高考数学第一轮复习复习第5节　椭　圆（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第5节　椭　圆（讲义），共26页。

1.了解椭圆及椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数.
(1)2a>2c的原因是三角形两边之和大于第三边;
(2)上述表达式中,若a=c,则集合P为线段.若a2.椭圆的几何性质
椭圆的标准方程中
焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;
焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.
1.设P为椭圆上不同于长轴两端点的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则
①b≤|OP|2.椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a,通径是最短的焦点弦.
3.设P,A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的三点,其中A,B关于原点对称,P与A,B均不关于坐标轴对称,则直线PA与PB的斜率之积为定值-b2a2.
4.椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关,当a不变时,e越大,b越小,椭圆越扁;e越小,b越大,椭圆越圆.
5.若P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=ca.
6.椭圆系方程:
①与x2a2+y2b2=1共焦点的椭圆系为x2a2-k+y2b2-k=1(k②与x2a2+y2b2=1有共同的离心率的椭圆系为x2a2+y2b2=λ与y2a2+x2b2=λ(λ>0).
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是( D )
A.x23+y24=1B.x24+y23=1
C.x24+y22=1D.x24+y23=1
解析:由右焦点为F(1,0)可知c=1,离心率等于12,即ca=12,故a=2,
由a2=b2+c2知b2=3,
故椭圆C的方程为x24+y23=1.
2.(选择性必修第一册P109T3改编)已知椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则三角形ABF2的周长为( C )
A.10B.15C.20D.25
解析:由题意椭圆的长轴长为2a=225=10,
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周长是20.
3.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是 .
解析:椭圆方程可化为x2+y24k=1,
由题意知4k>1,4k-1=1,
解得k=2.
答案:2
4.椭圆9x2+5y2=45的离心率为 .
解析:由9x2+5y2=45,得y29+x25=1,
则a=3,c=9-5=2,可知e=ca=23.
答案:23
5.若方程x2m+y21-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为 .
解析:由题可知,1-m>m>0,
解得0所以实数m的取值范围为(0,12).
答案:(0,12)
椭圆的定义及应用
1.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是( D )
A.x264-y248=1B.x248+y264=1
C.x248-y264=1D.x264+y248=1
解析:设动圆的圆心M(x,y),半径为r,
圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,
与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,
所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,动圆圆心M的轨迹方程为x264+y248=1.
2.若动点M(x,y)满足方程(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10,则动点M的轨迹方程为( B )
A.x225+y216=1B.x225+y221=1
C.x225+y24=1D.y225+x221=1
解析:方程(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10的几何意义为动点M(x,y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10,且10>2+2,由椭圆的定义可得动点M的轨迹是椭圆,且2a=10,2c=4,b2=a2-c2=52-22=21.
因此椭圆的方程为x225+y221=1.
3.动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,动圆圆心M的轨迹方程为 .
解析:由圆B方程知其圆心为B(3,0),
半径r1=10.
设圆M半径为r2,则|MA|=r2,
由题意可知|MB|=r1-r2=10-r2,
即|MA|+|MB|=10,
又|AB|=6,
所以|MA|+|MB|>|AB|.
所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点且a=5,c=3的椭圆,所以b2=a2-c2=16.
所以动圆圆心M的轨迹方程为 x225+y216=1.
答案:x225+y216=1
若平面上的动点的轨迹满足椭圆的定义的形式,可直接确定动点的轨迹或求椭圆的方程.
椭圆的标准方程
1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为(2,0),右顶点为A,O为坐标原点,过OA的中点且与x轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,若四边形OMAN是正方形,则C的方程为( A )
A.x23+y2=1B.x25+y23=1
C.x27+y25=1D.x29+y27=1
解析:由椭圆方程及四边形OMAN是正方形可知A(a,0),M(a2,a2).又点M在椭圆C上,则有(a2) 2a2+(a2) 2b2=1,解得a2b2=3.
