高考数学第一轮复习复习第3节　圆的方程（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第3节　圆的方程（讲义），共20页。

1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示圆的条件.
1.圆的定义与方程
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)21.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
1.(选择性必修第一册P85T2改编)已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是( D )
A.(2,2)B.(1,3)
C.(-1,-2)D.(0,-1)
解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16在圆外;
B中(1-3)2+(3+2)2=29>16在圆外;
C中(-1-3)2+(-2+2)2=16在圆上;
D中(0-3)2+(-1+2)2=10<16在圆内.
2.已知圆x2+y2+x+4y-m=0的半径为12,则m的值为( C )
A.1B.2C.-4D.8
解析:由x2+y2+x+4y-m=0得(x+12)2+(y+2)2=m+4+14,所以m+4+14=14,
所以m=-4.
3.(选择性必修第一册P85T1改编)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的圆的标准方程为( D )
A.(x-1)2+y2=17B.(x+1)2+y2=25
C.(x+1)2+y2=17D.(x-1)2+y2=25
解析:由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0),
设所求圆的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),
点P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,
解得r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.
4.圆心在y轴上,半径长为1,且过点(1,2)的圆的一般方程是 .
解析:设圆心坐标为(0,b),
则(0-1)2+(b-2)2=12,解得b=2.
所以圆心为(0,2),
所以圆的方程为x2+(y-2)2=1.
即x2+y2-4y+3=0.
答案:x2+y2-4y+3=0
圆的方程
[例1] (1)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
(2)已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以P(2,-1)为圆心作一个圆,使得A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,这个圆的方程为 .
解析:(1)法一(待定系数法) 设圆的方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则(1-a)2+(-1-b)2=r2,(-1-a)2+(1-b)2=r2,a+b-2=0,解得a=1,b=1,r2=4,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C.
法二(几何法) 圆心一定在AB的中垂线上,AB的中垂线方程为y=x.由y=x,x+y-2=0得圆心为(1,1),所以r=(1-1)2+(1+1)2=2,
所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C.
(2)由题设知|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,要使A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,所以圆以|PB|为半径,
故圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
答案:(1)C (2)(x-2)2+(y+1)2=13
求圆的方程的两种方法
[针对训练] (1)在平面直角坐标系中,四点坐标分别为(2,0),(3,2-3),(1,2+3),(4,a),若它们都在同一个圆周上,则a的值为( )
A.0B.1C.2D.3
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
解析:(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意22+02+2D+F=0,32+(2-3)2+3D+(2-3)E+F=0,12+(2+3)2+D+(2+3)E+F=0,
解得D=-4,E=-4,F=4.
所以圆的方程为x2+y2-4x-4y+4=0,又因为点(4,a)在圆上,所以42+a2-4×4-4a+4=0,解得a=2.故选C.
(2)法一 设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则2a+b-1=0,(3-a)2+b2=r2,a2+(1-b)2=r2,解得a=1,b=-1,r2=5.
所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
法二 设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则M(-D2,-E2),
所以2×(-D2)+(-E2)-1=0,9+3D+F=0,1+E+F=0,
解得D=-2,E=2,F=-3,
所以☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,
即(x-1)2+(y+1)2=5.
答案:(1)C (2)(x-1)2+(y+1)2=5
圆的对称性
[例2] (多选题)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为5,则圆的方程可能是( )
A.x2+y2=5
B.(x-1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=5
D.(x-1)2+(y+1)2=5
解析:因为圆上的点A(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线x+y=0上,因此设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.故选AD.
由于圆既是轴对称图形又是中心对称图形,因此过圆心的直线必定平分圆的周长,且圆上的点关于过圆心直线的对称点也在圆上.
[针对训练] (多选题)关于圆(x-2)2+y2=5,下列说法正确的是( )
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x-y+2=0对称
D.关于直线x+3y-2=0对称
解析:由题意知圆心的坐标为(2,0).
圆是关于圆心对称的中心对称图形,所以A正确;
圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B正确;
直线x-y+2=0不过圆心,所以C不正确;
直线x+3y-2=0过圆心,所以D正确.故选ABD.
与圆有关的最值问题
[例3] (1)已知M为圆(x-1)2+y2=2上一动点,则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值是( )
A.2B.22C.32D.42
(2)已知定点Q(-2,3)与圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点M(m,n),则n-3m+2的最大值是 ,最小值是 .
