高考数学第一轮复习复习第5节　空间向量及空间位置关系（讲义）

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1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念
(2)空间向量中的有关结论
①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
2.空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积
①a·b=|a||b|cs;
②a⊥b⇔a·b=0;
③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=x2+y2+z2.
(2)空间向量的坐标运算
3.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
1.空间向量基本定理的三点注意
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.
(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
(1)PA→=λPB→(λ∈R).
(2)对空间任一点O,OP→=OA→+tAB→(t∈R).
(3)对空间任一点O,OP→=xOA→+yOB→(x+y=1).
3.证明空间四点共面的方法
对空间四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点共面:
(1)MP→=xMA→+yMB→(x,y∈R).
(2)对空间任一点O,OP→=OM→+xMA→+yMB→(x,y∈R).
1.(选择性必修第一册P12练习T1改编)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成空间的基底的一组向量是( C )
A.{a,a+b,a-b}
B.{b,a+b,a-b}
C.{c,a+b,a-b}
D.{a+b,a-b,a+2b}
解析:对于A,因为(a+b)+(a-b)=2a,
所以a,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除A;
对于B,因为(a+b)-(a-b)=2b,
所以b,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除B;
对于D,a+2b=32(a+b)-12(a-b),
所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基底,排除D;
对于C,若c,a+b,a-b共面,
则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间的一个基底相矛盾,故c,a+b,a-b可以构成空间的一个基底.
2.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且OA→=a,OB→=b,OC→=c,用a,b,c表示MN→,则MN→等于( D )
A.12(b+c-a)B.12(a+b+c)
C.12(a-b+c)D.12(c-a-b)
解析:因为点M为AB的中点,
所以OM→=12(OA→+OB→)=12a+12b,
因为点N为OC的中点,
所以ON→=12OC→=12c,
所以MN→=ON→-OM→=12c-12a-12b=12(c-a-b).
3.已知向量a=(0,-1,1)与b=(0,k-2,k2)共线,则实数k等于( D )
A.0B.1
C.-1或2D.-2或1
解析:因为向量a=(0,-1,1)与b=(0,k-2,k2)共线,所以k-2-1=k21,解得k=1或-2.
4.(多选题)已知向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),则以下说法正确的是( ABD )
A.a⊥bB.|a|>|b|
C.cs=33D.|a+b|=|a-b|
解析:向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),
a·b=-1+2-1=0,所以a⊥b,故A正确;
|a|=1+4+1=6,|b|=1+1+1=3,
所以|a|>|b|,故B正确;
a+b=(0,3,0),所以cs=(a+b)·a|a+b||a|=636=63,故C错误;由A得a·b=0,
所以|a+b|=|a-b|,故D正确.
5.已知A,B,C三点不共线,点O为平面ABC外任意一点,若点M满足OM→=15OA→+45OB→+25BC→,则点M 平面ABC.(填“∈”或“∉”)
解析:因为OM→=15OA→+45OB→+25BC→
=15OA→+45OB→+25(OC→-OB→)
=15OA→+25OB→+25OC→,
因为15+25+25=1,
所以M,A,B,C四点共面.即点M∈平面ABC.
答案:∈
空间向量的线性运算
[例1] 如图所示,在平行六面体ABCD-1B1C1D1中,设AA→1=a,AB→=b,AD→=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1)AP→;(2)A1N→;(3)MP→+NC1→.
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以AP→=AA1→+A1P→=AA1→+A1D1→+D1P→
=AA1→+AD→+12DC→=a+c+12b.
(2)因为N是BC的中点,
所以A1N→=A1A→+AB→+BN→=-a+b+12BC→
=-a+b+12AD→=-a+b+12c.
(3)因为M是AA1的中点,N是BC的中点,
所以MP→=MA→+AP→=12A1A→+AP→
=-12a+(a+c+12b)=12a+12b+c.
NC1→=NC→+CC1→=12BC→+AA1→
=12AD→+AA1→=12c+a.
所以MP→+NC1→=(12a+12b+c)+(12c+a)
=32a+12b+32c.
