高考数学第一轮复习复习第6节　双曲线（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第6节　双曲线（讲义），共24页。

1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.
3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且c>a>0.
(1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.
(2)若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>2c,则轨迹不存在;若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
若双曲线x2a2-y2b2=1中的条件是a>b>0,则e=a2+b2a2=1+b2a2∈(1,2);若条件是02;若a=b>0,则e=2.
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=2.
1.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为虚半轴长.
2.过双曲线的一个焦点,且与实轴垂直的弦的长为2b2a.
3.点P为双曲线上不同于实轴两端点的一点,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=b2tanθ2.
4.若P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a(或圆心I在定直线x=a上).
1.(选择性必修第一册P121 T2改编)椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a2-y22=1有相同的焦点,则实数a等于( D )
A.12B.-1C.1D.-1或1
解析:因为双曲线x2a2-y22=1的焦点在x轴上,所以由题意可得4-a2=a2+2⇒a2=1⇒a=±1.
2.(选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是( D )
A.x216-y29=1B.x216-y29=1(x≥4)
C.x29-y216=1D.x29-y216=1(x≥3)
解析:由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C.又由题意可知c=5,a=3,所以b=c2-a2=4,故点M的轨迹方程为x29-y216=1(x≥3).
3.若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( D )
A.73B.54C.43D.53
解析:由题意知ba=43,则e2=1+b2a2=259,
所以e=53.
4.设P是双曲线y225-x211=1上一点,F1,F2分别是双曲线的下、上焦点,若|PF1|=10,则|PF2|= .
解析:由题意知a=5,且P在双曲线下支上,所以|PF2|-|PF1|=2a=10,则|PF2|=20.
答案:20
5.(2022·全国甲卷)若双曲线y2-x2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m= .
解析:双曲线的渐近线方程为x±my=0,圆x2+y2-4y+3=0的方程可化为x2+(y-2)2=1,则圆心坐标为(0,2),半径r=1.因为双曲线的渐近线与圆相切,所以圆心到渐近线的距离d=|0±2m|1+m2=1,得m=33.
答案:33
双曲线的定义及应用
根据定义判断曲线的形状
[例1] 已知动圆与两个圆C1:(x+4)2+y2=1和C2:(x-4)2+y2=9均内切,则动圆的圆心轨迹方程为 .
解析:圆C1的圆心为C1(-4,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(4,0),半径为3,
所以两圆相离且|C1C2|=8,设动圆P的半径为r,
由动圆与两圆均内切,则|PC1|=r-1,|PC2|=r-3,此时|PC1|-|PC2|=2,
则点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的靠近C2的一支,此时2c=8,2a=2,
因此a=1,c=4,b=15,因此所求双曲线的方程为x2-y215=1(x≥1).
答案:x2-y215=1(x≥1)
求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
寻找几何关系列出动点满足的关系式,结合是否满足双曲线的定义,得出相应的方程.求解时要注意判断所求轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
双曲线定义的应用
[例2] 若F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点.
(1)若双曲线上一点P到焦点F1的距离为7,求|PF2|;
(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
解:(1)由x29-y216=1,得a=3,b=4,c=5.
由于|PF1|=7因此点P在双曲线的左支上,
因此|PF2|-|PF1|=6,
结合|PF1|=7可知|PF2|=13.
(2)由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cs 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,
所以|PF1||PF2|=64,
所以S△F1PF2=12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=12×64×32=163.
(1)涉及双曲线上的点到焦点的距离问题的易错点.
若F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|≥a+c,则点P可在双曲线的两支上,若|PF1|(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.
[针对训练] (1)(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a等于( )
A.1B.2C.4D.8
(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
解析:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则S△PF1F2=12mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,又e=ca=5,所以a=1.故选A.
(2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-y28=1(x≤-1).
