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高考数学第一轮复习复习第5节 离散型随机变量的数字特征（讲义）
展开这是一份高考数学第一轮复习复习第5节 离散型随机变量的数字特征（讲义），共26页。
1.了解离散型随机变量的概念.
2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念.
3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2.离散型随机变量的分布列
(1)分布列的概念及表示
①一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
②与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用表格表示,如表,
还可以用图形表示.
(2)分布列的性质
根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有两个性质:
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
3.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望.
(2)统计意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)=aE(X)+b.
4.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列如表所示,
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的标准差,记为σ(X).
(2)统计意义:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度,方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则D(aX+b)=a2D(X).
1.若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量.
2.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
3.方差与均值的关系:D(X)=E(X2)-(E(X))2.
1.(选择性必修第三册P60T2改编)抛掷两枚骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的试验结果为( D )
A.一枚1点、一枚3点
B.两枚都是4点
C.两枚都是2点
D.一枚1点、一枚3点,或者两枚都是2点
解析:抛掷两枚骰子,所得点数之和记为X,则X=4表示的随机试验结果是一枚是1点,一枚是3点或者两枚都是2点.
2.(2023·广西桂林模拟)随机变量X的分布列如表所示,
则P(|X|=1)等于( C )
A.12B.13C.23D.16
解析:P(|X|=1)=a+c=1-13=23.
3.(选择性必修第三册P66T1改编)已知随机变量X的分布列为
设Y=2X+1,则E(Y)= .
解析:E(X)=-12+16=-13,
E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=-23+1=13.
答案:13
4.篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是:命中得1分,不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9,设其罚球一次的得分为X,则X的方差D(X)= .
解析:由题意知,随机变量X的可能取值为0,1.
因为P(X=1)=0.9,P(X=0)=1-0.9=0.1,
所以E(X)=1×0.9+0×0.1=0.9,
D(X)=(1-0.9)2×0.9+(0-0.9)2×0.1=0.09.
答案:0.09
5.已知离散型随机变量X的取值为有限个,E(X)=72,D(X)=3512,则E(X2)= .
解析:因为E(X)=72,D(X)=3512,
由D(X)=E(X2)-(E(X))2,
得E(X2)=D(X)+(E(X))2=3512+722=916.
答案:916
离散型随机变量的分布列性质及简单应用
1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
则常数a的值为( A )
A.13B.23
C.13或23D.-13或-23
解析:由分布列的性质可知0≤9a2-a≤1,0≤3-8a≤1,9a2-a+3-8a=1,
解得a=13.
2.已知m,n∈(0,1),离散型随机变量X的分布列如表所示,
若P(X≤12) =13,则E(X)等于( C )
A.34B.512C.1112D.95
解析:由所给表格及离散型随机变量的分布列的意义知3m>12,否则P(X≤12)=m+512,
与已知P(X≤12)=13矛盾,
从而P(X=0)=P(X≤12)=13,解得m=13,
又m+512+n=1,解得n=14,
所以E(X)=0·m+3m·512+2·n=3×13×512+2×14=1112.
3.已知随机变量X的分布列如下表,D(X)表示X的方差,则D(2X+1)= .
解析:由分布列知a+(1-2a)+14=1,解得a=14,于是E(X)=0·a+1·(1-2a)+2×14=1,D(X)=a·(0-1)2+(1-2a)(1-1)2+14×(2-1)2=12,所以D(2X+1)=4D(X)=4×12=2.
答案:2
4.(2022·重庆高三月考)已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,…,10),则实数a= ,P(2
解得a=1110,
所以P(2
应用离散型随机变量的分布列性质解题的方法
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
(2)利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)利用分布列结合均值与方差计算公式可直接求随机变量的均值与方差.
离散型随机变量的分布列及数字特征
[例1] (2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与数学期望.
解:(1)设甲学校获得冠军的事件为A,则甲学校必须获胜2场或者3场.
P(A)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.6.
故甲学校获得冠军的概率为0.6.
(2)X的取值可以为0,10,20,30.