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
[针对训练]
1.在四面体D-ABC中,点G是△ABC的重心,设DA→=a,DB→=b,DC→=c,则 DG→等于( )
A.13a+23b+23cB.13a+13b+13c
C.23a+23b+23cD.23a+23b+13c
解析:如图,因为G为△ABC的重心,
所以DG→=DA→+AG→=DA→+13(AC→+AB→)=DA→+13(DC→-DA→+DB→-DA→)=13a+13b+13c.故选B.
2.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且NM→=xAB→+yAD→+zAP→(x,y,z∈R),PM→=2MC→,PN→=ND→,则x+y+z的值为( )
A.-23B.23
C.1D.56
解析:由题可知PC→=AB→+BC→-AP→=AB→+AD→-AP→,DP→=AP→-AD→,
所以NM→=NP→+PM→
=12DP→+23PC→
=12(AP→-AD→)+23(AB→+AD→-AP→)
=-16AP→+23AB→+16AD→,
所以x=23,y=16,z=-16,
所以x+y+z=23.故选B.
共线向量、共面向量的应用
[例2] (1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1E→=23A1D1→,A1F→=23FC→.试运用向量方法证明:E,F,B三点共线;
(2)如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且|BE|=13|BB1|,|DF|=23|DD1|.求证:A,E,C1,F四点共面.
证明:(1)法一 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,连接EF,FB,A1B.
因为A1E→=23A1D1→,
A1F→=23FC→,
所以EF→=A1F→-A1E→=25A1C→-23A1D1→
=25(A1B1→+A1D1→+A1A→)-23A1D1→
=25A1B1→+25A1A→-415A1D1→,
FB→=A1B→-A1F→=A1B1→+A1A→-25A1C→
=A1B1→+A1A→-25(A1B1→+A1D1→+A1A→)
=35A1B1→+35A1A→-25A1D1→,
显然,EF→=23FB→,所以EF→∥FB→,
又EF∩FB=F,所以E,F,B三点共线.
法二 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
连接EF,FB.由题意,A1E→=23A1D1→,
A1F→=23FC→,
易得EF→=A1F→-A1E→=23(FC→-A1D1→)=23(FC→-BC→)=23(FC→+CB→)=23FB→,所以EF→∥FB→.
又EF∩FB=F,故E,F,B三点共线.
(2)因为AC1→=AB→+AD→+AA1→=AB→+AD→+13AA1→+23AA1→=(AB→+13AA1→)+(AD→+23AA1→)=(AB→+BE→)+(AD→+DF→)=AE→+AF→.
所以A,E,C1,F四点共面.
(1)利用共线向量定理可以证明直线的平行与三点共线问题.
(2)利用共面向量定理可以判定空间四点是否共面以及证明线面平行问题.
[针对训练]
1.已知空间四个点A(-3,x,3),B(-2,-1,4),C(0,3,0),D(1,1,1)在同一个平面内,则实数x等于( )
A.1B.-2C.0D.-1
解析:AB→=(1,-1-x,1),BC→=(2,4,-4),CD→=(1,-2,1),
设CD→=aAB→+bBC→,a,b∈R,
所以(1,-2,1)=(a,-a-ax,a)+(2b,4b,-4b)=(a+2b,4b-a-ax,a-4b),
所以a+2b=1,4b-a-ax=-2,a-4b=1,
解得a=1,b=0,x=1.故选A.
2.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)(m,n∈R)三点共线,则m+n= .
解析:AB→=(3,-1,1),AC→=(m+1,n-2,-2).
因为A,B,C三点共线,
所以存在实数λ,使得AC→=λAB→,
即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),
所以m+1=3λ,n-2=-λ,-2=λ,
解得λ=-2,m=-7,n=4.
所以m+n=-3.
答案:-3
3.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM→=kAC1→,BN→=kBC→(0≤k≤1).
(1)向量MN→是否与向量AB→,AA1→共面?
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?
解:(1)因为AM→=kAC1→,BN→=kBC→,
所以MN→=MA→+AB→+BN→
=kC1A→+AB→+kBC→
=k(C1A→+BC→)+AB→
=k(C1A→+B1C1→)+AB→
=kB1A→+AB→=AB→-kAB1→
=AB→-k(AA1→+AB→)
=(1-k)AB→-kAA1→,
所以由向量共面的充要条件知向量MN→与向量AB→,AA1→共面.
