还剩20页未读，
继续阅读
所属成套资源：高考数学第一轮复习复习（精品讲义）
成套系列资料，整套一键下载
高考数学第一轮复习复习第2节 导数与函数的单调性（讲义）
展开这是一份高考数学第一轮复习复习第2节 导数与函数的单调性（讲义），共23页。
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,但是其导数f′(x)=3x2≥0.
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数f′(x)的零点;
第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
1.(多选题)(选择性必修第二册P86例2改编)如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是( BC )
A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增
B.在区间(2,3)上f(x)单调递减
C.在区间(4,5)上f(x)单调递增
D.在区间(3,5)上f(x)单调递减
解析:在区间(-2,1)上,当x∈(-2,-32)时,f′(x)<0,当x∈(-32,1)时,f′(x)>0,故f(x)在(-2,-32)上单调递减,在(-32,1)上单调递增,A错误;在区间(3,5)上,当x∈(3,4)时,f′(x)<0,当x∈(4,5)时,f′(x)>0,即f(x)在(3,4)上单调递减,在(4,5)上单调递增,D错误.在(4,5)上f′(x)>0,所以f(x)单调递增.在(2,3)上f′(x)<0,所以f(x)单调递减,故B,C正确.
2.函数f(x)=12x2-ln x的单调递减区间为( B )
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(1,+∞)D.(0,2)
解析:f(x)的定义域为(0,+∞),解不等式
f′(x)=x-1x=(x-1)(x+1)x<0,可得0
3.若函数f(x)=x3+x2+ax-1是R上的单调函数,则实数a的取值范围是( A )
A.a≥13B.a≤13
C.a>13D.a<13
解析:f′(x)=3x2+2x+a≥0恒成立,即Δ=4-12a≤0,解得a≥13.
4.若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间(12,2)内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( D )
A.(-∞,2]B.(-18,+∞)
C.(-2,-18)D.(-2,+∞)
解析:因为函数f(x)=ln x+ax2-2在区间(12,2)内存在单调递增区间,所以f′(x)=1x+2ax>0在区间(12,2)上有解(成立),
即2a>(-1x2)min在区间(12,2)上成立,
又函数y=x2在(12,2)上单调递增,
所以函数y=-1x2在(12,2)上单调递增,
故当x=12时,y=-1x2取最小值,
即(-1x2)min=-4,
即2a>-4,得a>-2.
5.若函数f(x)=13x3-32x2+ax+4的单调递减区间为[-1,4],则实数a的值为 .
解析:由题意,得f′(x)=x2-3x+a,
又f(x)的单调递减区间为[-1,4],
所以f′(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4],
所以-1,4是方程f′(x)=0的两根,
则a=(-1)×4=-4.
答案:-4
不含参数的函数的单调性
1.已知函数f(x)满足f(x)=f′(2)ex-2-f(0)x+12x2,则f(x)的单调递减区间为( A )
A.(-∞,0)B.(1,+∞)
C.(-∞,1)D.(0,+∞)
解析:由题设f′(x)=f′(2)ex-2-f(0)+x,
则f′(2)=f′(2)-f(0)+2,可得f(0)=2,
即f(0)=f′(2)e-2=2,则f′(2)=2e2,
所以f(x)=2ex-2x+12x2,
得f′(x)=2ex-2+x,
则f′(0)=0且f′(x)单调递增,
当x<0时,f′(x)<0,即f(x)单调递减,
故f(x)单调递减区间为(-∞,0).
2.(多选题)下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( AB )
A.f(x)=x2-1xB.f(x)=xex
C.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+ln x
解析:对于A,f′(x)=2x+1x2>0在(0,+∞)上恒成立,因此函数是增函数,故A正确;
对于B,函数f(x)=xex的导函数f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数,故B正确;
对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>33或x<-33,所以函数f(x)=x3-x在(-∞,-33)和(33,+∞)上单调递增,故C错误;
对于D,f′(x)=-1+1x=-x-1x,令f′(x)>0,得0
解析:f(x)的定义域为R,
f′(x)=xex-2x=x(ex-2),
令f′(x)=0,得x=0或x=ln 2,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞),单调递减区间为(0,ln 2).
