高考数学第一轮复习复习第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用（讲义），共22页。

1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
1.向量的夹角
已知两个非零向量a与b,O是平面上的任意一点,作OA→=a,OB→=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].
2.平面向量的数量积
3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)数乘结合律:(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)
(λ∈R);
(3)分配律:(b+c)·a=a·b+a·c.
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=.
1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;
两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
3.设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的重心⇔OA→+OB→+OC→=0.
(2)O为△ABC的内心⇔aOA→+bOB→+cOC→=0.
(3)O为△ABC的垂心⇔OA→·OB→=OB→·OC→=OC→·OA→.
1.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论正确的是( CD )
A.0·a=0
B.a·b=b·c,则a=c
C.a·b=0⇒a⊥b
D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2
2.已知|a|=5,|b|=2,a·b=5,则a与b的夹角θ等于( A )
A.45°B.135°C.-45°D.30°
解析:由题意知cs θ=a·b|a||b|=55×2=22,又θ∈[0°,180°],所以θ=45°.
3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a上的投影为 .
解析:由数量积的定义知,b在a上的投影为
|b|cs θ=4×cs 120°=-2.
答案:-2
4.(2021·北京卷)已知a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c= ,a·b= .
答案:0 3
平面向量数量积的运算
1.(2019·全国Ⅱ卷)已知AB→=(2,3),AC→=(3,t),|BC→|=1,则AB→·BC→等于( C )
A.-3B.-2C.2D.3
解析:由BC→=AC→-AB→=(1,t-3),|BC→|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC→=(1,0),AB→·BC→=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.
2.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此,a·b+b·c+c·a=-92.
答案:-92
3.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b在向量a+b上的投影是 .
解析:依题意得(a-b)·(a+b)=a2-b2=-3,(a+b)2=a2+b2+2a·b=3,即|a+b|=3,向量a-b在向量a+b上的投影是(a-b)·(a+b)|a+b|=-33=-3.
答案:-3
4.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD→·AE→= .
解析:如图,
在等腰△ABE中,易得∠BAE=∠ABE=30°,故BE=2.
则BD→·AE→=(AD→-AB→)·(AB→+BE→)
=AD→·AB→+AD→·BE→-AB→2-AB→·BE→
=5×23×cs 30°+5×2×cs 180°-12-23×2×cs 150°
=15-10-12+6=-1.
答案:-1
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cs.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
平面向量数量积的应用
平面向量的模
[例1] (1)(2021·全国甲卷)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= ;
(2)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为 .
解析:(1)由|a-b|=5,得(a-b)2=25,即a2-2a·b+b2=25,结合|a|=3,a·b=1,得32-2×1+|b|2=25,所以|b|=32.
(2)建立如图所示的直角坐标系,由题意知a⊥b,且a与b是单位向量,则可设OA→=a=(1,0),OB→=b=(0,1),OC→=c=(x,y),
所以c-a-b=(x-1,y-1).
因为|c-a-b|=1,
所以(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以点M(1,1)为圆心,1为半径的圆.
而|c|=x2+y2,所以|c|的最大值为|OM|+1,即|c|max=2+1.
答案:(1)32 (2)2+1
(1)求向量的模的方法:①公式法,利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;②几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
(2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
平面向量的夹角
[例2] (1)已知a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,=,则t等于( )
A.-6B.-5C.5D.6
(2)(2019·全国Ⅲ卷)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cs= .
解析:(1)由已知有c=(3+t,4),cs=cs,故9+3t+16|c|·5=3+t|c|·1,
解得t=5.故选C.
(2)cs=a·c|a||c|=2|a|2-5a·b(2a-5b)2
=24|a|2+5|b|2
=23.
答案:(1)C (2)23
求平面向量的夹角的方法
(1)定义法:cs θ=a·b|a||b|,注意θ的取值范围为[0,π].
(2)坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cs θ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22.
(3)解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.
平面向量的垂直问题
[例3] (1)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于( )
A.-8B.-6C.6D.8
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
解析:(1)由题知a+b=(4,m-2),
因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,
即4×3+(-2)×(m-2)=0,
解得m=8.故选D.
(2)法一 a-λb=(1-3λ,3-4λ),
因为(a-λb)⊥b,所以(a-λb)·b=0,
即(1-3λ,3-4λ)·(3,4)=0,
所以3-9λ+12-16λ=0,解得λ=35.
法二 由(a-λb)⊥b可知,(a-λb)·b=0,
即a·b-λb2=0,
从而λ=a·bb2=(1,3)·(3,4)32+42=1525=35.
答案:(1)D (2)35
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.