(2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,
MN在平面ABB1A1内,
当0又由(1)知MN→与AB→,AA1→共面,
所以MN∥平面ABB1A1.
综上,当k=0时,直线MN在平面ABB1A1内;
当0 空间向量的数量积及其应用
[例3] 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求向量AN→与MC→的夹角的余弦值.
(1)证明:设AB→=p,AC→=q,AD→=r.
由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三个向量两两夹角均为60°.
MN→=AN→-AM→
=12(AC→+AD→)-12AB→
=12(q+r-p),
所以MN→·AB→=12(q+r-p)·p
=12(q·p+r·p-p2)
=12(a2cs 60°+a2cs 60°-a2)
=0.
所以MN→⊥AB→,即MN⊥AB.
同理可证MN⊥CD.
(2)解:设向量AN→与MC→的夹角为θ.
因为AN→=12(AC→+AD→)=12(q+r),
MC→=AC→-AM→=q-12p,
所以AN→·MC→=12(q+r)·(q-12p)
=12(q2-12q·p+r·q-12r·p)
=12(a2-12a2cs 60°+a2cs 60°-12a2cs 60°)
=12(a2-a24+a22-a24)
=a22.
又因为|AN→|=|MC→|=32a,
所以AN→·MC→=|AN→||MC→|cs θ
=32a·32a·cs θ=a22,
所以cs θ=23,
所以向量AN→与MC→的夹角的余弦值为23.
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.
(2)利用夹角公式,可以求空间角.
(3)可以通过|a|=a2,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
[针对训练] 如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长;
(2)求证:AC1⊥BD.
(1)解:记AB→=a,AD→=b,AA1→=c,
则|a|=|b|=|c|=1,且任意两个向量之间的夹角为60°,
所以a·b=b·c=c·a=1×1×cs 60°=12.
|AC1→|2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×(12+12+12)=6,
所以|AC1→|=6,
即AC1的长为 6.
(2)证明:因为AC1→=a+b+c,BD→=b-a,
所以AC1→·BD→=(a+b+c)·(b-a)
=a·b+|b|2+b·c-|a|2-a·b-a·c=0.
所以AC1→⊥BD→,所以AC1⊥BD.
平面的法向量、直线的方向向量及其应用
1.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( D )
A.(33,33,-33)
B.(33,-33,33)
C.(-33,33,33)
D.(-33,-33,-33)
解析:AB→=(-1,1,0),AC→=(-1,0,1),
设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
所以-x+y=0,-x+z=0.
令x=1,则y=1,z=1,
所以n=(1,1,1).
单位法向量为±n|n|=±(33,33,33).
2.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( C )
A.α∥βB.α⊥β
C.α,β相交但不垂直D.以上均不正确
解析:因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0,所以n1与n2不垂直,又n1,n2不共线,所以α与β相交但不垂直.
3.已知AB→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BC→,BP→=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( B )
A.337,-157,4B.407,-157,4
C.407,-2,4D.4,407,-15
解析:因为AB→⊥BC→,
所以AB→·BC→=0,
即3+5-2z=0,得z=4,
又BP⊥平面ABC,
所以BP⊥AB,BP⊥BC,
又因为BC→=(3,1,4),
所以(x-1)+5y+6=0,3(x-1)+y-12=0,
解得x=407,y=-157.
即x=407,y=-157,z=4.
(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则AB→及与AB→平行的非零向量均为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组n·a=0,n·b=0,求出平面α的一个法向量n.
利用向量证明平行、垂直问题
[例4] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:
(1)BE⊥DC;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明:依题意,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),A(0,0,0).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
(1)BE→=(0,1,1),DC→=(2,0,0),故BE→·DC→=0,所以BE⊥DC.
(2)因为AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,
AB⊂平面ABCD,
所以AB⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,
所以AB⊥平面PAD,
所以AB→=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,
而BE→·AB→=(0,1,1)·(1,0,0)=0,
所以BE⊥AB,
又BE⊄平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知平面PAD的一个法向量为AB→=(1,0,0),
PD→=(0,2,-2),DC→=(2,0,0),
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则n·PD→=0,n·DC→=0,即2y-2z=0,2x=0,
令y=1,可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量,且n·AB→=(0,1,1)·(1,0,0)=0,
所以n⊥AB→.所以平面PCD⊥平面PAD.