答案:(-∞,0),(ln 2,+∞) (0,ln 2)
求函数的单调区间的方法:
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
注意:若一个函数有多个相同的单调区间,各个单调区间之间不能用“∪”与“或”,只能用“,”与“和”隔开.
含参数的函数的单调性
[例1] 已知函数f(x)=12ax2-x-ln x(a∈R),讨论f(x)的单调性.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ax-1-1x=ax2-x-1x.
当a≤0时,对任意的x>0,f′(x)<0,此时函数f(x)的减区间为(0,+∞);当a>0时,方程ax2-x-1=0在x>0时的解为x=1+1+4a2a,
由f′(x)<0,可得0
此时,函数f(x)的减区间为(0,1+1+4a2a),增区间为(1+1+4a2a,+∞).
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的减区间为(0,+∞);当a>0时,函数f(x)的减区间为(0,1+1+4a2a),增区间为(1+1+4a2a,+∞).
(1)划分函数的单调区间时,不但要在函数定义域内讨论,而且还要确定导数为0的点和函数的间断点.
(2)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点:
①最高次项系数是否为0;
②导函数是否有极值点;
③导函数两零点的大小关系;
④导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等.
易错警示:(1)若函数的导数中自变量的最高次数含参数,需要考虑参数的正负对函数单调性的影响.
(2)若导函数的解析式的主要部分是二次多项式或者可转化为二次多项式且不能够因式分解,则需要考虑二次三项式是否存在零点,这里涉及对判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论.
[针对训练] 已知函数f(x)=(x-a-1)ex-x2+2ax(a∈R),讨论f(x)的单调性.
解:f′(x)=(x-a)ex-2x+2a=(x-a)(ex-2),
令f′(x)=0,则x=a或x=ln 2.
若a=ln 2,f′(x)≥0,
所以函数f(x)在R上单调递增;
若a>ln 2,当x>a或x
当ln 2
若a
综上所述,当a=ln 2时,函数f(x)在R上单调递增;当a>ln 2时,函数f(x)在(-∞,ln 2)和(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减;当a
利用导数研究函数图象
[例2] 设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f′(x)的图象可能是( )
解析:由f(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,函数单调递增,则f′(x)≥0,故排除C,D;当x∈(0,+∞)时,f(x)先单调递减,再单调递增最后单调递减,所以对应的导数值应该先小于0,再大于0,最后小于0,故排除B.故选A.
函数图象与其导函数图象的关系:导函数f′(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f′(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).
比较大小或解不等式
[例3] (1)已知a=2ln2,b=3ln3,c=e,则下列大小关系正确的是( )
A.a
解析:(1)由题,a=2ln2=42ln2=4ln4.
令f(x)=xlnx(x≥e),则f′(x)=lnx-1ln2x,
因为x>e,所以f′(x)>0,
所以f(x)=xlnx为[e,+∞)上的增函数,
又a=f(4),b=f(3),c=f(e),e<3<4,
故c
2ex·e-x-2cs 2x=2(1-cs 2x)≥0,
f′(x)在[0,+∞)上为增函数,
又f(x)为偶函数,所以由f(x)>f(π4),
得|x|>π4,解得x<-π4或x>π4,
故不等式的解集为(-∞,-π4)∪(π4,+∞).
答案:(1)C (2)(-∞,-π4)∪(π4,+∞)
(1)利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.
(2)与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数;题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时,常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等式.
