高考数学第一轮复习复习第2节　二项式定理（讲义）

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1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn(n∈N*).
(2)二项展开式的通项:Tk+1=Cnkan-kbk,它表示通项为展开式的第k+1项.
(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数Cn0,Cn1,…,Cnn.
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
二项式系数是指Cn0,Cn1,…,Cnn,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角
其中第n行是1,Cn1,Cn2,…,Cnn-2,Cnn-1,1.
1.(a+b)n展开式的各二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
2.在(a+b)n的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1.
1.(选择性必修第三册P31练习T4改编)在(x-1x) 4的二项展开式中,第2项的系数为( B )
A.4B.-4
C.6D.-6
解析:(x-1x) 4的二项展开式的第2项为T2=T1+1=C41x4-1(-1x) 1=-C41x2=-4x2,
所以第2项的系数为-4.
2.(选择性必修第三册P30例2改编)在(x-x)4的展开式中,x2的系数为( B )
A.-1B.1C.-4D.4
解析:(x-x)4的展开式的通项为Tr+1=C4r(x)4-r(-x)r=(-1)rC4rx2+r2,
令2+r2=2,则r=0,
故x2的系数为(-1)0C40=1.
3.已知(x2-13x) n的展开式中各二项式系数之和为128,则展开式中的常数项为 .
解析:由题意得2n=128,得n=7,所以(x2-13x) 7的展开式的通项为Tr+1=C7r(x2)7-r(-13x) r=(-1)rC7rx14-7r3.
由14-7r3=0,得r=6,所以展开式的常数项是T7=(-1)6C76=7.
答案:7
4.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为 .
解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.
答案:8
二项式定理通项的应用
(a+b)n(n∈N*)型展开式
[例1] (1x+ax2) 6(a∈R)的展开式的常数项为154,则展开式中含x3项的系数为( )
A.-52B.52
C.-52或52D.-158或158
解析:( 1x+ax2) 6(a∈R)展开式的通项为Tr+1=C6r(1x) 6-r(ax2)r=C6r·arx3r-6,r=0,1,…,6,
令3r-6=0,则r=2,
所以展开式的常数项为C62·a2=154,
解得a=±12.
令3r-6=3,解得r=3,所以展开式中含x3项的系数为C63·a3=20×(12) 3=52或20×(-12) 3=-52.故选C.
求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk+1=Cnkan-kbk的理解,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
注意:解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件.使用二项展开式的通项时要注意:①通项表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项中a和b的位置不能颠倒.
形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式问题
[例2] (x2+2)( 1x2-1) 5的展开式的常数项是( )
A.-3B.-2C.2D.3
解析:( 1x2-1) 5展开式的通项为
Tr+1=C5r(1x2) 5-r·(-1)r=C5r·x2r-10·(-1)r.
当2r-10=-2,即r=4时,有x2·C54x-2·(-1)4=C54×(-1)4=5;
当2r-10=0,即r=5时,
有2·C55x0·(-1)5=-2.
因此展开式中的常数项为5-2=3.故选D.
形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的求解方法
(1)分别求出(a+b)m,(c+d)n的通项,结合多项式的乘法,综合考虑.
(2)观察(a+b)m(c+d)n是否可以合并,若能合并,则合并后求解.如(1+x)5·(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5·(1-x)2.
(3)若m,n中有一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2(c+d)n=(a2+2ab+b2)(c+d)n,然后分别求解.
形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式问题
[例3] (x2-x+1)10展开式中x3项的系数为( )
A.-210B.210C.30D.-30
解析:法一 (x2-x+1)10展开式中x3项的构成有以下几种可能:
①1个x2,1个(-x),8个1,
所得项为C101x2·C91(-x)·C8818=-90x3.
②3个(-x),7个1,
所得项为C103(-x)3·C7717=-120x3.
所以x3项的系数为-210.故选A.