答案:(1)A (2)x2-y28=1(x≤-1)
双曲线的标准方程及性质
双曲线的离心率(或范围)
[例3] (1)已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,52)B.(52,+∞)
C.(1,5)D.(5,+∞)
(2)(2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为( )
A.72B.132C.7D.13
解析:(1)双曲线的渐近线方程为y=±bax,由极限思想,设过F1且与一条渐近线平行的直线l的方程为y=ba(x+c),即bx-ay+bc=0.
依题意,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则点F2到直线l距离大于a,
即d=2bca2+b2>a,所以2b>a,
所以ba>12,e=ca=c2a2=1+ba2>1+122=52,即e∈(52,+∞).故选B.
(2)设|PF2|=m,|PF1|=3m,则|F1F2|=m2+9m2-2×3m×m×cs60°=7m,
所以C的离心率e=ca=2c2a=|F1F2||PF1|-|PF2|=7m2m=72.故选A.
求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件,将问题转化为关于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得.
双曲线的渐近线方程
[例4] (2022·北京卷)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m= .
解析:法一 依题意得m<0,双曲线的方程可表示为y2-x2-m=1,此时双曲线的渐近线的斜率为±1-m=±33,解得m=-3.
法二 依题意得m<0,令y2-x2-m=0,
得y=±1-mx=±33x,解得m=-3.
答案:-3
求渐近线方程时,利用c2=a2+b2转化为关于a,b的方程.双曲线的渐近线的斜率与离心率的关系:k=±ba=±c2-a2a=±c2a2-1=±e2-1.
由几何性质确定标准方程
[例5] 已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A.x24-y212=1B.x212-y24=1
C.x23-y29=1D.x29-y23=1
解析:由d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.
因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,
所以ca=2,所以a2+b2a2=4,
所以a2+9a2=4,解得a2=3.
所以双曲线的方程为x23-y29=1.
故选C.
求双曲线的方程时,将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2,列出未知参数的方程,解方程后即可求出双曲线的方程.
[针对训练] (1)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
A.x24-y212=1B.x27-y29=1
C.x28-y28=1D.x212-y24=1
(2)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x,且其右焦点为(5,0),则双曲线C的标准方程为( )
A.x29-y216=1B.x216-y29=1
C.x23-y24=1D.x24-y23=1
(3)以椭圆x24+y2=1的焦点为顶点,长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 .
(4)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
(5)已知直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1的右支交于不同的两点,则k的取值范围是 .
解析:(1)由题意知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=bax,因此可得点A的坐标为(a,b).
设右焦点为F(c,0),由已知可得c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,
所以有(c-a)2+b2=c2.
又c2=a2+b2,
则c=2a,
即a=c2=2,
所以b2=c2-a2=42-22=12,
故双曲线的方程为x24-y212=1.
故选A.
(2)由题意得ba=34,c2=a2+b2=25,
所以a=4,b=3,
所以所求双曲线的标准方程为x216-y29=1.故选B.
(3)由题意可知所求双曲线方程可设为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
则a=4-1=3,c=2,
所以b2=c2-a2=4-3=1,b=1.
故所求渐近线方程为y=±33x.
(4)如图,由题意知|AB|=2b2a,|BC|=2c.
又2|AB|=3|BC|,
所以2·2b2a=3·2c,
即2b2=3ac,
所以2(c2-a2)=3ac,
两边同除以a2并整理得2e2-3e-2=0,
解得e=2(负值舍去).
(5)由直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1联立方程组,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0,
因为该方程有两个不相等且都大于1的根,
所以1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2)>0,-k1-k2>1,(1-k2+2k-2)(1-k2)>0,
解得1答案:(1)A (2)B (3)y=±33x (4)2
(5)(1,2)
[例1] F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,O为坐标原点,若在双曲线上存在点P,满足∠F1PF2=60°,且|OP|=10a,则双曲线的渐近线方程为( )
A.x±3y=0B.3x±y=0
C.x±2y=0D.2x±y=0
解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,
因为|m-n|=2a,m2+n2-4c2=2mncs60°=mn,
所以mn=4c2-4a2=4b2,
所以m2+n2=4c2+4b2,
又cs∠POF1+cs∠POF2=0,
即c2+(10a)2-m22c·10a+c2+(10a)2-n22c·10a=0,
所以m2+n2=2c2+20a2,所以c2+2b2=10a2,
又c2=a2+b2,所以b2=3a2,
所以ba=3,
所以双曲线的渐近线方程为3x±y=0.故选B.
