高考数学第一轮复习复习第5节　利用导数证明不等式（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第5节　利用导数证明不等式（讲义），共11页。
构造函数证明不等式
[例1] 已知函数f(x)=ex+exln x(其中e是自然对数的底数).
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证:f(x)≥ex2.
(1)解:因为函数f(x)=ex+exln x,
所以f′(x)=ex+e(1+ln x),f(1)=e,
所以f′(1)=2e,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.
(2)证明:要证f(x)≥ex2,即证ex+exln x≥ex2,即证ex-1x+ln x-x≥0,
构造函数G(x)=ex-1x+ln x-x,
则G′(x)=ex-1(x-1)x2+1x-1=
ex-1(x-1)+x-x2x2=(x-1)(ex-1-x)x2.
令H(x)=ex-1-x,
则H′(x)=ex-1-1,
当x>1时,H′(x)>0,H(x)单调递增;
当00,g(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g′(x)0),
h′(x)=(x+1)ex+1-1+xx=(x+1)(ex+1-1x),
令(x)=ex+1-1x,则(x)在(0,+∞)上单调递增,而(110)=e1110-100.
(1)求f(x)的最小值;
(2)证明:xeex-eln x-ln(x+1)>1.
(1)解:f′(x)=mex-1,
在(-∞,-ln m)上,f′(x)0,
故f(x)的最小值为f(-ln m)=me-ln m-(-ln m)-ln m-1=0.
(2)证明:令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1,
当x=0时,g(x)取最小值,故g(x)≥g(0)=0,即对∀x∈R,ex≥x+1,
故xeex=ex+eln x≥x+eln x+1,故xeex-eln x-ln(x+1)≥x-ln(x+1)+1,
而对x>0,ex>x+1⇒x>ln(x+1),
所以x-ln(x+1)>0,x-ln(x+1)+1>1,故原式得证.
常见放缩类型
(1)切线放缩:导数法证明不等式中,最常见的是ex和ln x与其他代数式的结合问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,得到较为简单的不等式,然后再构造函数进行证明,常用的放缩公式是:
①ex≥x+1,当且仅当x=0时,取等号;
②ln x≤x-1,当且仅当x=1时,取等号.
(2)当题目给出参数范围时,一般利用参数进行简单的放缩后,再构造函数证明不等式.
[针对训练] 已知函数f(x)=ex-a+x-2(a∈R).
(1)求证:f(x)仅有一个零点;
(2)若a≤1,求证:f(x)≥-12x2+3x-52.
证明:(1)f′(x)=ex-a+1>0,所以f(x)在R上单调递增,
当x→-∞时,ex-a→0,
所以f(x)=ex-a+x-2→-∞,
当x=2时,f(2)=e2-a>0,
所以f(x)有且仅有一个零点.
(2)f(x)=ex-a+x-2,
因为a≤1,所以ex-a+x-2≥ex-1+x-2,
下面证明ex-1+x-2≥-12x2+3x-52.
即证ex-1+x-2+12x2-3x+52≥0,
即证2ex-1-4x+1+x2≥0,
令g(x)=2ex-1-4x+1+x2,
则g′(x)=2ex-1-4+2x,
令h(x)=2ex-1-4+2x,则h′(x)=2ex-1+2>0,
所以h(x)单调递增,又h(1)=0,
所以在(-∞,1)上,h(x)0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(x)min=g(1)=0,
所以ex-a+x-2≥-12x2+3x-52,
所以f(x)≥-12x2+3x-52.
[例1] 已知函数f(x)=ex+a+bsin x-1的图象在原点处的切线方程为y=3x.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)当x≥0时,求证:f(x)≥3x.
(1)解:由f(x)=ex+a+bsin x-1,
得f′(x)=ex+a+bcs x,
所以f'(0)=ea+b=3,f(0)=ea-1=0,解得a=0,b=2,
所以f(x)=ex+2sin x-1.
(2)证明:要证当x≥0时,f(x)≥3x,
即证当x≥0时,ex+2sin x-3x-1≥0,
令g(x)=ex+2sin x-3x-1,
则g′(x)=ex+2cs x-3,
令h(x)=ex+2cs x-3,则h′(x)=ex-2sin x,
令m(x)=x-sin x(x≥0),
则m′(x)=1-cs x≥0,
即m(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故m(x)≥m(0)=0,
即当x≥0时,x≥sin x,
故h′(x)=ex-2sin x≥ex-2x;
下证:ex>2x在区间[0,+∞)上恒成立,
设(x)=ex-2x,则′(x)=ex-2.
当x∈[0,ln 2)时,′(x)0,
故(x)在[0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,
所以(x)≥(ln 2)=2-2ln 2>0,故ex>2x,
所以当x≥0时h′(x)>0恒成立,
即当x≥0时,h(x)单调递增,
故h(x)=ex+2cs x-3≥h(0)=0,
即g′(x)=ex+2cs x-3≥0,
所以g(x)=ex+2sin x-3x-1在[0,+∞)上单调递增,
故g(x)≥g(0)=0,
即当x≥0时,ex+2sin x-3x-1≥0,
即当x≥0时,f(x)≥3x.
[例2] 已知函数f(x)=ln x+ax-2(a∈R),g(x)=(x-2)ln x-3.
(1)若a=0,求函数h(x)=xf(x)-g(x)的最大值;
(2)若函数f(x)的一个极值点为x=1,求证:f(x)≤g(ex).
(1)解:若a=0,h(x)=xf(x)-g(x)=2ln x-2x+3,其定义域为(0,+∞),
所以h′(x)=2x-2=2(1-x)x,
由h′(x)1;由h′(x)>0,得00),
则F′(x)=(x+1)ex-1x-1=(x+1)(ex-1x),
令G(x)=(x+1)(ex-1x)(x>0),
则G(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为G(1)=2(e-1)>0,G(12)=32(e-2)0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当x>e时,eln x[ln x-ln(ln x)]e时,(xlnx)e