(1)利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
[针对训练] 如图所示,已知四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法证明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
证明:(1)取BC的中点O,连接PO,
因为△PBC为等边三角形,
所以PO⊥BC.
因为平面PBC⊥底面ABCD,
平面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,
所以PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设CD=1,
则AB=BC=2,PO=3,
所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),
P(0,0,3),
所以BD→=(-2,-1,0),PA→=(1,-2,-3).
因为BD→·PA→=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0,
所以PA→⊥BD→,
所以PA⊥BD.
(2)取PA的中点M,连接DM,
则M(12,-1,32).
因为DM→=(32,0,32),PB→=(1,0,-3),
所以DM→·PB→=32×1+0×0+32×(-3)=0,
所以DM→⊥PB→,即DM⊥PB.
因为DM→·PA→=32×1+0×(-2)+32×(-3)=0,
所以DM→⊥PA→,
即DM⊥PA.
又因为PA∩PB=P,PA⊂平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以DM⊥平面PAB.
因为DM⊂平面PAD,
所以平面PAD⊥平面PAB.
[例1] 若点A(-1,1,2),B(0,3,0),C(1,0,-1),点D在z轴上,且AD→⊥BC→,则|AD→|等于( )
A.2B.22C.32D.6
解析:由点D在z轴上,设D(0,0,m),m∈R,
故AD→=(1,-1,m-2),
而BC→=(1,-3,-1),
因为AD→⊥BC→,
所以AD→·BC→=1+3-(m-2)=0,
解得m=6,
故|AD→|=1+1+16=32.故选C.
[例2] 如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,AF→=13AD→,AG→=2GA1→,AC1与平面EFG交于点M,则AMAC1= .
解析:由题图知,设AM→=λAC1→(0<λ<1),
由已知AC1→=AB→+AD→+AA1→=2AE→+3AF→+32AG→,所以AM→=2λAE→+3λAF→+3λ2AG→,
因为M,E,F,G四点共面,所以2λ+3λ+3λ2=1,
解得λ=213.故AMAC1=213.
答案:213
[选题明细表]
1.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1,B1D1的交点.若AB→=a,
AD→=b,AA1→=c,则向量BM→等于( A )
A.-12a+12b+cB.12a+12b+c
C.-12a-12b+cD.12a-12b+c
解析:由题意,向量BM→=BB1→+12B1D1→=BB1→+12(BA→+AD→)=-12a+12b+c.
2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,43,m),若a∥b,则实数m的值为( D )
A.6 B.83 C.32 D.-23
解析:设a=λb(λ∈R),则3=-2λ,-2=43λ,1=λm,
解得λ=-32,m=-23.
3.如果向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,2),c=(1,-1,m)共面,则实数m的值是( B )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
解析:设a=xb+yc(x,y∈R),
则(2,-1,3)=(-x+y,4x-y,2x+my),
所以-x+y=2,4x-y=-1,2x+my=3,解得x=13,y=73,m=1.
4.已知O(0,0,0),A(3,-2,4),B(0,5,-1),若OC→=23AB→,则点C的坐标是( B )
A.(2,-143,103) B.(-2,143,-103)
C.(2,-143,-103)D.(-2,-143,103)
解析:因为AB→=(-3,7,-5),所以OC→=23AB→=23(-3,7,-5)=(-2,143,-103),
所以点C的坐标是(-2,143,-103).
5.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是( CD )
A.AB→与AC→是共线向量
B.与AB→共线的单位向量是(1,1,0)
C.AB→与BC→夹角的余弦值是-5511
D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
解析:AB→=(2,1,0),AC→=(-1,2,1),不存在实数λ,使得AB→=λAC→,
所以AB→与AC→不是共线向量,所以A错误;因为AB→=(2,1,0),所以与AB→共线的单位向量为(255,55,0)或(-255,-55,0),所以B错误;向量AB→=(2,1,0),BC→=(-3,1,1),所以cs=AB→·BC→|AB→||BC→|=-5511,所以C正确;设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),
因为AB→=(2,1,0),AC→=(-1,2,1),
所以n·AB→=0,n·AC→=0,即2x+y=0,-x+2y+z=0.