法二 (x2-x+1)10=[1+(x2-x)]10的展开式的通项为Tk+1=C10k(x2-x)k(k=0,1,2,3,…,10),
要使(x2-x+1)10展开式中含x3,则需要由(x2-x)k的展开式中出现x3,而(x2-x)k展开式的通项为Tr+1=Ckrx2(k-r)(-x)r=(-1)rCkrx2k-r(r=0,1,2,3,…,k),
令2k-r=3可知当k=2,r=1或k=3,r=3时满足题意,即(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为(-1)1C102C21+(-1)3C103C33=-90-120=-210.故选A.
涉及三项式的展开式的项数问题主要有以下两种方法
(1)将三项式转化为二项式,结合二项式定理求解,使用转化法时,若三项式中有常数,常将常数作为一项.
(2)应用多项式的乘法法则,可结合课本中推导二项式定理的方法,将(ax+by+cz)n(n∈N*,abc≠0)中展开式的每一项看作是由n个式子ax+by+cz中各出一项相乘构成.
[针对训练] (1)使(3x+1xx) n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4B.5C.6D.7
(2)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10B.20C.30D.60
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)(1-yx) (x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
解析:(1)二项展开式的通项为Tr+1=Cnr(3x)n-r·(1xx) r=Cnr·3n-r·xn-52r(r=0,1,2,…,n).
若Tr+1是常数项,则有n-52r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n).
当r=0,1时,n=0,52,不满足条件;当r=2时,n=5.故选B.
(2)法一 在(x2+x+y)5的5个因式中,两个因式取x2,1个因式取x,其余的因式取y,故x5y2的系数为C52C31C22=30.故选C.
法二 (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
由二项式定理得通项为Tr+1=C5r(x2+x)5-ryr,
由题意,令r=2,得T3=C52(x2+x)3y2,
对(x2+x)3,
其通项设为T′m+1=C3m(x2)3-mxm=C3mx6-m,
令6-m=5,得m=1,得T′2=C31x5,故x5y2的系数为C52C31=30.故选C.
(3)(x+y)8的展开式的通项为Tr+1=C8rx8-ryr,r=0,1,…,7,8.令r=6,得T6+1=C86x2y6,令r=5,得T5+1=C85x3y5,所以(1-yx) (x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86-C85=-28.
答案:(1)B (2)C (3)-28
二项式系数与项的系数问题
二项展开式中的系数的和问题
[例4] (多选题)(2023·湖南模拟)已知(x-2)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0,则下列结论正确的是( )
A.a0=28
B.a1+a2+…+a8=1
C.|a1|+|a2|+…+|a8|=38
D.a1+2a2+3a3+…+8a8=-8
解析:由(x-2)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0,
令x=0,则a0=28,故A正确;
令x=1,则a0+a1+a2+…+a8=(1-2)8=1,所以a1+a2+…+a8=1-28,故B错误;
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a8=38,
因为a8-i=C8i(-2)i,i=0,1,…,8,
所以a0,a2,a4,a6,a8>0,a1,a3,a5,a7<0,
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=-a1+a2-a3+…+a8=38-28,故C错误;
(x-2)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0两边对x求导得8(x-2)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,再令x=1得a1+2a2+3a3+…+8a8=-8,故D正确.故选AD.
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R,n,m∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可;同理求系数之差时,只需根据题目要求令x=1,y=-1或x=-1,y=1即可;如何赋值,要观察所求和式与差式的特点,发现差异,确保正确.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2,令x=0,可得a0=f(0).
二项式系数与项的系数的最值问题
[例5] (2022·广东佛山一模)已知(3x+x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x-1)n的展开式的二项式系数的和大992,则在(2x-1x) 2n的展开式中,二项式系数最大的项为 ,系数的绝对值最大的项为 .
解析:由题意知,22n-2n=992,
即(2n-32)(2n+31)=0,
故2n=32,
解得n=5.