(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
[针对训练] (1)如果|a|=2,|b|=3,a·b=4,则|a-2b|的值是( )
A.24B.26
C.-24D.-26
(2)已知向量a=(1,2),b=(2k,3),且a⊥(2a+b),则实数k的值为( )
A.-8B.-2C.1.5D.7
(3)已知向量a,b满足(2a-b)·(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,则a与b的夹角为 .
(4)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是 .
解析:(1)由|a|=2,|b|=3,a·b=4,
得|a-2b|=(a-2b)2
=a2+4b2-4a·b
=4+36-4×4=26.故选B.
(2)因为2a+b=(2,4)+(2k,3)=(2+2k,7),又a⊥(2a+b),a=(1,2),所以a·(2a+b)=2+2k+14=0,解得k=-8.故选A.
(3)因为(2a-b)·(a+b)=6,所以2a2+a·b-b2=6,又|a|=2,|b|=1,所以a·b=-1,
所以cs=a·b|a||b|=-12.
又∈[0,π],所以a与b的夹角为2π3.
(4)因为2a-3b与c的夹角为钝角,
所以(2a-3b)·c<0,
即(2k-3,-6)·(2,1)<0,解得k<3.
又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-92.
当k=-92时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,
此时2a-3b与c反向,不合题意.
综上,k的取值范围为(-∞,-92)∪(-92,3).
答案:(1)B (2)A (3)2π3 (4)(-∞,-92)∪(-92,3)
平面向量的应用
[例4] (1)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA→·(PB→+PC→)的最小值是( )
A.-2B.-32C.-43D.-1
(2)(多选题)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为F1,F2,若|F1|=|F2|,且F1与F2的夹角为θ,则以下结论正确的是( )
A.|F1|的最小值为12|G|
B.θ的范围为[0,π]
C.当θ=π2时,|F1|=22|G|
D.当θ=2π3时,|F1|=|G|
解析:(1)以BC的中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,3),B(-1,0),C(1,0).
设P(x,y),PA→=(-x,3-y),
PB→=(-1-x,-y),PC→=(1-x,-y),
所以PA→·(PB→+PC→)=2x2-23y+2y2
=2[x2+(y-32)2-34],
则其最小值为2×(-34)=-32,
此时x=0,y=32.故选B.
(2)由题意知,F1+F2+G=0,
可得F1+F2=-G,两边同时平方得
|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cs θ
=2|F1|2+2|F1|2cs θ,
所以|F1|2=|G|22(1+csθ).
当θ=0时,|F1|min=12|G|;
当θ=π2时,|F1|=22|G|;
当θ=2π3时,|F1|=|G|,故A,C,D正确;
当θ=π时,竖直方向上没有分力与重力平衡,不成立,所以θ∈[0,π),故B错误.故选ACD.
用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
[针对训练] (1)点P是△ABC所在平面上一点,满足|PB→-PC→|-|PB→+PC→-2PA→|=0,则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
(2)一物体在力F的作用下,由点A(20,15)移动到点B(7,0).已知F=(4,-5),则F对该物体做的功为 .
解析:(1)点P是△ABC所在平面上一点,满足|PB→-PC→|-|PB→+PC→-2PA→|=0,
则|PB→-PC→|=|PB→+PC→-2PA→|,
可得|CB→|=|AB→+AC→|,
即|AB→-AC→|=|AC→+AB→|,将|AB→-AC→|=|AC→+AB→|两边平方并化简得AB→·AC→=0,所以AB→⊥AC→,因此,△ABC是直角三角形.故选B.
(2)因为A(20,15),B(7,0),
所以AB→=(-13,-15),
所以W=AB→·F=-13×4+(-15)×(-5)=23 J.
答案:(1)B (2)23 J
[知识链接]
极化恒等式:设a,b为两个平面向量,则有恒等式a·b=14[(a+b)2-(a-b)2].
如图所示.
(1)在平行四边形ABDC中,AB→=a,AC→=b,则a·b=14(|AD→|2-|CB→|2).
(2)在△ABC中,AB→=a,AC→=b,AM为中线,则a·b=|AM→|2-14|CB→|2.
[典例] 如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA→·CA→=4,BF→·CF→=-1,则BE→·CE→的值为 .
解析:设BD→=a,DF→=b,BA→·CA→=|AD→|2-|BD→|2=9b2-a2=4,
BF→·CF→=|FD→|2-|BD→|2=b2-a2=-1,
解得b2=58,a2=138,
所以BE→·CE→=|ED→|2-|BD→|2
=4b2-a2=78.