[例2] 已知F是双曲线y24-x212=1的下焦点,A(4,1)是双曲线外一点,P是双曲线上支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为( )
A.9B.8C.7D.6
解析:因为F是双曲线y24-x212=1的下焦点,
所以a=2,b=23,c=4,F(0,-4).
上焦点为F1(0,4),由双曲线的定义可得
|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+42+(1-4)2=9,
当A,P,F1三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值9.故选A.
[例3] (2022·广东揭阳模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为103,双曲线上的点到焦点的最小距离为10-3,则双曲线上的点到点A(5,0)的最小距离为( )
A.1B.62C.2D.6
解析:由已知可得ca=103,且c-a=10-3,
解得c=10,a=3,b2=c2-a2=1,
因此双曲线的方程为x29-y2=1.
设P(x,y)是双曲线x29-y2=1上的点,
则y2=x29-1,且x≤-3或x≥3.
则|AP|=(x-5)2+y2=10x29-10x+24=10(x29-x)+24=10(x3-32) 2+32.
所以当x=92时,|AP|min=32=62.故选B.
[例4] 已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点B为C的左顶点,动点A在C上,当AF2⊥BF2时,|AF2|=|BF2|,且|AF1|-|AF2|=2,则C的方程为 .
解析:由题意知|AF1|-|AF2|=2a=2,
所以a=1,
|AF2|=|BF2|=|OB|+|OF2|=a+c=1+c,
所以|AF1|=|AF2|+2=3+c,|F1F2|=2c.
又因为AF2⊥BF2,
所以在直角三角形AF1F2中,
由勾股定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2.
即4c2+(1+c)2=(3+c)2,
即c2-c-2=0,
解得c=-1(舍去)或c=2.
又由a2+b2=c2可知b2=3,
所以C的方程为x2-y23=1.
答案:x2-y23=1
[选题明细表]
1.(2022·福建三明模拟)已知双曲线C1:x2+y2m=1(m≠0)与C2:x22-y22=1共焦点,则C1的渐近线方程为( D )
A.x±y=0 B.2x±y=0
C.x±3y=0 D.3x±y=0
解析:由C2:x22-y22=1的方程可知a2=b2=2,则c2=a2+b2=4,且焦点在x轴上,
所以1-m=4,解得m=-3,因此双曲线C1的方程为x2-y23=1,所以渐近线的方程为3x±y=0.
2.(2022·河北廊坊高三检测)青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下对称,可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面,如图所示.若该花瓶的瓶口直径是8,瓶身最小的直径是4,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是( B )
A.x216-y29=1 B.x24-y23=1
C.x28-y29=1 D.x24-y2=1
解析:设该双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
则由双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,点(4,3)在该双曲线上可知2a=4,42a2-32b2=1,解得a=2,b=3,故该双曲线的标准方程是x24-y23=1.
3.双曲线x2m+y2=1的焦距是虚轴长的2倍,则m等于( A )
A.-13 B.-3 C.-5 D.-15
解析:将方程x2m+y2=1化为y2-x2-m=1,则a2=1,b2=-m,因此c2=1-m,由焦距是虚轴长的2倍知c=2b,即c2=4b2,
所以1-m=-4m,即m=-13.
4.(2023·四川成都模拟)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点,点P在双曲线C的右支上,当|PF1|=6时,△PF1F2的面积为( B )
A.43 B.37 C.4552 D.67
解析:由双曲线方程知,a=1,b=3,c=2,
又点P在双曲线C的右支上,|PF1|=6,
所以|PF1|-|PF2|=2a,即6-|PF2|=2,
得|PF2|=4,又|F1F2|=2c=4,
所以△PF1F2面积为12×6×42-(62) 2=37.
