高考数学第一轮复习复习第1节　集　合（讲义）

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第1节 集 合
[课程标准要求]
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系:①属于,记为∈;②不属于,记为∉.
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
续 表
(1)A⊆B包含两层含义:AB或A=B.
(2)是任何集合的子集,也是任何非空集合的真子集.
(3)若A⊆B,要分A=或A≠两种情况讨论,不要忽略A=的情况.
3.集合的基本运算
续 表
4.集合的运算性质
(1)交集的运算性质:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩=∩A=;A∩B=A⇔A⊆B.
(2)并集的运算性质:A∪B=B∪A;A∪A=A;A∪=∪A=A;A∪B=A⇔B⊆A.
(3)补集的运算性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=,∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
2.A⊆B,A∩B=A,A∪B=B,∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)=两两等价.
1.(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M={x|x<4},N={x|3x≥1},则M∩N等于( D )
A.{x|0≤x<2}B.{x|13≤x<2}
C.{x|3≤x<16}D.{x|13≤x<16}
解析:法一 因为M={x|x<4},
所以M={x|0≤x<16}.
因为N={x|3x≥1},
所以N={x|x≥13},
所以M∩N={x|13≤x<16}.
法二 观察选项进行特取,取x=4,
则4∈M,4∈N,
所以4∈(M∩N),排除A,B;取x=1,
则1∈M,1∈N,
所以1∈(M∩N),排除C.
2.(必修第一册P9习题 T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q等于( C )
A.{1} B.{3,5}
C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}
解析:根据补集的运算得∁UP={2,4,6},所以(∁UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.
3.已知集合M={1,4,x},N={1,x2},若N⊆M,则实数x组成的集合为( C )
A.{0}B.{-2,2}
C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2}
解析:因为N⊆M,所以x=x2,解得x=0,x=1或x2=4,解得x=±2,
当x=0时,M={1,4,0},N={1,0},N⊆M,满足题意.
当x=1时,M={1,4,1},不满足集合中元素的互异性.
当x=2时,M={1,4,2},N={1,4},N⊆M,满足题意.
当x=-2时,M={1,4,-2},N={1,4},N⊆M,满足题意.
4.已知集合A={(x,y)|x24+y22≤1,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( C )
A.9 B.10
C.11D.12
解析:由椭圆的性质得-2≤x≤2,-2≤y≤2,
又x∈Z,y∈Z,所以集合A={(-2,0),(2,0),(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1),(0,0),(-1,1),(-1,-1),(1,1),(1,-1)},
共有11个元素.
5.已知集合A={x|x≥3},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是 .
解析:由题意可知B⊆A,
所以m≥3.
答案:[3,+∞)
集合的概念与表示
1.已知集合A={x|x2≤4},集合B={x|x∈N*,且x-1∈A},则B等于( C )
A.{0,1}B.{0,1,2}
C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}
解析:因为A={x|x2≤4}=[-2,2],B={x|x∈N*,且x-1∈A},
所以B={1,2,3}.
2.已知集合A={(x,y)|y≤3-x2,x,y∈N},则集合A中元素的个数为( B )
A.3B.4C.5D.6
解析:由已知可得满足条件的点有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),共4个,所以集合A中的元素共有4个.
3.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为( B )
A.1 B.-32
C.1或-32 D.-1或32
解析:令m+2=3,得m=1,此时2m2+m=3,不合题意.令2m2+m=3,得m=-32或m=1(舍去).若m=-32,m+2=12,满足条件,所以m=-32.
4.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,ba,b},则a2 023+b2 024= .
解析:由题意知a≠0,所以a+b=0,则ba=-1,
所以a=-1,b=1.故a2 023+b2 024=-1+1=0.
答案:0
解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
集合间的基本关系
1.已知集合A={x∈Z|-3≤x<4},B={x|lg2(x+2)<2},则A∩B的子集个数为( C )
A.3B.7C.8D.128
解析:A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|02.已知集合A={x|y=x-1+2},B={x|x=1a-1,1A.A=BB.A⊆B
C.BAD.AB
解析:因为A={x|y=x-1+2}={x|x≥1},B={x|x=1a-1,1所以BA.
3.已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B⊆A,则m的取值范围是( A )
A.(-∞,2]B.[-1,3]
C.[-3,1]D.[0,2]
解析:当B≠时,要满足B⊆A,只需1-m≥-1,1+m≤3,1-m≤1+m,解得0≤m≤2;当B=时,1-m>1+m,此时m<0.综上,m的取值范围为m≤2.
4.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0解析:由题意得A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,3,4}或{1,2,4},共4个.
答案:4
(1)判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系,对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
(2)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.
(3)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
集合的基本运算
集合的运算
[例1] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B等于( )
A.{-1,2}B.{1,2}
C.{1,4} D.{-1,4}
(2)(2023·江苏盐城模拟)已知集合U={x|1A.{4,5}B.{2,3,4,5}
C.{2}D.{2,4,5}
(3)已知全集U={x∈N|0A.{1,2,4}B.{1,2,7}
C.{1,2,3}D.{1,2,4,7}
解析:(1)法一 由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2,所以B={x|0≤x≤2},
所以A∩B={1,2}.故选B.