答案:78
极化恒等式的几何意义是向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14.应用这一结论可以快速解决问题.
[拓展演练] 已知点A,B,C均在半径为2的圆上,若|AB|=2,则AC→·BC→的最大值为( )
A.3+22B.2+22
C.4D.2
解析:设A,B,C三点所在圆的圆心为O,取AB中点D(图略),故AC→·BC→=CA→·CB→=CD→2-14AB→2=CD→2-1,因为A,B,C三点在圆上,所以CD长度最大为2+d,其中d为圆心O到弦AB的距离,故最大值为1+2,所以CD→2-1的最大值为(1+2)2-1=2+22.故选B.
[例1] (2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cs等于( )
A.-3135B.-1935C.1735D.1935
解析:由题意,得a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|=a2+2a·b+b2=25-12+36=7,所以cs=a·(a+b)|a| |a+b|=195×7=1935.故选D.
[例2] 已知向量a,b为单位向量,且a·b=-12,向量c与a+b共线,则|a+c|的最小值为( )
A.1B.12
C.34D.32
解析:因为向量c与a+b共线,所以可设c=t(a+b)(t∈R),所以a+c=(t+1)a+tb,所以(a+c)2=(t+1)2a2+2t(t+1)a·b+t2b2,
因为向量a,b为单位向量,且a·b=-12,
所以(a+c)2=(t+1)2-t(t+1)+t2=t2+t+1≥34,
所以|a+c|≥32,所以|a+c|的最小值为32.故选D.
[例3] 在平面四边形ABCD中,已知AB→=DC→,P为CD上一点,CP→=3PD→,|AB→|=4,|AD→|=3,AB→与AD→的夹角为θ,且cs θ=23,则AP→·PB→= .
解析:如图所示,
因为AB→=DC→,所以四边形ABCD为平行四边形,因为CP→=3PD→,所以AP→=AD→+DP→=AD→+14AB→,PB→=AB→-AP→=34AB→-AD→.又因为|AB→|=4,|AD→|=3,cs θ=23,则AB→·AD→=4×3×23=8,所以AP→·PB→=(AD→+14AB→)·(34AB→-AD→)
=12AB→·AD→-AD→2+316AB→2
=12×8-9+316×42=-2.
答案:-2
[例4] 若向量a,b满足a=(cs θ,sin θ)(θ∈R),|b|=2,则|2a-b|的取值范围为 .
解析:设a与b的夹角为α,则(2a-b)2=4a2+b2-4a·b=8-8cs α,因为α∈[0,π],所以0≤8-8cs α≤16,所以0≤|2a-b|≤4.
答案:[0,4]
[例5] 在边长为2的正三角形ABC中,M是BC的中点,D是线段AM的中点,则BD→·BM→= .
解析:因为△ABC是边长为2的正三角形,M是BC的中点,所以AM⊥BC,且BM=1,
所以BD→·BM→=|BD→||BM→|cs∠DBM=
|BM→|2=1.
答案:1
[选题明细表]
1.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为-3,则a与b的夹角为( D )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
解析:设a与b的夹角为α(0≤a≤π),则a在向量b上的投影为|a|cs α=2cs α=-3,
所以cs α=-32,所以α=5π6.
2.向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)⊥(a-b),则x等于( C )
A.-2B.±2C.±2D.2
解析:法一 a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,
即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=±2.
法二 因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,所以a2-b2=0,所以|a|=|b|,所以x=±2.
3.已知a,b是相互垂直的单位向量,与a,b共面的向量c满足a·c=b·c=2,则c的模为( D )
A.1B.2C.2D.22
解析:由题意知a,b是相互垂直的单位向量,不妨设a=(1,0),b=(0,1),设c=(x,y),由a·c=b·c=2,可得x=y=2,即c=(2,2),则|c|=22+22=22.
4.在四边形ABCD中,AB→=DC→,且AC→·BD→=0,则四边形ABCD是( B )
A.矩形B.菱形
C.直角梯形D.等腰梯形
解析:由AB→=DC→知四边形ABCD为平行四边形,
又因为AC→·BD→=0,即▱ABCD的两条对角线互相垂直,所以四边形ABCD为菱形.
5.(多选题)如图,点A,B在圆C上,则AB→·AC→的值( BC )
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与弦AB的长度无关
解析:如图,连接AB,过C作CD⊥AB交AB于D,则D是AB的中点,故AB→·AC→=|AB→|·|AC→|·cs∠CAD=|AB→|·|AC→|·12|AB→||AC→|=12|AB→|2,故AB→·AC→的值与圆C的半径无关,只与弦AB的长度有关.