由二项式系数的性质知,(2x-1x) 10的展开式中第6 项的二项式系数最大,
故二项式系数最大的项为
T6=C105(2x)5(-1x) 5=-8 064.
设第k+1项的系数的绝对值最大,
则Tk+1=C10k·(2x)10-k·(-1x) k=(-1)kC10k·210-k·x10-2k,
令C10k·210-k≥C10k-1·210-k+1,C10k·210-k≥C10k+1·210-k-1,得C10k≥2C10k-1,2C10k≥C10k+1,
即11-k≥2k,2(k+1)≥10-k,解得83≤k≤113.
因为k∈N,所以k=3.
故系数的绝对值最大的项是第4项,
T4=-C103·27·x4=-15 360x4.
故二项式系数最大的项为-8 064,系数的绝对值最大的项为-15 360x4.
答案:-8 064 -15 360x4
二项展开式系数最大项的求法
如求(a+bx)n(a,b∈R,n∈N*)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用Ak≥Ak-1,Ak≥Ak+1,从而解出k来,即得.
[针对训练] (1)(多选题)已知二项式(2x-1x) n的展开式中共有8项,则下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为128
B.所有项的系数和为1
C.有理项共3项
D.第4项和第5项的二项式系数最大
(2)(x+2y)7的展开式中,系数最大的项是( )
A.68y7B.112x3y4
C.672x2y5D.1 344x2y5
解析:(1)由题意知n=7,
则二项展开式的通项为
Tr+1=C7r(2x)7-r(-1x) r=(-1)r27-rC7rx7-3r2,
所有项的二项式系数和为27=128,A正确;
当x=1时,所有项的系数和为(2-1)7=1,B正确;
对于二项式系数C7r,显然第4、第5项对应二项式系数C73=C74最大,D正确;有理项为7-3r2∈Z,即r=0,2,4,6共4项,C错误.故选ABD.
(2)设第r+1项系数最大,
则有C7r·2r≥C7r-1·2r-1,C7r·2r≥C7r+1·2r+1,
即7!r!(7-r)!·2r≥7!(r-1)!(7-r+1)!·2r-1,7!r!(7-r)!·2r≥7!(r+1)!(7-r-1)!·2r+1,
即2r≥18-r,17-r≥2r+1,解得r≤163,r≥133.
又因为r∈N,所以r=5.
所以系数最大的项为T6=C75x2·25y5=672x2y5.故选C.
[例1] (2022·江西南昌高三模拟)(x-13x) 8的展开式中所有有理项的系数和为( )
A.85B.29C.-27D.-84
解析:(x-13x) 8的展开式的通项为
Tr+1=C8rx8-r(-13x) r=(-1)rC8rx8-4r3,其中r=0,1,2,3,4,5,6,7,8.
当r=0,3,6时为有理项,故有理项系数和为(-1)0C80+(-1)3C83+(-1)6C86=1+(-56)+28=-27.故选C.
[例2] (2022·山东淄博一模)若(1-x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6等于( )
A.-448B.-112C.112D.448
解析:由于(1-x)8=(x-1)8=[(1+x)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,此二项式的展开式中含(1+x)6的项的系数为a6=C82·(-2)2=112.故选C.
[例3] (2022·河北石家庄模拟)22 022除以7的余数为 .
解析:22 022=(23)674=8674=(1+7)674,
其中(1+7)674=C6740·70+C6741·71+C6742·72+…+C674674·7674
=1+C6741·71+C6742·72+…+C674674·7674=1+7(C6741+C6742·71+…+C674674·7673),
所以22 022除以7的余数为1.
答案:1
[选题明细表]
1.设(1+3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a5=a6,则n等于( B )
A.6 B.7 C.10 D.11
解析:因为a5,a6分别为x5,x6项的系数,则a5=Cn5·35,a6=Cn6·36,所以Cn5·35=Cn6·36,解得n=7.