因为椭圆C的右焦点为(2,0),所以c=2,结合a2-b2=c2,解得a2=3,b2=1,即椭圆C的方程为x23+y2=1.
2.(多选题)已知椭圆C中心在原点,焦点在坐标轴上,若椭圆C的离心率为32,且过点(2,1),则椭圆C的标准方程为( AC )
A.x28+y22=1B.x22+y28=1
C.x2174+y217=1D.x217+y2174=1
解析:①当椭圆C的焦点在x轴上时,设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由椭圆C的离心率为32,得a2=4b2,
所以椭圆C的方程为x24b2+y2b2=1.
因为椭圆过点(2,1),所以44b2+1b2=1,解得b2=2,a2=8.椭圆C的标准方程为x28+y22=1.
②当椭圆C的焦点在y轴上时,
设椭圆方程为y2m2+x2n2=1(m>n>0),
由椭圆C的离心率为32,得m2=4n2,所以椭圆C的方程为y24n2+x2n2=1.
因为椭圆过点(2,1),所以14n2+4n2=1,解得n2=174,m2=17.椭圆C的标准方程为x2174+y217=1.
3.已知椭圆E经过A(-2,0),B(-1,22),C(2,22),D(-3,-12)中的三个点,则椭圆的标准方程为 .
解析:根据椭圆的对称性及点B,C的纵坐标相同,横坐标的绝对值不同,可知点B,C中有且只有一个点在椭圆E上,而A,D必在椭圆上.
设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),将点A,D代入椭圆方程得4m=1,3m+n4=1,
解得m=14,n=1.
此时椭圆方程为x24+y2=1,C在其上, B不在其上.
答案:x24+y2=1
(1)求椭圆标准方程的主要方法是待定系数法,求解时首先由题目条件确定方程的类型(焦点的位置),再由条件确定方程的参数.
(2)若椭圆焦点位置不确定时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
椭圆的几何性质
椭圆几何性质的理解
[例1] (2022·广东韶关高三测试)在椭圆C1:x24+y23=1与椭圆C2:x24-m+y23-m=1中,下列结论正确的是( )
A.长轴长相等B.短轴长相等
C.焦距相等D.离心率相等
解析:椭圆C1:x24+y23=1长轴长为4,短轴长为23,焦距为2,离心率为12,椭圆C2:x24-m+y23-m=1长轴长为24-m,短轴长为23-m,焦距为2,离心率为14-m,所以焦距相等.故选C.
根据椭圆方程研究椭圆的几何性质,主要是根据方程确定参数的几何意义,结合有关量的特征求解.
椭圆的离心率
[例2] (1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若椭圆C上存在点P使△PF1F2为等腰直角三角形,则椭圆C的离心率为( )
A.22B.2-1
C.22或2-1D.22或5-12
(2)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P使得|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率取值范围是( )
A.[13,1)B.(13,1)
C.[23,1)D.(23,1)
解析:(1)当PF1⊥PF2时,△PF1F2为等腰直角三角形,则点P为椭圆的上或下顶点,且满足b=c,此时e=ca=cb2+c2=22.
当PF2⊥F1F2或者PF1⊥F1F2时,此时P(±c,±b2a) ,根据△PF1F2为等腰直角三角形可知b2a=2c ,故a2-c2-2ac=0⇒e2+2e-1=0 ,
因为0(2)由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,
又|PF1|=2|PF2|,
解得|PF1|=4a3,|PF2|=2a3.因为a-c≤|PF1|≤a+c,所以a-c≤4a3≤a+c,得0解得13≤e<1.故选A.
(1)求椭圆离心率的方法:直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解或列出含有a,b,c的齐次方程,借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程求解.
(2)求椭圆离心率范围的两种方法
椭圆上的点有关的最值或范围问题
[例3] (2021·全国乙卷)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为( )
A.52B.6C.5D.2
解析:设点P(x,y),则根据点P在椭圆x25+y2=1上可得x2=5-5y2.易知点B(0,1),所以根据两点间的距离公式得|PB|2=x2+(y-1)2=5-5y2+(y-1)2=-4y2-2y+6=254-(2y+12)2.