6.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若点Q满足AQ→=2QB→,则QC→·QD→等于( D )
A.-109B.109C.-139D.139
解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1).
又AQ→=2QB→,所以Q(43,0),
所以QC→=(-13,1),QD→=(-43,1),
所以QC→·QD→=49+1=139.
7.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60°,则|a-3b|等于 .
解析:|a-3b|=a2+9b2-6a·b
=1+9-6×1×1×12
=7.
答案:7
8.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= .
解析:(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cs+|b|2=2×1×3×13+32=11.
答案:11
9.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB→·AC→= .
解析:如图所示,由极化恒等式,易得AB→·AC→=AM→2-BM→2=32-52=-16.
答案:-16
10.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足OP→=13[(1-λ)OA→+(1-λ)OB→+(1+2λ)·OC→],λ∈R,则点P的轨迹一定经过( C )
A.△ABC的内心
B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心
D.△ABC的外心
解析:取AB的中点D(图略),
则2OD→=OA→+OB→,
因为OP→=13[(1-λ)OA→+(1-λ)OB→+(1+2λ)OC→],所以OP→=13[2(1-λ)OD→+(1+2λ)OC→]=2(1-λ)3OD→+1+2λ3OC→,而2(1-λ)3+1+2λ3=1,
所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
11.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( C )
A.1B.2
C.2D.22
解析:如图所示,设OA→⊥OB→,记OA→=a,OB→=b,OC→=c,M为AB的中点,由极化恒等式有
(a-c)·(b-c)=CA→·CB→=|CM→|2-|AB→|24=0,
所以|CM→|2=|AB→|24=12,可知MC→是有固定起点,固定模长的动向量.点C的轨迹是以AB为直径的圆,且点O也在此圆上,所以|c|的最大值为圆的直径长,即为2.
12.(2023·山东济南模拟)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且BD→=2DC→,E为线段AD上一点,若△ABE与△ACD的面积相等,则BE→·AC→的值为( D )
A.14B.-14
C.34D.-34
解析:因为D在线段BC上,且BD→=2DC→,
所以S△ACD=12S△ABD,又E为线段AD上一点,因为△ABE与△ACD的面积相等,
所以S△ABE=12S△ABD,E为AD的中点,
如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(32,332),D(2,0),C(3,0),E(74,334),
所以BE→=(74,334),AC→=(32,-332),
所以BE→·AC→=74×32-334×332=-34.
13.已知平面向量a=(3,3),则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为 .(写出满足条件的一个向量即可)
解析:设b=(x,y),所以a·b=3x+3y=6·x2+y2·22,所以x2+y2=x+y,所以xy=0,且b为非零向量,因为x=1,y=0满足题意,
所以b=(1,0).
答案:(1,0)(答案不唯一,满足b=(x,y),xy=0,且x2+y2≠0的任意一个均可)
14.如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F1,F2,且F1,F2与水平线夹角均为45°,|F1|=|F2|=102 N,则物体的重力大小为 N.
解析:如图所示,因为|F1|=|F2|=102 N,
所以|F1+F2|=102×2=20 N,
所以物体的重力大小为20 N.
答案:20
15.已知向量a,b,c满足|a|=4,|b|=22,=π4,(c-a)·(c-b)=-1,则|c-a|的最大值为 .
解析:设OA→=a,OB→=b,OC→=c,以OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),因为|a|=4,|b|=22,a与b的夹角为π4,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y),因为(c-a)·(c-b)=-1,所以x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心,1为半径的圆,|c-a|表示点A,C间的距离,即圆上的点与A(4,0)间的距离,因为圆心到A的距离为2,所以|c-a|的最大值为2+1.
答案:2+1
定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0
投影、
投影向量
设a,b是两个非零向量,AB→=a,CD→=b,我们考虑如下的变换:过AB→的起点A和终点B,分别作CD→所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1→,我们称上述变换为向量a向向量b投影,A1B1→叫做向量a在向量b上的投影向量
投影向量
的表示
a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b|,a在b上的投影向量的模为|a·b||b|
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=a·a
|a|=x12+y12
数量积
a·b=|a||b|cs θ
a·b=x1x2+y1y2
夹角
cs θ=a·b|a||b|
cs θ=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22
a⊥b
a·b=0
x1x2+y1y2=0
a∥b
|a·b|=|a||b|
x1y2=x2y1
|a·b|与
|a||b|的
关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y22
知识点、方法
题号
平面向量数量积的运算
6,8,9
平面向量的模
3,7,11,15
平面向量的夹角与垂直
1,2,13
平面向量的应用
4,5,10,12,14