高考数学第一轮复习复习第2节　等差数列（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第2节　等差数列（讲义），共13页。

1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N*),d为常数.
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=a+b2,其中A叫做a与b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.当d≠0时,等差数列{an}的通项公式an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数.
(2)前n项和公式:Sn=na1+n(n-1)2d=n(a1+an)2.当d≠0时,等差数列{an}的前n项和公式Sn=d2n2+(a1-d2)n是关于n的二次函数(没有常数项).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.
(1)若{an}为等差数列,则m+n=p+q是am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)的充分不必要条件.
(2)等差数列的前n项和为Sn,当公差d=0时,Sn=na1不是关于n的二次函数.
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a5=10,则a6等于( B )
A.8B.12C.14D.16
解析:设数列{an}的公差为d,
a5=a2+3d,
所以d=2,
所以a6=a2+4d=12.
2.已知数列{an}满足an+1=an+2,a1=3,则S5等于( D )
A.20B.25C.30D.35
解析:因为an+1=an+2,所以an+1-an=2,故数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,
所以S5=5×3+5×42×2=35.
3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a2 021=6,则S2 022等于( C )
A.3 033B.4 044
C.6 066D.8 088
解析:因为a2+a2 021=a1+a2 022=6,所以S2 022=2 022(a1+a2 022)2=1 011×6=6 066.
4.(选择性必修第二册P15练习T4改编)在等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差d= .
解析:由a4+a8=2a6=10,得a6=5,
所以4d=a10-a6=1,
解得d=14.
答案:14
5.在等差数列{an}中,a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,则Sn取得最大值时,n的值为 .
解析:由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0,
所以5a13=0,即a13=0,所以当n=12或n=13时,Sn有最大值.
答案:12或13
等差数列的基本量运算
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则下列结论正确的是( A )
A.an=2n-5B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n
解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题知,S4=4a1+d2·4×3=0,a5=a1+4d=5,
解得a1=-3,d=2,
所以an=2n-5,Sn=n2-4n.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( C )
A.1B.2C.4D.8
解析:设公差为d,
得a4+a5=2a1+7d=24,S6=6a1+15d=48,
解得d=4.
3.已知{an}为递增的等差数列,a3·a4=15,a2+a5=8,若an=21,则n等于( D )
A.9B.10C.11D.12
解析:设{an}的首项为a1,公差为d.
因为{an}为递增的等差数列,
所以a3+a4=a2+a5=8.
又a3·a4=15,
得a3=3,a4=5或a3=5,a4=3(舍去),
所以a1=-1,d=2.
所以an=2n-3.令2n-3=21,得n=12.
4.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则由a2+a6=2,得a1+d+a1+5d=2,
即-4+6d=2,解得d=1,
所以S10=10×(-2)+10×92×1=25.
答案:25
(1)等差数列的通项公式及其前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
等差数列的证明与判断
[例1] (2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1bn=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明:因为bn是数列{Sn}的前n项积,
所以当n≥2时,Sn=bnbn-1,
代入2Sn+1bn=2可得,2bn-1bn+1bn=2,
整理可得2bn-1+1=2bn,
即bn-bn-1=12(n≥2).
又2S1+1b1=3b1=2,
所以b1=32,
故{bn}是以32为首项,12为公差的等差数列.
(2)解:由(1)可知,bn=n+22,则2Sn+2n+2=2,
所以Sn=n+2n+1,
当n=1时,a1=S1=32,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1).
故an=32,n=1,-1n(n+1),n≥2.
等差数列的四个判定方法
(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.
(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
[针对训练] 若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12.
(1)求证:{1Sn}成等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
因为Sn≠0,
所以1Sn-1Sn-1=2.
又1S1=1a1=2,
故{1Sn}是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解:由(1)可得1Sn=2n,
所以Sn=12n.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).
当n=1时,a1=12不符合上式.
故an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.
等差数列性质及其应用
等差数列项的性质
[例2] 在等差数列{an}中,a2+a4+a7+a9=20,则3a5+a7等于( )
A.20B.15
C.10D.条件不足,无法计算
解析:由已知a2+a4+a7+a9=2(a5+a6)=20,则3a5+a7=2a5+a5+a7=2a5+2a6=2(a5+a6)=20.故选A.
如果{an}为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件.
等差数列前n项和的性质
[例3] (多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和,则下列说法正确的是( )
A.S6=2S4-S2
B.S6=3(S4-S2)
C.S2n,S4n-S2n,S6n-S4n成等差数列
D.S22,S44,S66成等差数列
解析:根据S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,得S2+S6-S4=2(S4-S2),即S6=3(S4-S2),故A错误,B正确;根据Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,以2n代n有S2n,S4n-S2n,S6n-S4n成等差数列,故C正确;根据等差数列前n项和Sn的性质有{Snn}为等差数列,而2,4,6成等差数列,故S22,S44,S66成等差数列,故D正确.故选BCD.