当2y+12=0,即y=-14(满足|y|≤1)时,|PB|2取得最大值254,所以|PB|max=52.故选A.
与椭圆上的点有关的最值或范围问题的求解方法
(1)设出椭圆上的点的坐标,构造关于以点的坐标为变量的函数关系式,利用函数知识求解.
(2)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
[针对训练]
1.(多选题)若椭圆C:x2m+y2m2-1=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论正确的是( )
A.m=2
B.C的长轴长为 3
C.C的短轴长为 2
D.C的离心率为33
解析:由已知可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1(舍去),即椭圆C的方程为y23+x22=1, 由此可知a2=3,b2=2 ,即a=3,b=2,因此长轴长为2a=23,短轴长2b=22,离心率e=ca=13=33.故选AD.
2.(2022·陕西西安二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为( )
A.3-1B.32C.12D.22
解析:由题意,设椭圆与正三角形另两边的交点分别为A,B,如图,易得|AF1|=|AB|=|BF2|=c,∠F1AF2=90°.
所以|AF2|=3c,
所以|AF1|+|AF2|=(3+1)c=2a,
所以e=ca=c3+12c=3-1.故选A.
3.如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0,5+14)B.(5+14,1)
C.(0,5-12)D.(5-12,1)
解析:因为∠B1PA2为钝角,所以F2B1→·B2A2→<0,
即(-c,-b)·(a,-b)<0,
整理可得b2可得e2+e-1>0,
解得e>5-12或e<-5-12(舍去),
又e∈(0,1).故选D.
4.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP→·FP→的最大值为( )
A.2B.3C.6D.8
解析:设P(x0,y0),则x024+y023=1,即y02=3-3x024.
又因为F(-1,0),所以 OP→·FP→=x0·(x0+1)+y02=14x02+x0+3=14(x0+2)2+2.
又x0∈[-2,2],所以OP→·FP→∈[2,6],
所以(OP→·FP→)max=6.故选C.
5.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13B.12C.9D.6
解析:由椭圆C:x29+y24=1,
得|MF1|+|MF2|=2×3=6,
则|MF1|·|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=32=9,
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故选C.
[例1] 已知点M在椭圆x218+y29=1上运动,点N在圆x2+(y-1)2=1上运动,则|MN|的最大值为( )
A.1+19B.1+25
C.5D.6
解析:设圆x2+(y-1)2=1的圆心为C(0,1),则|MN|≤|MC|+r=|MC|+1,
设M(x0,y0),则x0218+y029=1⇒x02=18-2y02,
所以|MC|=x02+(y0-1)2=x02+y02-2y0+1=18-2y02+y02-2y0+1
=-y02-2y0+19=-(y0+1)2+20≤25,当且仅当y0=-1时,取得最大值,
所以|MN|≤|MC|+1≤25+1.故选B.
[例2] 已知椭圆C1:x24+y2b2=1(0解析:由条件得4-b24=14,所以b2=3,
所以椭圆C1的方程是x24+y23=1,
所以F1(-1,0),F2(1,0).
由于点N在线段F1M的延长线上,
且|MN|=|MF2|,
所以|F1N|=|MF1|+|MF2|=4,
所以点N的轨迹是以F1为圆心,以4为半径的圆,
方程为(x+1)2+y2=16.
设P(x,y),则F2(1,0)关于P(x,y)对称的点的坐标为(2x-1,2y),
所以(2x-1+1)2+(2y)2=16,化简得点P的轨迹方程为x2+y2=4,即点P的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,所以|F1P|的最大值为3.
答案:3
[例3] 已知椭圆C的焦点坐标为F1(-1,0)和F2(1,0),且椭圆经过点G(1,32).若T(1,1),椭圆C上四点M,N,P,Q满足MT→=3TQ→,NT→=3TP→,则直线MN的斜率为 .
