3=12,
当n=4时,解得a5=1-1a4=-1,….
故数列的周期为3.故a2 024=a674×3+2=a2=-1.故选A.
(2)由题意可得a2=2a1=23,a3=2a2-1=13,
a4=2a3=23,…,所以数列{an}是周期为2的数列,所以数列{an}中的项的值可能为13,23.故选AC.
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
数列的单调性
[例2] (1)已知数列{an}的通项公式为an=3n+k2n,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为( )
A.(3,+∞)B.(2,+∞)
C.(1,+∞)D.(0,+∞)
(2)已知数列{an}满足an=(3-a)n-2,n≤6,an-5,n>6,且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.(167,3)B.[167,3)
C.(1,3)D.(2,3)
解析:(1)因为an+1-an=3n+3+k2n+1-3n+k2n=3-3n-k2n+1,由数列{an}为递减数列知,对任意n∈N*,an+1-an=3-3n-k2n+1<0,
所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,
所以k∈(0,+∞).故选D.
(2)若{an}是递增数列,则3-a>0,a>1,a7>a6,
即a<3,a>1,a2>6(3-a)-2,
解得2解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
(2)用作商比较法,根据an+1an(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
求数列中的最大(小)项
[例3] (1)对于数列{12n-2 022},下列说法正确的是( )
A.既有最大项,又有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.既无最大项,又无最小项
(2)已知数列{an},an=n-1n2+4n-1,则下列说法正确的是( )
A.此数列没有最大项
B.此数列的最大项是a3
C.此数列没有最小项
D.此数列的最小项是a2
解析:(1)因为210=1 024,211=2 048,
所以根据指数函数的单调性知,{12n-2 022}在1≤n≤10时为递减数列且为负,在n≥11时为递减数列且为正,所以数列{12n-2 022}的最小项为第10项,最大项为第11项.故选A.
(2)令t=n-1≥0,则n=t+1,
则y=tt2+6t+4,当t=0时,y=0,
当t>0时,y=1t+4t+6≤12t·4t+6=110,当且仅当t=2,即n=3时,取等号,
所以数列{an}有最大项a3,有最小项a1.故选B.
求数列中的最大(小)项的三种方法
(1)不等式组法:利用不等式组an≥an+1,an-1≤an(n≥2)可以找到数列的最大项.
利用不等式组an≤an+1,an-1≥an(n≥2)可以找到数列的最小项.
(2)单调性法:结合相应的函数的单调性,注意n∈N*.
(3)基本不等式法:结合相应的基本不等式,注意n∈N*.
[针对训练]
1.数列{an}满足a1=2,an+1=-an,则S2 023等于( )
A.4 046B.-4 046C.2D.-2
解析:因为a1=2,an+1=-an,
所以a2=-a1=-2,a3=-a2=2,a4=-2,…,
所以an+2=an,
所以{an}是周期为2的周期数列,
所以S2 023=a1+a2+…+a2 023=2+(-2)+2+(-2)+…+2=2.故选C.
2.已知数列{an}满足an=(n+1)(2 0212 022)n,则在下列取值中使得an最大时n的值为( )
A.2 020B.2 024C.2 022D.2 023
解析:因为an+1an=2 021(n+2)2 022(n+1)=1+2 020-n2 022(n+1),
所以当n>2 020时,an+1an<1,即an+1当n<2 020时,an+1an>1,即an+1>an,
n=2 020⇒an+1an=1,
所以当n=2 020时,an取得最大值.故选A.
[例1] 已知数列{an}中,a1=2,an+1=2anan+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式an= .
解析:因为an+1=2anan+2,a1=2,所以an≠0,
所以1an+1=1an+12,
即1an+1-1an=12,
又a1=2,则1a1=12,
所以数列{1an}是以12为首项,12为公差的等差数列.
所以1an=1a1+(n-1)×12=n2.所以an=2n.
答案:2n
[例2] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
解析:因为an+1=3an+2,
所以an+1+1=3(an+1),
所以an+1+1an+1=3,
所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3.
又a1+1=2,
所以an+1=2·3n-1,
所以an=2·3n-1-1.
答案:an=2·3n-1-1
[例3] 已知数列{an}的通项公式为an=mn-m+12n(n∈N*),若数列{an}是递减数列,则实数m的取值范围是 .
解析:根据题意,数列{an}中,an=mn-m+12n,则an-1=m(n-1)-m+12n-1=2m(n-1)-2m+22n,
则an-an-1=-mn+3m-12n.
若数列{an}是递减数列,则an-an-1=-mn+3m-12n<0,即-mn<1-3m①在n≥2且n∈N*时恒成立,
当m=0时,①式为0<1,恒成立,满足题意;
当m<0时,①式变形可得n<3m-1m,不恒成立,不满足题意;
当m>0时,①式变形可得n>3m-1m,必有3m-1m<2,解得m<1,此时m的取值范围为(0,1).
综上可得,m的取值范围为[0,1).
答案:[0,1)
[例4] 数列{an}的前n项和Sn=13n2-103n,则数列{nSn}中数值最小的项为第 项.
解析:令f(n)=nSn,则f(n)=13n3-103n2,
f′(n)=n2-203n.
令f′(n)=0,得n=0或n=203.
当n>203时,f′(n)>0,
当0所以当n=203时,f(n)取最小值,
而n∈N+,f(6)=-48,f(7)=-49,
所以当n=7时,f(n)取最小值-49.
答案:7分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an+1>an
其中n∈N*
递减数列
an+1常数列
an+1=an
摆动数列
从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列