5.(多选题)已知P是双曲线C:x216-y29=1右支上一点,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P又在以F2为圆心,94为半径的圆上,则下列结论正确的是( AD )
A.△PF1F2的面积为454
B.双曲线C的渐近线方程为y=±43x
C.点P到双曲线C左焦点的距离是234
D.双曲线C的右焦点到渐近线的距离为3
解析:由方程x216-y29=1,得a=4,b=3,则c=5.
由题意知|PF2|=94,|PF1|=2a+|PF2|=414,
|F1F2|=10,则|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,
所以PF2⊥F1F2.
因此△PF1F2的面积为S=12×10×94=454,故A正确,C错误;C的渐近线方程为y=±34x,故B错误;双曲线的右焦点为F2(5,0),根据双曲线的对称性取渐近线方程y=34x,即3x-4y=0,则双曲线C的右焦点到渐近线的距离为3×532+42=3,故D正确.
6.如图所示,F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与C的左、右两支分别交于A,B两点.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=
3∶4∶5,则双曲线的离心率为( C )
A.2 B.15 C.13 D.3
解析:因为|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,
设|AB|=3,|BF2|=4,|AF2|=5.
因为|AB|2+|BF2|2=|AF2|2,
所以∠ABF2=90°.
由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a,
|AF2|-|AF1|=2a,
所以|AF1|+3-4=5-|AF1|,
所以|AF1|=3,
所以|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a,即a=1.
在Rt△BF1F2中,
|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52,
又|F1F2|2=4c2,
所以4c2=52,
所以c=13,
所以双曲线的离心率e=ca=13.
7.在平面直角坐标系中,已知圆M:(x+2)2+y2=12,点N(2,0),Q是圆M上任意一点,线段NQ的垂直平分线与直线MQ相交于点P,设点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为 .
解析:因为P在线段NQ的垂直平分线上,所以|PQ|=|PN|,
所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=23<|MN|=4,由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点,23为实轴长的双曲线,则c=2,a=3,
得b=1,所以曲线E的方程为x23-y2=1.
答案:x23-y2=1
8.(2022·山西朔州二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,且其虚轴长大于1,则双曲线C的一个标准方程可以为 .
解析:依题意取b=2,由题可得ca=5,b=2,c2=a2+b2,
解得a=1,b=2,c=5,
故双曲线的标准方程为x2-y24=1(答案不唯一).
答案:x2-y24=1(答案不唯一)
9.(1)已知平面上两定点A(-3,0),B(3,0),平面上满足kPA·kPB=13动点P的轨迹为E,求E的方程;
(2)设点M是圆O:x2+y2=1上的动点,P是(1)中轨迹E在y轴右侧的
动点,证明:若C(2,0)且OM⊥OP时,|PM|-|PC|为定值.
(1)解:设P(x,y),则由kPA·kPB=13可知yx+3·yx-3=13,
整理可得x23-y2=1(x≠±3),即E的方程为x23-y2=1(x≠±3).
(2)证明:根据题意,设P(a,b)(a>3),
则有a23-b2=1,则|OP|2=a2+b2.
又OM⊥OP,则|PM|=|OM|2+|OP|2=1+a2+b2=43a.
又C(2,0),且|PC|=(a-2)2+b2=a2-4a+4+13a2-1=43(a-32),
则|PM|-|PC|=43a-43(a-32)=43×32=3.故|PM|-|PC|为定值3.
10.已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2分别是C的左、右两个焦点,若MF1→·MF2→<0,则y0的取值范围是( A )
A.(-33,33) B.(-36,36)
C.(-223,223) D.(-233,233)
解析:由题意得F1(-3,0),F2(3,0),
因为M(x0,y0),
所以MF1→=(-3-x0,-y0),MF2→=(3-x0,-y0),x022-y02=1.