令x=1,则n=(1,-2,5),所以D正确.
6.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,
但四点共面,且PA→=23PB→-xPC→+16BD→,则实数x的值为 .
解析:PA→=23PB→-xPC→+16BD→=23PB→-xPC→+16(PD→-PB→)=12PB→-xPC→+16PD→.
由题意得12-x+16=1,所以x=-13.
答案:-13
7.在正三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,
C1N→=λNC→,且AB1⊥MN,则实数λ的值为 .
解析:如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,以M为坐标原点,MC→,MA→,
MP→的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.因为底面边长为1,侧棱长为2,
所以A(0,32,0),B1(-12,0,2),C(12,0,0),C1(12,0,2),M(0,0,0),
设N(12,0,t)(t∈R),
因为C1N→=λNC→,所以N(12,0,21+λ),λ≠-1,
所以AB1→=(-12,-32,2),MN→=(12,0,21+λ).
又因为AB1⊥MN,
所以AB1→·MN→=0,所以-14+41+λ=0,
所以λ=15.
答案:15
8.已知平面α={P|n·P0P→=0},其中点P0是平面α内的一定点,n是平面α的一个法向量,若P0的坐标为(2,3,4),n=(1,1,1),写出一个平面α内点(不同于点P0)的坐标 .
解析:设平面α内不同于点P0的点的坐标为P(x,y,z),
则P0P→=(x-2,y-3,z-4),
所以n·P0P→=x-2+y-3+z-4=x+y+z-9=0,
所以x+y+z=9,故可以取点P为(1,3,5)或(4,3,2)或(-2,3,8)等,答案不唯一.
答案:(1,3,5)(答案不唯一)
9.(2022·江苏南京模拟)已知a=(2,-1,3),b=(1,2,2).
(1)求(a+b)·(2a-b)的值;
(2)当(ka-b)⊥(a+kb)时,求实数k的值.
解:(1)因为a=(2,-1,3),b=(1,2,2),
故a+b=(3,1,5),2a-b=(4,-2,6)-(1,2,2)=(3,-4,4),
故(a+b)·(2a-b)=3×3-1×4+5×4=25.
(2)a2=22+(-1)2+32=4+1+9=14,
b2=12+22+22=9,
a·b=2×1-1×2+3×2=6,
因为(ka-b)⊥(a+kb),
所以(ka-b)·(a+kb)=0,
即ka2+(k2-1)a·b-kb2=0,
故14k+6(k2-1)-9k=0,
即(2k+3)(3k-2)=0,
故k=-32或k=23.
10.(多选题)给出下列命题,其中为假命题的是( AD )
A.已知n为平面α的一个法向量,m为直线l的一个方向向量,若n⊥m,
则l∥α
B.已知n为平面α的一个法向量,m为直线l的一个方向向量,
若=2π3,则l与α所成的角为π6
C.若两个不同的平面α,β的法向量分别为u,v,且u=(1,2,-2),
v=(-2,-4,4),则α∥β
D.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc
解析:对于A,由题意可得l∥α或l⊂α,故A错误;对于B,由图象可得,
∠CAD=2π3,则∠DAB=π3,所以∠ADB=π6,根据线面角的定义可得,l与α
所成的角为π6,故B正确;对于C,因为u=-12v=-12(-2,-4,4)=(1,2,-2),所以u∥v,故α∥β,故C正确;
对于D,当空间的三个向量a,b,c不共面时,对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc,故D错误.
11.如图,在四棱台ABCDA′B′C′D′中,AA′=3,∠BAD=∠BAA′=
∠DAA′=60°,则|AC'→-(xAB→+yAD→)|(x,y∈R)的最小值为 .