解析:由题意可知c=1,所以b2=a2-1,椭圆方程为x2a2+y2a2-1=1,将点G(1,32)的坐标代入椭圆方程,得(a2-4)(4a2-1)=0,所以a2=14(舍去)或a2=4,
所以椭圆方程为x24+y23=1.
设M(x1,y1),Q(x2,y2),N(x3,y3),P(x4,y4),T(1,1),因为MT→=3TQ→,所以1-x1=3(x2-1)1-y1=3(y2-1),可得x2=4-x13,y2=4-y13,
又M,Q在椭圆上,
所以x124+y123=1,14·(4-x13) 2+13·(4-y13) 2=1,
作差可得14(2-x1)+13(2-y1)=1.①
又因为NT→=3TP→,
同理可得14(2-x3)+13(2-y3)=1,②
②-①得14(x1-x3)+13(y1-y3)=0,
所以y1-y3x1-x3=-34,
即直线MN的斜率为-34.
答案:-34
[知识链接]
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.
如图所示,设∠F1PF2=θ,
(1)当P为短轴端点时,θ最大,S△F1PF2最大.
(2)S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin θ=b2tan θ2=c|y0|.
(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.
(4)|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=a2.
(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs θ.
(6)若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则离心率e=sin(α+β)sinα+sinβ .
[典例] (1)(多选题)已知P是椭圆x29+y24=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cs∠F1PF2=13,则下列选项正确的是( )
A.△PF1F2的周长为12
B.S△PF1F2=22
C.点P到x轴的距离为2105
D.PF1→·PF2→=2
(2)已知F1 ,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=π3,则椭圆的离心率的取值范围为 .
解析:(1)由椭圆方程知a=3,b=2,所以c=5,所以|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=25,得△PF1F2的周长为6+25,A不正确.
在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1|·|PF2|cs ∠F1PF2,
解得|PF1||PF2|=6,
所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=22,B正确.
设点P到x轴的距离为d,
则S△PF1F2=12|F1F2|d=12×25d=22,
解得d=2105,C正确.
PF1→·PF2→=|PF1→||PF2→|cs∠F1PF2=2,D正确.故选BCD.
(2)如图所示,
当椭圆的焦点三角形的顶角处于短轴的端点位置时,∠F1PF2最大,结合题意可知∠F1P1F2≥π3,因此∠F1P1O≥π6,因此sin∠F1PO=ca≥12,
所以12≤e<1.
答案:(1)BCD (2)[12,1)
[拓展演练]
1.已知P是椭圆x24+y23=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是 ,点P的纵坐标为 .
解析:由椭圆x24+y23=1可知b2=3,
结合∠F1PF2=60°,
则S△F1PF2=b2tan 60°2=3×33=3.
由于S△F1PF2=12F1F2yP=yP=3,
因此yP=±3.
答案:3 ±3
2.点P在焦点为F1(-4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆的标准方程为 .
解析:由题意2c=8,即c=4,
设P(x0,y0),则|y0|≤b,
因此S△F1PF2=12|F1F2||y0|≤b2|F1F2|=bc,
因为△PF1F2面积的最大值为16,所以bc=16,
即4b=16,b=4,所以a2=b2+c2=16+16=32.故椭圆的标准方程为x232+y216=1.
答案:x232+y216=1
[选题明细表]
1.已知椭圆x2m-2+y210-m=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( A )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析:因为椭圆x2m-2+y210-m=1的长轴在x轴上,所以m-2>0,10-m>0,m-2>10-m,解得6解得m=8.
2.设F1,F2是椭圆C:x210+y2=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上,且△PF1F2的面积为 7,则|OP|等于( A )
A.3 B.73 C.83 D.3
解析:由椭圆C的方程可知c=3,由点P在C上,且△PF1F2的面积为 7,不妨设P在第一象限,所以12×6·yP=7,解得yP=73,所以xP=253,
所以|OP|=(253) 2+(73) 2=3.