P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.44,
P(X=20)=(1-0.5)×(1-0.4)×0.8+0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34,
P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.
所以X的分布列为
所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
求离散型随机变量X的分布列及数字特征的方法
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求E(X).
(5)由方差的定义求D(X).
(6)涉及形如Y=aX+b(a,b为非零常数)的期望、方差时,注意应用性质求解.
[针对训练] 某单位为了公平发放一批消费券,组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券的活动,抽奖规则是:从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球,若恰有1个红球可获得20元优惠券,2个都是红球可获得50元优惠券,其他情况无优惠券,则在一次抽奖中:
(1)求摸出2个红球的概率;
(2)设获得优惠券金额为X,求X的方差.
解:(1)记事件A为摸出2个红球,
则P(A)=C32C52=310.
(2)由题意可得X的可能取值为0,20,50,
则P(X=0)=C22C52=110,P(X=20)=C21C31C52=610,
P(X=50)=C32C52=310,
所以X的分布列为
所以E(X)=0×110+20×610+50×310=27,
D(X)=(0-27)2×110+(20-27)2×610+(50-27)2×310=261.
均值与方差在决策中的应用
[例2] 有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如表所示.
(1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数为η,求η的分布列;
(2)若小红和小芳分别被甲、乙两家公司录用,求小红月薪高于小芳月薪的概率;
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司?说明理由.
解:(1)随机变量η的可能取值有0,1,2.
P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=0.2×0.2=0.04,
所以随机变量η的分布列为
(2)小红月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49.
(3)入职甲公司,月薪的期望为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6,
方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1.
入职乙公司,月薪的期望为E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6,
方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4.
乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,
即E(X)=E(Y),D(X)
利用均值、方差进行决策的方法
(1)当均值不同时,直接在均值意义下根据两个随机变量取值的水平,对问题作出判断.
(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度.
[针对训练] (2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解:(1)由题意得,X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
(2)当小明先回答A类问题时,由(1)可得E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
当小明先回答B类问题时,记Y为小明的累计得分,
则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.
因为57.6>54.4,即E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.
[例1] (2022·浙江金华高三联考)随机变量X的分布列如表所示,
其中1
D.若b=13,则当a=5时,D(X)有最大值
解析:若a=5,则E(X)=1×b+5×(1-2b)+9b=5为定值,故A,B均错误;
若b=13,则E(X)=1×13+a·13+9×13=a+103,D(X)=13×(1-a+103) 2+13×(a-a+103) 2+13×(9-a+103) 2=127(6a2-60a+438),其图象开口向上,对称轴为直线a=6012=5,则a=5时,D(X)有最小值,即C正确,D错误.故选C.
[例2] 如图所示,质点M在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字.质点M从A点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点M前进一步(如由A到B);当正方体上底面出现的数字是2,质点M前进两步(如由A到C),当正方体上底面出现的数字是3,质点M前进三步(如由A到D).在质点M转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止.
(1)求质点M恰好返回到A点的概率;
(2)在质点M转一圈恰能返回到A点的所有结果中,用随机变量X表示点M恰能返回到A点的投掷次数,求X的数学期望.
解:(1)投掷一次正方体玩具,每个数字在上底面出现都是等可能的,其概率为P1=26=13.
只投掷一次质点M不可能返回到A点;若投掷两次质点M恰好能返回到A点,则上底面出现的两个数字应依次为(1,3),(3,1),(2,2),共3种结果,其概率为P2=(13) 2×3=13;若投掷三次质点M恰能返回到A点,则上底面出现的三个数字应依次为(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),共3种结果,其概率为P3=(13) 3×3=19;若投掷四次质点M恰能返回到A点,则上底面出现的四个数字应依次为(1,1,1,1),其概率为P4=(13) 4=181.所以质点M恰好返回到A点的概率为P=P2+P3+P4=13+19+181=3781.
(2)由(1)知,质点M转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况,且X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=37,P(X=3)=37,P(X=4)=17,所以E(X)=2×37+3×37+4×17=197.
