高考数学第一轮复习复习第6节　利用空间向量求空间角（讲义）

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能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量法在研究空间角问题中的作用.
1.两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sin θ=|cs β|=|a·n||a||n|.
3.求二面角的大小
(1)如图①,AB,CD分别是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=.
(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cs θ|=|cs|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cs=-12,则l与α所成的角为( A )
A.30°B.60°
C.120°D.150°
解析:由于cs=-12,
所以=120°,
所以直线l与α所成的角为30°.
2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( C )
A.π4B.3π4
C.π4或3π4D.π2或3π4
解析:因为m=(0,1,0),n=(0,1,1),
所以m·n=1,|m|=1,|n|=2,
所以cs=m·n|m||n|=22,
所以=π4,
所以两平面所成的二面角为π4或3π4.
3.在正三棱柱ABC-1B1C1中,AB=AA1,则直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( C )
A.22B.155C.64D.63
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,
则C1(3,1,0),
A(0,0,2),AC1→=(3,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0).
所以直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为
|AC1→·n||AC1→||n|=38=64.
4.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,AF→=λAD→(λ>0),若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210,则λ的值为 .
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),由正方体的棱长为2,
则A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0),
所以D1E→=(0,2,-1),A1F→=A1A→+AF→=A1A→+λAD→=(-2λ,0,-2).
所以|cs|=|A1F→·D1E→||A1F→||D1E→|=22λ2+1×5=3210,
解得λ=13(λ=-13舍去).
答案:13
用空间向量求异面直线所成的角
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,E为PD的中点,O为AC的中点,AD=2AB=2AP=2.
(1)证明:OE∥平面PAB;
(2)求异面直线PC与OE所成角的余弦值.
(1)证明:连接BD,则O为BD的中点,
又E为PD的中点,所以OE∥PB.
因为PB⊂平面PAB,OE⊄平面PAB,
所以OE∥平面PAB.
(2)解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,2,0),D(0,2,0),E(0,1,12),O(12,1,0),所以PC→=(1,2,-1),
OE→=(-12,0,12),因为cs=PC→·OE→|PC→|·|OE→|=-12-126×22=-33,所以异面直线PC与OE所成角的余弦值为33.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)选择三条两两相互垂直的直线建立空间直角坐标系.
(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
[针对训练] 如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=3,则异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
则O1(0,1,3),A(3,0,0),A1(3,1,3),B(0,2,0),
所以A1B→=(-3,1,-3),O1A→=(3,-1,-3).
所以cs=A1B→·O1A→|A1B→||O1A→|=(-3,1,-3)·(3,-1,-3)7×7=-17,
所以异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为17.
答案:17
用空间向量求直线与平面所成的角
[例2] 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:OP⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求直线PC与平面PAM所成角的正弦值.
(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,
所以OP⊥AC,且OP=23.连接OB.
因为AB=BC=22AC,
所以△ABC为等腰直角三角形,
且OB⊥AC,OB=12AC=2,
由OP2+OB2=PB2,知OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC,知OP⊥平面ABC.
(2)解:如图,以O为坐标原点,OB→的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标.
则O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),
AP→=(0,2,23),
取平面PAC的法向量OB→=(2,0,0).
设M(a,2-a,0)(0