(3)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA→+PB→|的最大值为 .
解析:(1)圆(x-1)2+y2=2的圆心坐标为(1,0),半径为2,
圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离
d=|1+3|2=22,
所以圆上的点M到直线x-y+3=0的距离的最大值是22+2=32.故选C.
(2)由C:x2+y2-4x-14y+45=0
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.
n-3m+2表示直线MQ的斜率,由题意知斜率一定存在,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,则n-3m+2=k.
由直线MQ与圆C有交点,
得|2k-7+2k+3|1+k2≤22,
则2-3≤k≤2+3,
所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.
(3)由题意知,PA→=(-x,2-y),
PB→=(-x,-2-y),
所以PA→+PB→=(-2x,-2y),
由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程(x-3)2+y2=4,
故y2=-(x-3)2+4.
所以|PA→+PB→|=4x2+4y2=26x-5.
由圆的方程(x-3)2+y2=4,易知1≤x≤5,
所以当x=5时,|PA→+PB→|的值最大,最大值为26×5-5=10.
答案:(1)C (2)2+3 2-3 (3)10
(1)圆上的动点与定点(直线)距离的最值问题常转化为定点(直线)与圆心的距离及半径的和差关系.
(2)关于圆上点(x,y)有关代数式的最值问题的解法:
(3)涉及圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的动点(x,y)有关的变量的最值问题,要注意x∈[a-r,a+r],y∈[b-r,b+r]范围的应用.
[针对训练] (1)大约在2000多年前,我国的墨子给出了圆的概念:“圜,一中同长也.”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|=2,其中O为坐标原点,若M(12,-32),则|PM|的最小值为 ;
(2)已知实数对(x,y)满足x2+y2-4x+2=0.则y-x的最小值为 ;
(3)已知x,y满足x2+(y+4)2=4,则x2+y2的最大值为 ,最小值为 .
解析:(1)依题意可知,动点P的轨迹是以O为圆心,r=2为半径的圆,即x2+y2=4,
而|OM|=(12) 2+(-32) 2=1故点M(12,-32)在圆内,
根据圆的对称性可知,当O,M,P三点共线时,|PM|最小,即|PM|min=r-|OM|=2-1=1.
(2)设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,直线在y轴上的截距b取最小值.圆心(2,0)到直线y=x+b的距离|2-0+b|2=2,即b=0或b=-4,
故(y-x)min=-4.
(3)因为点P(x,y)是圆x2+(y+4)2=4上的任意一点,所以x2+y2表示原点O(0,0)与该圆上点的距离.因为02+(0+4)2>4,所以点O(0,0)在圆外,圆心为C(0,-4),则|OC|=4,所以x2+y2的最大值为|OC|+r=4+2=6,最小值为|OC|-r=4-2=2.
答案:(1)1 (2)-4 (3)6 2
[例1] 直线l过定点(1,-2),过点P(-1,0)作l的垂线,垂足为M,已知点N(2,1),则|MN|的最大值为 .
解析:设M(x,y),A(1,-2),
则AM→=(x-1,y+2),PM→=(x+1,y),
由题意,可得AM→·PM→=x2-1+y2+2y=0,
故点M的轨迹方程为x2+(y+1)2=2,
该轨迹是以(0,-1)为圆心,2为半径的圆,
N(2,1)在圆外,
所以|MN|max=(2-0)2+(1+1)2+2=32.
答案:32
[例2] 已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,则圆C的一般方程是 .
解析:圆的标准方程为(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E24-3,
圆心为(-D2,-E2),半径为r=D2+E2-124,
所以-D2-E2-1=0,D2+E2-124=2,
解得D=-4,E=2或D=2,E=-4.
又圆心在第二象限,所以D=2,E=-4,即圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
答案:x2+y2+2x-4y+3=0
[例3] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),则直角顶点C的轨迹方程为 ,直角边BC的中点M的轨迹方程为 .
解析:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=12|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
设M(x,y),C(x0,y0).
因为B(3,0),M是线段BC的中点,
由中点坐标公式得x=x0+32,y=y0+02,
所以x0=2x-3,y0=2y.
点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.