2.(2022·湖南怀化一模)二项式(x+2x) 12的展开式中的常数项是( C )
A.第7项B.第8项
C.第9项D.第10项
解析:二项式(x+2x) 12的展开式的通项为Tr+1=C12r·x12-r·(2x) r=
C12r·2r·x12-32r,
令12-32r=0,解得r=8.因此,二项式(x+2x) 12的展开式中的常数项是第9项.
3.已知(x-ax) 5的展开式中含x32的项的系数为30,则a等于( D )
A.3 B.-3 C.6 D.-6
解析:二项式(x-ax) 5展开式的通项是Tr+1=C5r(x)5-r(-ax) r=
C5r(-a)rx5-2r2,由题意得5-2r2=32,所以r=1.所以C51(-a)1=30,
所以a=-6.
4.(2022·广西柳州二模)(1+x)(1-2x)5展开式中x2的系数为( B )
A.5 B.30 C.35 D.40
解析:二项式(1-2x)5的通项为Tr+1=C5r·15-r·(-2x)r=C5r·(-2)rxr,
所以(1+x)(1-2x)5展开式中x2的系数为C52·(-2)2+C51·(-2)=30.
5.(2022·山西临汾二模)( x+ax) 5的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值,则a的值为( A )
A.2B.3C.4D.-2
解析:因为(x+ax) 5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5-r(ax) r=C5rarx5-3r2,令5-3r2=1,即r=1时,x的系数为5a,而二项式系数最大值为C52=10,所以5a=10,即a=2.
6.(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4等于( B )
A.40 B.41
C.-40 D.-41
解析:法一(赋值法) 依题意,令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0,令x=-1,可得81=a4-a3+a2-a1+a0,以上两式相加可得82=2(a4+a2+a0),所以a0+a2+a4=41.
法二(通项公式法) 二项式(2x-1)4的通项为Tr+1=C4r(2x)4-r(-1)r,令r=4,2,0,可分别得a0=1,a2=24,a4=16,所以a0+a2+a4=41.
7.在(x-1x) n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为( C )
A.-126 B.-70 C.-56 D.-28
解析:因为只有第5项的二项式系数最大,所以n=8,(x-1x) 8的展开式的通项为Tk+1=(-1)kC8kx8-32k(k=0,1,2,…,8).
所以展开式中奇数项的二项式系数与相应项的系数相等,偶数项的二项式系数与相应的项的系数互为相反数.而展开式中第5项二项式系数最大,因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小,为(-1)3C83=-56.
8.(2022·湖南长沙模拟)已知(3-x)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式中系数为有理数的项的个数是 .
解析:依题意,知2n=64=26,n=6,
则展开式的第k+1项为Tk+1=C6k(3)6-k(-x)k=(-1)kC6k36-k2xk(k=0,1,…,6),
当k=0,2,4,6时,项的系数为有理数,所以展开式中系数为有理数的项的个数为4.
答案:4
9.已知(x+1)n的展开式二项式系数的和为128,则Cn0-Cn12+Cn24+…+
Cnn(-2)n= .
解析:由已知可得2n=128,解得n=7,
所以二项式(x+1)7=(1+x)7的展开式的通项为Tr+1=C7rxr.
令x=-2,则二项式的展开式为C70×(-2)0+C71×(-2)1+C72×(-2)2+…+
C77×(-2)7=C70-C71×2+C72×4+…+C77×(-2)7=(1-2)7=-1.
答案:-1
10.(2022·湖北十堰高三期末)如图,杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》.它揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.由此可得图中第9行从左到右数第5个数是 ,第9行排在奇数位置的所有数字之和为 .
解析:由题意得第0行有1个数,为1,
第1行有2个数,依次是C10,C11,
第2行有3个数,依次是C20,C21,C22,
…
则第9行有10个数,其中第5个数为C94=9×8×7×64×3×2×1=126.
第9行排在奇数位置的所有数字之和为C90+C92+C94+…+C98=29-1=256.