3.(多选题)(2022·广东广州高三调研)如图所示,一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成的角为θ=45° 的平面所截,截面是一个椭圆,则下列说法正确的是( ACD )
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为 24
C.椭圆的方程可以为x24+y22=1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-2
解析:设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,由题图可得2acs 45°=22,解得a=2,又b=2,c2=a2-b2=4-2=2,解得c=2,所以椭圆的长轴长为4,故A正确;离心率e=ca=22,故B错误;椭圆的方程可以为x24+y22=1,故C正确;
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-2,故D正确.
4.(2022·全国甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1→·BA2→=-1,则C的方程为( B )
A.x218+y216=1 B.x29+y28=1
C.x23+y22=1 D.x22+y2=1
解析:依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),
所以BA1→=(-a,-b),BA2→=(a,-b),BA1→·BA2→=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e=ca=1a=13,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为x29+y28=1.
5.(2022·湖北武汉二模)若椭圆x2a2+y2=1(a>0)的离心率为 22,则a的值为( C )
A.2 B.12
C.2 或 22 D.2 或 12
解析:当a2>1,即a>1时,有a2-1a2=(22)2,
解得a=2;
当a2<1,即0解得a=22.综上,a的值为2或22.
6.(2022·全国甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为( A )
A.32 B.22 C.12 D.13
解析:法一 设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=nm+a·n-m+a=n2a2-m2=14(*).因为点P在椭圆C上,所以m2a2+n2b2=1,得n2=b2a2(a2-m2),代入(*)式,得b2a2=14,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e=ca=32.
法二 设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,
所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-14=e2-1,所以e=32.
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F(-3,0)为其左焦点,过点F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tan∠AOF=32(O为坐标原点),则椭圆C的长轴长等于 .
解析:因为椭圆C的左焦点为F(-3,0),
所以c=3,又AF垂直于x轴,A在椭圆C上,
故可设A(-c,y1),
所以(-c)2a2+y12b2=1,又a2=b2+c2,所以|y1|=b2a,又tan∠AOF=32,
所以b23a=32,a2=b2+3,解得a=23,b=3,从而2a=43.
答案:43
8.(2022·山东烟台高三期末)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程: .
①中心为坐标原点;②焦点在坐标轴上;③离心率为13.
解析:只要椭圆方程形如x29m+y28m=1(m>0)或y29m+x28m=1(m>0)即可.
答案:x29+y28=1(答案不唯一)
9.(2019·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,
P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解:(1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,
|PF1|=3c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,
故C的离心率为e=ca=3-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
当且仅当 12|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,
x2a2+y2b2=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
x2a2+y2b2=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,
又由①知y2=162c2,故b=4;
由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-b2),
所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42.当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.
故b=4,a的取值范围为[42,+∞).
10.若椭圆C:x2m+y29=1(m>9)比椭圆D:x26+y23=1更扁,则C的长轴长的取值范围是( C )
A.(6,62) B.(18,36)
C.(62,+∞) D.(36,+∞)
解析:椭圆C的离心率e1=m-9m,椭圆D的离心率e2=6-36=22,因为椭圆C比椭圆D更扁,所以e1>e2,即m-9m>22,
解得m>18,则2m>62,
所以椭圆C的长轴长的取值范围是(62,+∞).
11.(2022·黑龙江齐齐哈尔三模)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且PF2垂直于x轴,若|F1F2|,|PF2|,
|PF1|成公差为2的等差数列,则椭圆C的方程为( D )
A.x225+y216=1 B.x225+y29=1
C.x281+y29=1 D.x281+y272=1
解析:由题意知,|F1F2|=2c,|PF2|=2c+2,
|PF1|=2c+4,又PF2垂直于x轴,
所以(2c)2+(2c+2)2=(2c+4)2,解得c=3.