因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
答案:(x-1)2+y2=4(y≠0) (x-2)2+y2=1(y≠0)
[选题明细表]
1.(2022·甘肃兰州模拟)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线y=x的距离是( D )
A.2 B.12 C.1 D.22
解析:圆x2-2x+y2-3=0化为(x-1)2+y2=4,故圆心的坐标为(1,0),半径为2.
故圆心(1,0)到直线x-y=0的距离d=12=22.
2.(2022·陕西榆林二模)若方程x2+y2+6x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是( A )
A.(-∞,9)B.(-∞,-9)
C.(9,+∞)D.(-9,+∞)
解析:因为x2+y2+6x+m=0表示一个圆,所以(x+3)2+y2=9-m>0,解得m<9,
故m的取值范围是(-∞,9).
3.以点P(2,-3)为圆心,与y轴相切的圆的方程是( C )
A.(x+2)2+(y-3)2=4
B.(x+2)2+(y-3)2=9
C.(x-2)2+(y+3)2=4
D.(x-2)2+(y+3)2=9
解析:由题知,圆心为P(2,-3),因为圆P与y轴相切,所以圆P的半径r=|xP|=2,所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=4.
4.(2022·重庆模拟)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则这个圆的方程为( B )
A.x2+y2+4x-2y+7=0
B.x2+y2-8x-2y-9=0
C.x2+y2+8x+2y-6=0
D.x2+y2-4x+2y-5=0
解析:法一 根据题意,圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则圆的圆心为(4,1),
半径r=12×4+100=26,则圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=26,
即x2+y2-8x-2y-9=0.
法二 依题意,所求的圆是以(5,6),(3,-4)为直径的圆,
即(x-5)(x-3)+(y-6)(y+4)=0,整理可得x2+y2-8x-2y-9=0.
5.若点R(-1,2)在圆C:x2+y2-2x-2y+a=0的外部,则实数a的取值范围为( C )
A.(-∞,-3)B.(-3,+∞)
C.(-3,2) D.(-2,3)
解析:根据题意圆C的一般方程为x2+y2-2x-2y+a=0,
则必有D2+E2-4F=4+4-4a>0,解得a<2,又由点R(-1,2)在圆C的外部,则5+2-4+a>0,解得a>-3,即实数a的取值范围为(-3,2).
6.(多选题)(2022·重庆模拟)设圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2,
其中a>0,b>0,下列说法正确的是( BC )
A.该圆的圆心为(a,b)
B.该圆过原点
C.该圆与x轴相交于两个不同点
D.该圆的半径为a2+b2
解析:因为圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2(其中a>0,b>0),
所以圆心坐标为(a,-b),半径r=a2+b2,故A,D错误;
把原点坐标(0,0)代入圆的方程得方程左边=(0-a)2+(0-b)2=a2+b2=
方程右边,所以该圆过原点,故B正确;
令y=0,得(x-a)2+b2=x2-2ax+a2+b2=a2+b2,即x2-2ax=0,解得x1=0,x2=2a,所以该圆与x轴有两个交点,故C正确.
7.(2022·河北衡水高三阶段检测)圆(x-1)2+(y-1)2=16上到直线3x+4y+3=0的距离为2的点的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:圆(x-1)2+(y-1)2=16的圆心为(1,1),半径r=4,所以圆心(1,1)到直线3x+4y+3=0的距离d=|3+4+3|32+42=2=12r,所以圆上到直线的距离为2的点有3个.
8.(2022·河北唐山二模)若圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则C的半径为 .
解析:由圆的一般方程,得圆心C的坐标为(-D2,-1),
代入直线x-2y+1=0中,得(-D2)-2×(-1)+1=0,解得D=6,
则半径r=1262+22=10.
答案:10
9.(2022·江苏南京模拟)已知△ABC中,A(-3,0),B(3,0),点C在直线y=x+3上,△ABC的外接圆圆心为E(0,4),则直线EC的方程为 .
解析:因为△ABC的外接圆圆心为E(0,4),所以△ABC的外接圆半径为32+42=5,即△ABC的外接圆方程为x2+(y-4)2=25.
联立y=x+3,x2+(y-4)2=25,解得x=4,y=7或x=-3,y=0,
所以C(4,7)或C(-3,0)(与A点重合舍去),
所以直线EC的方程为y-74-7=x-40-4,
即y=34x+4.