等差数列前n项和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
(2)依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
(3){Snn}是等差数列,公差为d2.
等差数列前n项和的最值
[例4] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值.
解:(1)设{an}的公差为d,
由题意,得3a1+3d=-15.
又a1=-7,所以d=2,
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)法一 由(1)Sn=n·(-7)+12·n·(n-1)×2=n2-8n=(n-4)2-16,
又n∈N*,所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
法二 由(1),当n≤4时,an<0,n≥5时,an>0,
所以Sn的最小值为S4=4×(-7)+12×4×3×2=-16.
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方或借助函数图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
①当a1>0,d<0时,满足am≥0,am+1≤0的项数m使得Sn取得最大值Sm;
②当a1<0,d>0时,满足am≤0,am+1≥0的项数m使得Sn取得最小值Sm.
[针对训练]
1.已知数列{an}是等差数列,公差d=4,前n项和为Sn,则S2 0212 021-S2 0202 020的值( )
A.等于4B.等于2
C.等于12D.不确定,与a1有关
解析:由数列{an}是等差数列,所以S2 0212 021-S2 0202 020=2 021a1 0112 021-1 010(a1 010+a1 011)2 020=a1 011-12(a1 010+a1 011)=12(a1 011-a1 010)=12d=2.故选B.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=22,Sn=330,Sn-4=176,则n等于( )
A.14B.15C.16D.17
解析:因为a1+a2+a3+a4=22,
Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=154,
所以4(a1+an)=176,
所以a1+an=44,
所以由Sn=n(a1+an)2,得n·442=330,
所以n=15.故选B.
3.等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,若am=5,则Sm的最大值为( )
A.3B.6C.9D.12
解析:由题意a1+2(m-1)=5,解得a1=7-2m,则Sm=m(a1+am)2=m(12-2m)2=-(m-3)2+9≤9,即m=3时,Sm取最大值9.故选C.
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=nan,且S2+S4+S6+…+S60=3 720,则a1等于( )
A.8B.6C.4D.2
解析:Sn=nan,所以Sn=n(Sn-Sn-1),n≥2,
所以nSn-1=(n-1)Sn,n≥2,
变形得Sn-1n-1=Snn,n≥2,
所以数列Snn是每项均为S1的常数列,
所以Snn=S1,即Sn=nS1=na1.
又因为S2+S4+S6+…+S60=3 720,
所以2a1+4a1+6a1+…+60a1=(2+4+6+…+60)a1=30×622a1=3 720.
解得a1=4.故选C.
[例2] “中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个数中,能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列所有项中,中间项的值为( )
A.992B.1 022
C.1 007D.1 037
解析:由题意可知,an-2既是3的倍数,又是5的倍数,所以是15的倍数,即an-2=15(n-1),
所以an=15n-13,当n=135时,a135=15×135-13=2 012<2 019,
当n=136时,a136=15×136-13=2 027>2 019,
故n=1,2,3,…,135,数列{an}共有135项,因此数列中间项为第68项,且a68=15×68-13=1 007.故中间项的值为1 007.故选C.
[例3] (多选题)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=-Sn+n2,则下列选项正确的是( )
A.an+an+1=2n-1(n≥2)
B.an+2-an=2
C.若a1=0,则S100=4 950
D.若数列{an}单调递增,则a1的取值范围是(-14,13)
解析:因为Sn+1=-Sn+n2,
当n≥2,Sn=-Sn-1+(n-1)2,两式相减得
an+an+1=2n-1(n≥2),所以A正确.
因为an+an+1=2n-1(n≥2),
所以an+1+an+2=2(n+1)-1=2n+1,
两式相减得an+2-an=2(n≥2),所以B错误.
因为Sn+1=-Sn+n2,
令n=1,
则S2=-S1+1,a1+a2=-a1+1,
因为a1=0,所以a2=1.
令n=2,则S3=-S2+4,a1+a2+a3=-a1-a2+4,
所以a3=2.
因为an+2-an=2(n≥2),
而a3-a1=2,
所以an+2-an=2.
所以{an}奇数项是以a1=0为首项,2为公差的等差数列.
偶数项是以a2=1为首项,2为公差的等差数列.
则S100=a1+a2+a3+…+a99+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=(50×0+50×492×2)+(50×1+50×492×2)=4 950,所以C正确.
Sn+1=-Sn+n2,
令n=1,则S2=-S1+1,a1+a2=-a1+1,
则a2=-2a1+1.
又因为an+an+1=2n-1(n≥2),
令n=2,则a2+a3=3,
所以a3=3-a2=3-(-2a1+1)=2a1+2,
同理a4=5-a3=5-(2a1+2)=-2a1+3,
a5=7-a4=7-(-2a1+3)=2a1+4,
a6=9-a5=9-(2a1+4)=-2a1+5.
因为数列{an}单调递增,
所以a1解a1-14,
解a3-14,
解a5