又由椭圆定义可得2a=2c+2+2c+4=18,
即a=9,所以b2=a2-c2=81-9=72,
所以椭圆方程为x281+y272=1.
12.(2022·重庆二模)如图,神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆(图中虚线),我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离,最远距离叫远地距离.设地球半径为R,若神舟十二号飞行轨道的近地距离是R30,远地距离是R15,则神舟十二号的飞行轨道的离心率为( D )
A.1063 B.263 C.160 D.163
解析:如图所示,
以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为左焦点建立平面直角坐标系,
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),其中a2=b2+c2,
根据题意有a-c=R+130R=3130R, a+c=R+115R=1615R,
所以2a=6330R, 2c=130R,所以椭圆的离心率e=ca=2c2a=163.
13.(多选题)(2022·山东青岛一模)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别是F1,F2,M(43,y0)为椭圆C上一点,则下列结论正确的是( ABC )
A.△MF1F2的周长为6
B.△MF1F2的面积为153
C.△MF1F2的内切圆的半径为159
D.△MF1F2的外接圆的直径为3211
解析:由椭圆C:x24+y23=1知a=2,b=3,c=1,
由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2,
所以△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=4+2=6,A正确;
将M(43,y0)代入椭圆方程得,(43) 24+y023=1,
解得y0=±153,
所以△MF1F2的面积为S=12|F1F2|·|y0|=153,B正确;
设△MF1F2的内切圆的半径为r,则S=12(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)·r,
即153=12×6·r,所以r=159,C正确;
不妨取M(43,153),则|MF1|=83,|MF2|=43,
所以△MF1F2的面积为S=12|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2,
即153=12×83×43·sin∠F1MF2,所以sin∠F1MF2=31516,
由正弦定理知△MF1F2的外接圆的直径为|F1F2|sin∠F1MF2=231516=321545,D错误.
14.(2022·江西上饶模拟)已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,设线段PF1的中点为M,且|OF2|=|OM|,则△PF1F2的面积为 .
解析:由题意可得a=3,b=5,c=9-5=2.
因为O,M分别是F1F2和F1P的中点,
所以|PF2|=2|OM|=2|OF2|=2c=4,
根据椭圆定义,可得|PF1|=2a-2c=2,
又因为|F1F2|=2c=4,
所以cs∠PF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|·|F1F2|=16+16-42×4×4=78,
所以sin∠PF2F1=1-cs2∠PF2F1=158.
故△PF1F2的面积是12|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1=15.
答案:15
15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴A1A2,短轴B1B2,椭圆上的动点M满足|MF1||MF2|=2,若△MA1A2面积的最大值为82,△MB1B2面积的最小值为2,则该椭圆的离心率为( C )
A.63 B.33 C.22 D.32
解析:由题意知F1(-c,0),F2(c,0),|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,
设M(x,y),则(|MF1||MF2|)2=(x+c)2+y2(x-c)2+y2=4,
整理可得(x-5c3)2+y2=16c29,即点M轨迹是以(5c3,0)为圆心,4c3为半径的圆,
所以|yM|max=4c3,|xM|min=5c3-4c3=c3,
所以(S△MA1A2)max=12·2a·4c3=4ac3=82,(S△MB1B2)min=12·2b·c3=bc3=2,
即ac=62,bc=6,所以ba=bcac=662=22,所以离心率e=1-ba2=1-12=22.焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
性
质
范围
-a≤x≤a,且-b≤y≤b
-b≤x≤b,且-a≤y≤a
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长=2a,短轴长=2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
离心
率
e=ca,且e∈(0,1)
a,b,c
的关系
a2=b2+c2
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质,设P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等关系,或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系,直接转化为含有a,b,c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
知识点、方法
题号
椭圆的定义、标准方程
1,2,11
椭圆的几何性质
4,5,6,7,8,10,12
椭圆的综合问题
3,9,13,14,15