答案:126 256
11.(2023·山西模拟)(x2-2x+1x)·(1-2x) 5展开式中的常数项为( B )
A.-15 B.0 C.15 D.80
解析:(1-2x) 5展开式的通项为Tr+1=C5r(-2x-12)r=(-2)rC5rx-12r,
当2-12r=0时,r=4;当1-12r=0时,r=2.
则(x2-2x+1x)(1-2x) 5展开式中的常数项为x2·(-2)4C54x-2-2x(-2)2C52x-1=0.
12.(多选题)已知(3x2+1x) 4的展开式中各项系数之和为A,第2项的二项式系数为B,则下列说法正确的是( ABD )
A.A=256
B.A+B=260
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x2项的系数为54
解析:令x=1,得(3x2+1x) 4的展开式中各项系数之和为A=44=256,A正确;
(3x2+1x) 4的展开式中第2项的二项式系数为B=C41=4,A+B=260,B正确;
(3x2+1x) 4的展开式的通项为Tr+1=C4r(3x2)4-r(1x) r=34-rC4rx8-3r,令8-3r=
0,则r=83,所以展开式中不存在常数项,C错误;令8-3r=2,则r=2,所以展开式中含x2项的系数为34-2×C42=54,D正确.
13.(2022·江苏徐州模拟)已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含x4的项的系数为( B )
A.20 B.25 C.30 D.35
解析:因为所有项的系数之和为64,
所以(3-1)(1+1)n=64,所以n=5.
(3x-1)(x+1)n=(3x-1)(x+1)5,(x+1)5展开式的第r+1项Tr+1=C5rx5-r,
当r=2时,T3=C52x3=10x3,3x·10x3=30x4,
当r=1时,T2=C51x4=5x4,(-1)×5x4=-5x4,30x4-5x4=25x4.
14.已知(x2+2x) n的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12,则展开式中最大的二项式系数值为 .
解析:由题意(x2+2x) n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x2)n-r(2x) r=Cnr·2r·
x2n-5r2,所以展开式中第4项的系数为Cn3·23,倒数第4项的系数为Cnn-3·2n-3,所以Cn3·23Cnn-3·2n-3=12,即12n-6=12⇒n-6=1,得n=7,所以展开式中最大的二项式系数值为C73=35或C74=35.
答案:35
15.(多选题)(2022·湖北黄冈模拟)设(2x+1)6=a0+a1(x+1)+
a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,下列结论正确的是( ACD )
A.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36
B.a2+a3=100
C.a1+2a2+3a3+…+6a6=12
D.当x=999时,(2x+1)6除以2 000的余数是1
解析:在展开式中令x+1=-1,即x=-2,
得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-4+1)6=36,A正确;
(2x+1)6=[-1+2(x+1)]6,
所以a2=C62(-1)4·22=60,a3=C63(-1)3·23=-160,a2+a3=-100,B错误;
令t=x+1,则(2t-1)6=a0+a1t+a2t2+…+a6t6,两边对t求导得
12(2t-1)5=a1+2a2t+3a3t2+…+6a6t5,令t=1得a1+2a2+…+6a6=12,C正确;
当x=999时,(2x+1)6=1 9996=(2 000-1)6=2 0006-C612 0005+…-C65×
2 000+1,
展开式右边共7项,前6项都是2 000的整数倍,因此它除以2 000的余数是1,D正确.
性质
性质描述
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即Cnk=Cnn-k
增减性
二项式系数Cnk
当k当k>n+12(n∈N*)时,是递减的
二项式系
数最大值
当n为偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值
当n为奇数时,中间的两项Cnn-12与Cnn+12相等,且同时取得最大值
知识点、方法
题号
二项展开式的特定项
或项的系数
1,2,3,4,7,11,13
二项式系数的性质、系数和
5,6,9,14
二项式定理的简单应用
8,10,12,15