[例3] 已知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析,X1和X2的分布列分别为
表1
表2
(1)若在甲、乙两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资甲、乙两项目所获得的利润,求Y1和Y2的数学期望和方差,并由此分析投资甲、乙两项目的利弊;
(2)若在甲、乙两个项目总共投资100万元,求在甲、乙两个项目上分别投资多少万元时,可使所获利润的方差和最小?注:利润率=利润投资额.
解:(1)由题意得E(X1)=0.3×0.2+0.18×0.5+0.1×0.3=0.18,
D(X1)=(0.3-0.18)2×0.2+(0.18-0.18)2×0.5+(0.1-0.18)2×0.3=0.004 8,
E(X2)=0.25×0.2+0.15×0.8=0.17,
D(X2)=(0.25-0.17)2×0.2+(0.15-0.17)2×0.8=0.001 6,
又Y1=100X1,Y2=100X2,所以E(Y1)=100×0.18=18,D(Y1)=1002×0.004 8=48.
E(Y2)=100×0.17=17,D(Y2)=1002×0.001 6=16.
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元,但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大,方差也大,相对不稳定,而投资乙的平均利润小,方差也小,相对稳定.若长期投资可选择投资甲,若短期投资可选投资乙.
(2)设x万元投资甲,则(100-x)万元投资了乙,则投资甲的利润Z1=xX1,投资乙的利润Z2=(100-x)X2.
设f(x)为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和,则f(x)=D(Z1)+D(Z2)=x2D(X1)+(100-x)2D(X2)=0.004 8x2+0.001 6(100-x)2=0.001 6(4x2-200x+10 000).
当x=--2002×4=25时,f(x)的值最小.
故此时甲项目投资25万元,乙项目投资75万元,可使所获利润的方差和最小.
[选题明细表]
1.已知离散型随机变量X的分布列为
则P(X∈Z)等于( A )
A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6
解析:由分布列的性质得0.5+1-2q+13q=1,
解得q=0.3,
所以P(X∈Z)=P(X=0)+P(X=1)=0.5+1-2×0.3=0.9.
2.(2022·陕西宝鸡二模)已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望E(Y)=73,X的分布列为:
则a,b的值分别为( C )
A.a=16,b=13 B.a=14,b=14
C.a=13,b=16 D.a=38,b=18
解析:因为E(Y)=2E(X)+3=73,所以E(X)=-13,则有
-1×12+0·a+1·b=-13,12+a+b=1,
解得a=13,b=16.
3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是( B )
A.12 B.32 C.34 D.23
解析:X的可能值是0,1,2,同时抛掷两枚质地均匀的硬币向上的面的情形有:正正,正反,反正,反反,其中有3种说明试验成功.因此一次试验成功的概率P=34,P(X=0)=(1-34) 2=116,
P(X=1)=2×14×34=38,
P(X=2)=( 34) 2=916,
所以E(X)=1×38+2×916=32.
4.设随机变量X的分布列为P(X=k)=ak+1(k=1,2,5),a∈R,E(X),D(X)分别为随机变量X的数学期望与方差,则下列结论正确的是( C )
A.P(0
解析:因为随机变量X的分布列为P(X=k)=ak+1(k=1,2,5),由分布列的性质可知,
P(X=1)+P(X=2)+P(X=5)=a2+a3+a6=1,解得a=1.P(0
16×(5-2)2=2,故C正确;因为D(X)=2,所以D(3X+1)=9D(X)=18,故D不正确.
5.(多选题)设0
A.E(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
解析:由分布列得E(X)=0×13+a·13+1×13=13a+13,所以当a在(0,1)内增大时,E(X)增大,故选项A正确.D(X)=0-(13a+13)2×13+a-(13a+13)2×13+1-(13a+13)2×13=29(a2-a+1)=29(a-12) 2+34,当0
解析:由题意可得,设这台机器每生产一件产品可获利X,则X可能取的数值为50,30,-20,所以X的概率分布为P(X=50)=0.6,P(X=30)=
0.3,P(X=-20)=0.1,所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利50×0.6+30×0.3-20×0.1=37(元).