利用函数的单调性求参数范围
[例4] (1)已知函数f(x)=(x-1)ex-mx在[2,4]上存在减区间,则实数m的取值范围为( )
A.(2e2,+∞)B.(-∞,e)
C.(0,2e2)D.(0,e)
(2)若函数f(x)=aex-x,x∈[2,4],在定义域内任取两个不相等的实数x1,x2,不等式f(x1)-f(x2)x1-x2≥3恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(2e4,+∞)B.[4e2,+∞)
C.(-∞,4e4)D.(-∞,2e2]
(3)若函数f(x)=x2-12ln x+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.[1,32)
C.(-12,32)D.[32,2)
解析:(1)因为f(x)=(x-1)ex-mx,
所以f′(x)=xex-m,
因为f(x)在[2,4]上存在减区间,
所以存在x∈[2,4],使得f′(x)<0,
即m>xex,令g(x)=xex,x∈[2,4],
得g′(x)=(x+1)ex>0恒成立,
所以g(x)=xex在[2,4]上单调递增,
所以g(x)min=g(2)=2e2,所以m>2e2.故选A.
(2)根据题意,由f(x1)-f(x2)x1-x2≥3在[2,4]上恒成立,
不妨设4≥x1≥x2≥2,则f(x1)-f(x2)x1-x2≥3可变形为f(x1)-3x1≥f(x2)-3x2,
设g(x)=f(x)-3x,
则函数g(x)在[2,4]上单调递增,
即g′(x)=aex-4≥0在[2,4]上恒成立,
所以a≥4ex,令h(x)=4ex,h(x)max=4e2,
因此a≥4e2.故选B.
(3)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
所以k-1≥0,即k≥1,
f′(x)=2x-12x=4x2-12x,
令f′(x)=0,得x=12或x=-12(不在定义域内舍去),
由于函数在区间(k-1,k+1)内不是单调函数,
所以12∈(k-1,k+1),
即k-1<12
(1)已知函数单调性求参数范围
①已知可导函数f(x)在区间D上单调递增,则在区间D上f′(x)≥0恒成立;
②已知可导函数f(x)在区间D上单调递减,则在区间D上f′(x)≤0恒成立;
③已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间,则f′(x)>0在区间D上有解;
④已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间,则f′(x)<0在区间D上有解.
(2)已知函数在所给区间上不单调,则转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参变量的范围.
[针对训练]
1.(2022·安徽马鞍山三模)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(b)>f(c)>f(a)B.f(b)>f(c)=f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(e)>f(d)>f(c)
解析:由f′(x)图象可知f(x)图象大致如下:
由图可知f(a)>f(b),f(b)
A.a
当x≥e时,求导得f′(x)=1-lnxx2≤0,
则函数f(x)在[e,+∞)上单调递减,
又a=ln33=f(3),b=lnee=f(e),
c=3(3-ln3)e3=lne33e33=f(e33),
显然e<3
解析:函数f(x)=13x3-a2x2+2x的导函数为f′(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式f′(x)=x2-ax+2<0成立,
即x∈(-2,-1)时,a<(x+2x)max=-22,
当且仅当x=2x,即x=-2时,等号成立.所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-22).
因为函数f(x)在区间(-2,-1)内为减函数,
所以x2-ax+2≤0在(-2,-1)内恒成立,
所以f'(-2)≤0,f'(-1)≤0,即4+2a+2≤0,1+a+2≤0,解得a≤-3,
即实数a的取值范围是(-∞,-3].
答案:(-∞,-22) (-∞,-3]
4.(2022·江苏盐城三模)已知f′(x)为f(x)的导函数,且满足f(0)=1,对任意的x总有2f′(x)-f(x)>2,则不等式f(x)+2≥3ex2的解集为 .
解析:设函数g(x)=f(x)+2ex2,
则g′(x)=f'(x)·ex2-12·ex2·[f(x)+2](ex2)2=2f'(x)-f(x)-22ex2,
又因为2f′(x)-f(x)>2,所以g′(x)>0,
所以g(x)在R上单调递增,
又g(0)=f(0)+2=3,
故不等式f(x)+2≥3ex2可化为g(x)≥g(0),
由g(x)的单调性可得该不等式的解集为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
[知识链接]
根据导数关系构造函数的一些常见结构
1.对于不等式f′(x)+g′(x)>0,构造函数F(x)=f(x)+g(x).