因为MF1→·MF2→<0,
所以MF1→·MF2→=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y0)
=(-3-x0)(3-x0)+y02
=x02+y02-3
=2y02+2+y02-3=3y02-1<0,
解得-3311.(2022·湖南衡阳三模)已知双曲线C:y22-x2=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在x轴上,线段PF1交C于点Q,△PQF2的内切圆与直线QF2相切于点M,则线段MQ的长为( D )
A.1 B.2 C.3 D.2
解析:如图,设|QM|=x,|F2M|=y,则|QN|=x,|F2H|=y,因为|PF1|=|PF2|,
所以|NF1|=|HF2|,故x+|QF1|=y,
即|QF1|=y-x.
由双曲线的定义可知|QF2|-|QF1|=2a=22,即x+y-y+x=22,解得x=2.
12.(多选题)(2022·浙江嘉兴高三月考)已知双曲线x2m-y2m2-m+4=1(m>0),
则下列说法正确的是( BCD )
A.离心率的最小值为4
B.当m=2时,离心率最小
C.离心率最小时,双曲线的标准方程为x22-y26=1
D.离心率最小时,双曲线的渐近线方程为3x±y=0
解析:由双曲线的方程可得a2=m,b2=m2-m+4,
所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4,
所以双曲线的离心率e=ca=m2+4m=m+4m≥2m·4m=2,当且仅当m=4m,即m=2时,取等号,所以A不正确,B正确;离心率最小时m=2,
这时双曲线的标准方程为x22-y26=1,所以C正确;可得渐近线的方程为x2±y6=0,即3x±y=0,所以D正确.
13.双曲线的光学性质为:从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图,F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线在C上的点A,B处反射后射出(A,B,F2共线),且∠CAB=
∠ABD=120°,则C的离心率为 .
解析:因为∠CAB=∠ABD=120°,
所以∠F1AB=∠F1BA=60°,
即△F1AB为等边三角形.
由双曲线的对称性可知F1F2⊥AB,
因此|AF2|=b2a,|F1F2|=2c,∠AF1F2=30°.
因为tan 30°=|AF2||F1F2|,
所以23c3=c2-a2a,
整理得3e2-23e-3=0,
解得e=3或e=-33(舍去).
答案:3
14.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C上存在点P,使得sin∠PF1F2sin∠PF2F1=2,则C的离心率的取值范围为 .
解析:在△PF1F2中,由正弦定理知sin∠PF1F2sin∠PF2F1=|PF2||PF1|,
因为sin∠PF1F2sin∠PF2F1=2,
即|PF2|=2|PF1|.①
又因为P在双曲线上,所以|PF2|-|PF1|=2a.②
两式联立可得|PF1|=2a,由双曲线的几何性质可得|PF1|>c-a,
即2a>c-a,即c<3a,
所以e=ca<3,
又e>1,所以C的离心率取值范围为(1,3).
答案:(1,3)
15.过点M(-m,0)(m≠0)的直线l与直线3x+y-3=0垂直,直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,求双曲线C的渐近线方程和离心率.
解:因为过点M(-m,0)(m≠0)的直线l与直线3x+y-3=0垂直,
所以直线l的方程为x-3y+m=0.①
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±bax.②
联立方程①②,可得A(ma3b-a,mb3b-a),B(-ma3b+a,mb3b+a),
所以AB的中点坐标为N(ma29b2-a2,3mb29b2-a2).
因为点P(m,0)满足|PA|=|PB|,
所以点P(m,0)在线段AB的中垂线上,
即PN⊥AB,
所以3mb29b2-a2-0ma29b2-a2-m=-3,
所以a=2b,则ba=12,e=c2a2=b2a2+1=52,
所以渐近线方程为y=±12x,离心率为52.标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),
A2(a,0)
A1(0,-a),
A2(0,a)
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca,e∈(1,+∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c
的关系
c2=a2+b2
知识点、方法
题号
双曲线的定义、标准方程
2,7,8
双曲线的几何性质
1,3,6,13
双曲线的综合应用
4,5,9,10,11,12,14,15