答案:y=34x+4
10.(2022·北京卷)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a等于( A )
A.12 B.-12 C.1 D.-1
解析:依题意可知圆心坐标为(a,0),又直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴,所以2a+0-1=0,所以a=12.
11.(2022·北京一模)已知点A为圆C:(x-m)2+(y-m-1)2=2上一点,
点B(3,0),当m变化时,线段AB长度的最小值为( C )
A.1 B.2 C.2 D.22
解析:由圆C:(x-m)2+(y-m-1)2=2,可得圆心C(m,m+1),半径为r=2,
则|BC|=(m-3)2+(m+1)2=2m2-4m+10=2(m-1)2+8,
当m=1时,|BC|取得最小值22,所以线段AB长度的最小值22-r=2.
12.(多选题)(2022·山东泰安三模)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是( ABD )
A.yx的最大值为43
B.yx的最小值为0
C.x2+y2的最大值为5+1
D.x+y的最大值为3+2
解析:由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0可得点(x,y)在圆(x-2)2+
(y-1)2=1上,作其图象如图所示,
因为yx表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,
设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则|2k-1|k2+1=1,解得k=0或k=43,
所以yx∈[0,43],所以(yx)max=43,(yx)min=0,A,B正确;
x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=22+12,
所以x2+y2的最大值为6+25,C错误,
令x+y=t,则由直线x+y=t与圆有交点可知|3-t|2≤1,解得3-2≤t≤3+2,因此D正确.
13.已知点P在圆C:(x-2)2+(y+1)2=1上,直线l:3x+4y=12与两坐标轴的交点分别为M,N,则△PMN的面积的最大值是( A )
A.152 B.8 C.172 D.9
解析:如图,当点P距离直线l:3x+4y=12的距离最大时,△PMN的面积最大.
已知圆C的圆心(2,-1)到直线l:3x+4y=12的距离d=|6-4-12|32+42=2,
则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为d+r=2+1=3,
又直线l:3x+4y=12与两坐标轴交点分别为M(4,0),N(0,3),
所以|MN|=5,所以△PMN面积的最大值为S=12×5×3=152.
14.(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
解析:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点,
设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得F=0,16+4D+F=0,2-D+E+F=0,解得D=-4,E=-6,F=0,易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.
若圆过(0,0),(4,0),(4,2)三点,
法一 设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,可得F=0,16+4D+F=0,20+4D+2E+F=0,解得D=-4,E=-2,F=0,易得D2+E2-4F>0,
所以过这三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.
法二 在平面直角坐标系中作出这三个点,显然由这三个点的连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为点(0,0)和点(4,2)连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和点(4,2)连线段的长,即2R=(4-0)2+(2-0)2,可得R=5,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
若圆过(0,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,
可得F=0,2-D+E+F=0,20+4D+2E+F=0,
解得D=-83,E=-143,F=0,
易得D2+E2-4F>0,所以过这三点的圆的方程为x2+y2-83x-143y=0,
即(x-43)2+(y-73)2=659.
若圆过(4,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将三点的坐标代入,
可得16+4D+F=0,2-D+E+F=0,20+4D+2E+F=0,解得D=-165,E=-2,F=-165,易得D2+E2-4F>0,
所以过这三点的圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0,即(x-85)2+(y-1)2=16925.
答案:(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-43)2+(y-73)2=659或(x-85)2+(y-1)2=16925(写出一个正确答案即可)
15.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是( ABD )
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
解析:圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,所以A正确;
令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,因为Δ=36-40=-4<0,
所以2k2-6k+5=0,无实数根,所以B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,
化简得k2-4k+2=0,因为Δ=16-8=8>0,k2-4k+2=0,有两不等实根,
所以经过点(2,2)的圆Ck有两个,所以C错误;
由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2
=r2(r>0)
圆心为(a,b)
半径为r
一般
方程
x2+y2+Dx+
Ey+F=0
充要条件:
D2+E2-4F>0
圆心坐标:
(-D2,-E2)
半径:
r=12D2+E2-4F
几何法
根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程
待定
系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值.
②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值
代数式特征
求解方法
u=y-bx-a
转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值
t=ax+by
转化为动直线的截距的最值
(x-a)2+(y-b)2
转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值
知识点、方法
题号
圆的方程理解
1,2,5,8,9,10
圆的方程求法
3,4,14
综合问题
6,7,11,12,13,15