法二 因为4∉B,所以4∉A∩B,故排除C,D;
又-1∉B,所以-1∉A∩B,故排除A.故选B.
(2)由题意得,U={2,3,4,5},又A={2,3},
则∁UA={4,5},
因为B={2,4,5},
所以(∁UA)∩B={4,5}.故选A.
(3)U={1,2,3,4,5,6,7},根据题意得到如图所示的Venn图,
所以A={1,2,3}.故选C.
根据集合的运算求参数
[例2] (1)(2023·河南新乡模拟)若集合M={x|x2+5x-14<0},N={x|mA.(-10,2)
B.(-∞,-10)∪(2,+∞)
C.[-10,2]
D.(-∞,-10]∪[2,+∞)
(2)(2020·全国Ⅰ卷)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a等于( )
A.-4B.-2C.2D.4
解析:(1)由题意可得,M={x|-7(2)A={x|-2≤x≤2},B={xx≤-a2}.
由A∩B={x|-2≤x≤1},
知-a2=1,
所以a=-2.故选B.
(1)进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
(2)数形结合思想的应用:
①离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解.
②连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
[针对训练]
1.(2022·辽宁鞍山二模)记集合M={x|x>2或x<-2},N={x|x2-3x≤0},则M∩N等于( )
A.{x|20或x<-2}
C.{x|0≤x<2}D.{x|-2解析:N={x|x2-3x≤0}={x|0≤x≤3},
所以M∩N={x|22.设集合A={1,2,3,4},B={a,4}且A∪B={1,2,3,4},则实数a的可能取值组成的集合是( )
A.{1,2,3}B.{2,3,4}
C.{1,3,4}D.{1,2,4}
解析:依题意a≠4,
当a=1时,B={1,4},满足A∪B={1,2,3,4},
当a=2时,B={2,4},满足A∪B={1,2,3,4},
当a=3时,B={3,4},满足A∪B={1,2,3,4},
所以a的值可以为1,2,3.故选A.
3.若集合A={x|xA.(1,+∞)B.[1,+∞)
C.(0,+∞)D.[0,+∞)
解析:集合A={x|x由题意得B={x|x≥1},
因为A∪B=R,所以a≥1.所以实数a的取值范围是[1,+∞).故选B.
4.(2023·江苏南通模拟)设集合A={1,a+6,a2},B={2a+1,a+b},若A∩B={4},则a= ,b= .
解析:由题意知,4∈A,所以a+6=4或a2=4,
当a+6=4时,则a=-2,得A={1,4,4},不符合元素的互异性,故舍去;
当a2=4时,则a=2或a=-2(舍去),
当a=2时,A={1,4,8},B={5,2+b},
又4∈B,所以2+b=4,得b=2,
所以a=2,b=2.
答案:2 2
[例1] 已知全集U=A∪B={0,1,2,3,4},A∩(∁UB)={1,3},则集合B等于( )
A.{1,3}B.{1,2,3,4}
C.{0,2,4}D.{0,1,2,3,4}
解析:由U=A∪B={0,1,2,3,4},A∩(∁UB)={1,3},
所以由Venn图得B={0,2,4}.故选C.
[例2] 已知M,N均为R的子集,若N∪(∁RM)=N,则下列关系正确的是( )
A.M⊆NB.N⊆M
C.M⊆∁RND.∁RN⊆M
解析:由题意知,∁RM⊆N,其Venn图如图所示,
所以只有∁RN⊆M正确.故选D.
[例3] 设P,Q是两个非空集合,定义集合间的一种运算P⊕Q={x|x∈P∪Q,且x∉P∩Q}.若P={x|0≤x≤6},Q={x|x>1},则P⊕Q等于( )
A.{x|0≤x≤1或x>6}
B.{x|x>6}
C.{x|1≤x≤6}
D.{x|0≤x<1或x>6}
解析:由题设,P∪Q={x|x≥0},P∩Q={x|16}.故选A.
[例4] 若集合A={x|kx2+x+1=0}中有且仅有一个元素,则实数k的取值集合是 .
解析:依题意知,方程kx2+x+1=0有且仅有一个实数根,所以k=0或k≠0,Δ=1-4k=0,所以k=0或k=14,
所以k的取值集合为{0,14}.
答案:{0,14}数集
自然
数集
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
文字语言
符号语言
记法
基本关系
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
x∈A⇒
x∈B
A⊆B
或
B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A
①A⊆B;
②∃x∈B,x∉A
AB或
BA
集合A,B的元素完全相同
A⊆B,
B⊆A
A=B
文字语言
符号语言
记法
空集
不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集
①∀x,
x∉;
②⊆A
运算
表示
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
由所有属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,且x∈B}
A∩B
运算
表示
文字语言
符号语言
图形语言
记法
并集
由所有属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的所有元素组成的集合
{x|x∈U,且x∉A}
∁UA