2.对于不等式f′(x)-g′(x)>0,构造函数F(x)=f(x)-g(x).
特别地,对于不等式f′(x)>k,构造函数F(x)=f(x)-kx.
3.对于不等式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,构造函数F(x)=f(x)g(x).
4.对于不等式f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,构造函数F(x)=f(x)g(x).
5.对于不等式xf′(x)+nf(x)>0,构造函数F(x)=xn·f(x).
6.对于不等式f′(x)+f(x)>0,构造函数F(x)=ex·f(x).
7.对于不等式f′(x)+kf(x)>0,构造函数F(x)=ekx·f(x).
一、利用f(x)与ex构造可导型函数
[典例1] 已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导数,且f(x)-f′(x)<0,则下列不等式一定成立的是( )
A.e3f(-2)>f(1)B.f(-2)
因为f(x)-f′(x)<0,所以g′(x)>0,
则g(x)在R上单调递增.
因为-2<1,所以g(-2)
所以f(-2),e3f(1)的大小不能确定,故B错误;
因为1<2,所以g(1)
所以f(1),ef(2)不能确定,故D错误.
故选C.
[拓展演练] 若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f′(x)>f(x),f(2 022)=e2 022,则不等式f(13ln x)<3x 的解集为( )
A.(0,e6 066)B.(0,e2 022)
C.(e2 022,+∞)D.(e6 066,+∞)
解析:由题可设F(x)=f(x)ex,
因为f′(x)-f(x)>0,
则F′(x)=f'(x)ex-f(x)exe2x=f'(x)-f(x)ex>0,
所以函数F(x)在R上单调递增,
又F(2 022)=f(2 022)e2 022=1,
不等式f(13ln x)<3x可转化为f(13lnx)e13lnx<1,
所以F(13ln x)<1=F(2 022),
所以13ln x<2 022,
解得0
故选A.
二、利用f(x)与xn构造可导型函数
[典例2] (2023·江苏模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R,导函数为f′(x),若对任意x∈[0,+∞),都有2f(x)+xf′(x)>0恒成立,则下列结论正确的是( )
A.f(0)<0B.9f(-3)
所以f(0)>0,故A错误;
令g(x)=x2f(x),则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x),
当x>0时,由2f(x)+xf′(x)>0,
所以2xf(x)+x2f′(x)>0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又因为偶函数f(x)的定义域为R,
所以g(x)=x2f(x)为偶函数,g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g(-3)=g(3)>g(1),
所以9f(-3)>f(1),故B错误;
所以g(2)>g(-1),4f(2)>f(-1),故C正确;
由题意,不妨假设f(x)=c>0(c为常数)符合题意,此时f(1)=f(2)=c,故D错误.
故选C.
[拓展演练] 已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf′(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .
解析:构造F(x)=f(x)x2,则F′(x)=f'(x)·x-2f(x)x3,由当x>0时,xf′(x)-2f(x)<0,可以推出当x>0时,F′(x)<0,则F(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(x)为偶函数,x2为偶函数,所以F(x)为偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1).
答案:(-1,0)∪(0,1)
三、利用f(x)与sin x,cs x构造可导型函数
[典例3] (多选题)已知定义在(0,π2)上的函数f(x),f′(x)是f(x)的导函数,且恒有cs xf′(x)+f(x)sin x<0成立,则( )
A.f(π6)>2f(π4)B.3f(π6)>f(π3)
C.f(π6)>3f(π3)D.2f(π6)>3f(π4)
解析:根据题意,令g(x)=f(x)csx,x∈(0,π2),则其导数g′(x)=f'(x)csx+f(x)sinxcs2x,又由x∈(0,π2),且恒有cs xf′(x)+f(x)sin x<0,则有g′(x)<0,即函数g(x)为减函数.