答案:37
7.某日A,B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同,已知A市或B市至少有一个城市受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)= .
解析:设A,B两市受台风袭击的概率均为p,则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去),则P(X=0)=
1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2×0.2=0.04,所以E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.
答案:0.4
8.已知随机变量X的分布列如表所示,
则a+b的取值范围是 ,D(X)取最大值时a的值为 .
解析:依题意(b-a)+b+a=1,解得b=12,
又0≤a≤1,0≤12-a≤1,所以0≤a≤12,
所以12≤a+b≤1.
E(X)=b+2a=12+2a,D(X)=E(X2)-(E(X))2=12+4a-(12+2a) 2=-4(a-14) 2+12,所以当a=14时,D(X)取得最大值12.
答案:[ 12,1] 14
9.(2023·北京模拟)某商家为了促销,规定每个消费者均可免费参加一次抽奖活动,活动规则如下:在一不透明纸箱中有8张相同的卡片,其中4张卡片上印有“幸”字,另外4张卡片上印有“运”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片,若抽到的4张卡片上都印有同一个字,则获得一张10元代金券;若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字,则获得一张5元代金券;若抽到的4张卡片是其他情况,则不获得任何奖励.
(1)求某个消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率;
(2)记随机变量X为某个消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数,求X的分布列、数学期望E(X);
(3)该商家规定,消费者若想再次参加该项抽奖活动,则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者,是否愿意再次参加该项抽奖活动?请说明
理由.
解:(1)记“某个消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有′幸′字”为事件A,
则P(A)=1C84=170,所以某个消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为170.
(2)依题意随机变量X的所有可能取值为0,5,10,则P(X=0)=C42C42C84=1835,
P(X=5)=C43C41+C43C41C84=1635,P(X=10)=C44C40+C40C44C84=135,
所以X的分布列为
所以E(X)=10×135+5×1635+0×1835=187.
(3)记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益,则Y=X-3,所以E(Y)=E(X-3)=E(X)-3=187-3=-37<0,所以我不愿意再次参加该项抽奖
活动.
10.(2022·河南郑州二模)甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则( D )
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
解析:由题意得X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=C3133=19,P(X=2)=C32A3233=23,
P(X=3)=A3333=29,所以E(X)=1×19+2×23+3×29=199,D(X)=(1-199)2×19+
(2-199)2×23+(3-199)2×29=2681,Y=3-X,所以E(Y)=3-E(X)=3-199=89,
D(Y)=D(X)=2681,
所以E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).
11.(多选题)已知A=B={1,2,3},分别从集合A,B中随机取一个数a,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=Pn,X的数学期望和方差分别为E(X),
D(X),则( BCD )
A.P4=2P2 B.P(3≤X≤5)=79
C.E(X)=4 D.D(X)=43
解析:因为A=B={1,2,3},点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上,所以X的值可以为2,3,4,5,6,而从A,B中分别任取1个数,共有9种情况,
所以P(X=2)=19,P(X=3)=29,P(X=4)=39=13,P(X=5)=29,P(X=6)=19,
对于A,P4=3P2,故A不正确;
对于B,P(3≤X≤5)=29+13+29=79,故B正确;
对于C,E(X)=2×19+3×29+4×13+5×29+6×19=369=4,故C正确;
对于D,D(X)=(2-4)2×19+(3-4)2×29+(4-4)2×13+(5-4)2×29+(6-4)2×19=43,故D正确.
12.某实验测试的规则如下:每名学生最多可做3次实验,一旦实验成功,则停止实验,否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为p(0
解析:由题意得X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=1-p-(1-p)p=(1-p)2,
所以E(X)=1·p+2×(1-p)p+3×(1-p)2=p2-3p+3,
令E(X)=p2-3p+3>1.39,解得p<0.7或p>2.3,又因为0
13.(2022·山西运城高三二模)家用自来水水龙头由于使用频繁,很容易损坏.受水龙头在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关.某阀门厂生产尺寸都为4分(指的是英制尺寸)的甲(不锈钢阀芯)、乙(黄铜阀芯)两种家用水龙头,保修期均为1年(4个季度).现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件,统计数据如表所示,
将频率视为概率,解答下列问题:
(1)从该厂生产的甲、乙两种水龙头中各随机抽取一件,求恰有一件首次出现损坏发生在保修期内的概率;
(2)由于资金限制,只能生产其中一种水龙头.若从水龙头的利润的均值考虑,你认为应选择生产哪种水龙头比较合理?