解析:由平面向量基本定理有AM→=xAB→+yAD→(x,y∈R),则点M为平面ABCD内任一点,|AC'→-(xAB→+yAD→)|=|AC'→-AM→|=|MC'→|,当MC′⊥平面ABCD时,|MC'→|取得最小值,即为四棱台ABCDA′B′C′D′的高,过A′作A′H⊥平面ABCD,作HN⊥AD于N,连接A′N,AH,由
∠BAA′=∠DAA′=60°,AA′=3,所以AH为∠BAD的平分线,AN=32,在Rt△AHN中,AH=32cs30°=3,在Rt△AHA′中,A′H=AA' 2-AH2=6,即四棱台ABCDA′B′C′D′的高为 6,
所以|AC'→-(xAB→+yAD→)|的最小值为6.
答案:6
12.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,则当QA→·QB→ 取得最小值时,Q点的坐标为 .
解析:因为A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),
则由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得OQ→=λOP→=(λ,λ,2λ),
则Q(λ,λ,2λ),QA→=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB→=(2-λ,1-λ,2-2λ),
所以QA→·QB→=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=
2(3λ2-8λ+5),
可得当λ=43时,取得最小值-23,此时,点Q的坐标为(43,43,83).
答案:(43,43,83)
13.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,
棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求BN→的长;
(2)求cs的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
(1)解:以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
B(0,1,0),N(1,0,1),
所以BN→=(1,-1,1),
所以|BN→|=12+(-1)2+12=3.
(2)解:因为A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
所以BA1→=(1,-1,2),CB1→=(0,1,2),
所以BA1→·CB1→=3,|BA1→|=6,|CB1→|=5.
所以cs=BA1→·CB1→|BA1→||CB1→|=3010.
(3)证明:因为C1(0,0,2),M(12,12,2),
所以A1B→=(-1,1,-2),C1M→=(12,12,0),
所以A1B→·C1M→=-12+12+0=0.
所以A1B→⊥C1M→,所以A1B⊥C1M.
14.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1;
(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.
证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),
设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),
因为DA1→=(2,0,2),DB→=(2,2,0),
所以2x+2z=0,2x+2y=0,
所以取m=(-1,1,1),同理平面B1CD1的一个法向量为n=(-1,1,1),
所以m∥n,所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)因为M,N分别为AB,B1C的中点,
所以MN→=(-1,1,1),又由(1)知,平面A1BD的一个法向量为m=(-1,1,1),
所以MN→∥m,所以MN⊥平面A1BD.
15.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且OP→=2e1-e2+3e3,OA→=e1+2e2-e3,
OB→=-3e1+e2+2e3,OC→=e1+e2-e3.
(1)能否以{OA→,OB→,OC→}作为空间的一个基底?若能,试用这一基底
表示OP→;若不能,请说明理由.
(2)判断P,A,B,C四点是否共面.
解:(1)假设OA→,OB→,OC→共面,则存在实数m,n使OA→=mOB→+nOC→,
即e1+2e2-e3=m(-3e1+e2+2e3)+n(e1+e2-e3),
所以1=-3m+n,2=m+n,-1=2m-n,方程组无解,所以OA→,OB→,OC→不共面,
因此OA→,OB→,OC→可以作为空间的一个基底.令OA→=a,OB→=b,OC→=c,
由-3e1+e2+2e3=b,e1+2e2-e3=a,e1+e2-e3=c,得e1=3a-b-5c,e2=a-c,e3=4a-b-7c,
所以OP→=2e1-e2+3e3=2(3a-b-5c)-(a-c)+3(4a-b-7c)=17a-5b-30c
=17OA→-5OB→-30OC→.
(2)假设P,A,B,C四点共面,则存在实数x,y,z,使OP→=xOA→+yOB→+zOC→,
且x+y+z=1,
由(1)知OP→=17OA→-5OB→-30OC→,但17-5-30=-18≠1,
故P,A,B,C四点不共面.名称
概念
表示
零向量
长度为0的向量
0
单位向量
模为1的向量
—
相等向量
方向相同且模相等的向量
a=b
相反向量
方向相反且长度相等的向量
a的相反
向量-a
共线向量
(平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量
—
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
向量差
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数量积
a·b=a1b1+a2b2+a3b3
共线
a∥b⇒a1=λb1,
a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0
夹角
公式
cs=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1=
λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m=0
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m=0
知识点、方法
题号
空间向量的线性运算
1,2,3,4,6,15
空间向量的数量积的运算
7,8,9,12
空间向量的综合应用
5,10,11,13,14