由π6<π3,则有g(π6)>g(π3),即f(π6)cs π6>f(π3)cs π3,分析可得f(π6)>3f(π3);
又由π6<π4,则有g(π6)>g(π4),即f(π6)cs π6>f(π4)cs π4,分析可得2f(π6)>3f(π4).故选CD.
f(x)与sin x,cs x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)=f(x)sin x,F′(x)=f′(x)sin x+f(x)cs x;
F(x)=f(x)sinx,F′(x)=f'(x)sinx-f(x)csxsin2x;
F(x)=f(x)cs x,F′(x)=f′(x)cs x-f(x)sin x;
F(x)=f(x)csx,F′(x)=f'(x)csx+f(x)sinxcs2x.
[拓展演练] 已知0
C.cs x>sin yD.sin x>sin y
解析:由0
令f(x)=exsinx(0
当0
当f(x)=f(y)时,0
所以π4
所以cs x+cs y>0.
故选B.
四、构造具体函数
[典例4] (2022·重庆二诊)设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea+1+b
C.ab
又b(ln b-1)>0,b>0,
则ln b>1,即b>e,从而be>1.
当x>1时,f′(x)=ln x+1>0,
则f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以ea
不等式两边凑配成相同的形式,构造具体的函数,利用单调性求解.
[拓展演练] 已知a=810,b=99,c=108,则a,b,c的大小关系为( )
A.b>c>aB.b>a>c
C.a>c>bD.a>b>c
解析:令f(x)=(18-x)ln x,
则f′(x)=-ln x+18x-1在x≥8时单调递减,
又f′(8)=54-ln 8<54-ln e2<0,
所以f′(x)<0在x≥8时恒成立,
故f(x)在[8,+∞)上单调递减,
所以f(8)>f(9)>f(10).
所以10ln 8>9ln 9>8ln 10.
故810>99>108.故a>b>c.
故选D.
[例1] 设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(1,2]B.(1,3)C.(1,2)D.(1,3]
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=x-9x=x2-9x,
当x∈(0,3)时,f′(x)<0,则f(x)单调递减;
当x∈(3,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增.
又函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以a-1>0,a+1≤3,解得1
A.f(-1)
f(x)在(0,2)上单调递增.①
又f(x+2)=f(2-x)对x∈R恒成立,
所以f(52)=f(32).②
所以f(x)的图象关于直线x=2对称.
又函数f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1).③
因为12<1<32,
所以由①②③得f(12)
A.ln22>ln44B.2ln33>ln 2
C.eln 10>10D.26>6
解析:ln44=2ln24=ln22,A错误;
2ln 3=ln 9,3ln 2=ln 8,ln 9>ln 8,
故2ln 3>3ln 2,所以2ln33>ln 2,B正确;
令f(x)=lnxx,则f′(x)=1-lnxx2,
易得,当0
根据二次函数与幂函数性质可知,当2
恒有
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a,b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在区间(a,b)上单调递减
f′(x)=0
f(x)在区间(a,b)上是常数函数
x
(-∞,0)
0
(0,ln 2)
ln 2
(ln 2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
相关学案
高考数学第一轮复习复习第2节 函数的单调性与最值（讲义）：
这是一份高考数学第一轮复习复习第2节 函数的单调性与最值（讲义），共17页。
高考数学第一轮复习复习第1节 导数的概念及其意义、导数的运算（讲义）：
这是一份高考数学第一轮复习复习第1节 导数的概念及其意义、导数的运算（讲义），共15页。
2024年高考数学第一轮复习讲义第三章3.2 导数与函数的单调性(学生版+解析)：
这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第三章3.2 导数与函数的单调性(学生版+解析)，共18页。