解:(1)设“甲种水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件A,则P(A)=20200=110;
设“乙种水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件B,则P(B)=
8+16200=325.
设“恰有一件首次出现损坏发生在保修期内”为事件C,则P(C)=
P(A)P(B)+P(A)P(B)=910×325+110×2225=49250.
(2)记生产1件甲种水龙头的利润为X1元,生产1件乙种水龙头的利润为X2元,则X1的分布列为
则E(X1)=3.6×110+5.8×910=5.58.
X2的分布列为
则E(X2)=2×125+4×225+6×2225=5.68.
因为E(X1)
14.(2022·广东深圳二模)2022年北京冬奥会后,由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队,与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下:业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛,若甲连续赢两场则专业队获胜;若甲连续输两场则业余队获胜;若比赛三场还没有决出胜负,则视为平局,比赛结束.已知各场比赛相互独立,每场比赛都分出胜负,且甲与乙比赛,乙赢的概率为13;甲与丙比赛,丙赢的概率为p,其中13
(2)为了激励专业队和业余队,赛事组织规定:比赛结束时,胜队获奖金3万元,负队获奖金1.5万元;若平局,两队各获奖金1.8万元.在比赛前,已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛,设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元,求X的数学期望E(X)的取值范围.
解:(1)第一场比赛,业余队安排乙与甲进行比赛,业余队获胜的概率P1=13·p+23·p×13=59p;第一场比赛,业余队安排丙与甲进行比赛,业余队获胜的概率P2=13·p+(1-p)×13·p=-13p2+23p,因为13
所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
(2)由题意,得X=4.5万元或X=3.6万元.
由(1)知,业余队最优决策是第一场安排乙与甲进行比赛.此时,业余队获胜的概率P1=59p,
专业队获胜的概率P3=23×(1-p)+13×(1-p)×23=89-89p,
所以非平局的概率为P(X=4.5)=P1+P3=89-13p,
平局的概率为P(X=3.6)=1-P1-P3=19+13p.
所以X的分布列为
数学期望为E(X)=4.5×(89-13p)+3.6×(19+13p)=4.4-0.3p.
因为13
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
-1
0
1
P
a
13
c
X
-1
0
1
P
12
13
16
X
0
1
P
9a2-a
3-8a
X
0
3m
2
P
m
512
n
X
0
1
2
P
a
1-2a
14
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
20
50
P
110
610
310
甲公司
乙公司
职位
A
B
C
D
职位
A
B
C
D
月薪/
千元
5
6
7
8
月薪/
千元
4
6
8
10
获得相
应职位
的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
获得相
应职位
的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
η
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
X
1
a
9
P
b
1-2b
b
X1
0.3
0.18
0.1
P
0.2
0.5
0.3
X2
0.25
0.15
P
0.2
0.8
知识点、方法
题号
分布列性质、数字特征及性质
1,2,4
离散型随机变量的期望与方差
3,5,6,7,10,11
综合应用
8,9,12,13,14
X
0
1
2
P
0.5
1-2q
13q
X
-1
0
1
P
12
a
b
X
0
a
1
P
13
13
13
X
0
1
2
P
b-a
b
a
X
0
5
10
P
1835
1635
135
种类
甲
乙
首次出
现损坏
时间x/
季度
0
0
水龙
头数
量/件
20
180
8
16
176
每件的
利润/元
3.6
5.8
2
4
6
X1
3.6
5.8
P
110
910
X2
2
4
6
P
125
225
2225
X
4.5
3.6
P
89-13p
19+13p
