高考数学第一轮复习复习第6节　复　数（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第6节　复　数（讲义），共15页。

1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾.
2.理解复数的基本概念以及复数相等的定义.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)复数的定义
把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b.
(2)复数的分类
复数z=a+bi(a,b∈R)
实数(b=0),虚数(b≠0)纯虚数(a=0),非纯虚数(a≠0).
(3)复数相等
a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数
a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).
(5)复数的模
向量OZ→的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ→(O为坐标原点).
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
1.(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;1-i1+i=-i.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
3.z·z=|z|2=|z|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,
|z1z2|=|z1||z2|,|zn|=|z|n.
1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)等于( D )
A.-2+4iB.-2-4i
C.6+2iD.6-2i
解析:(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.
2.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则( A )
A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2
解析:由题意知z=1+2i,所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+az+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,
所以a+b+1=0,2a-2=0,解得a=1,b=-2.
3.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则( A )
A.a=1,b=-1B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1
解析:法一 由题意知a+b+2ai=2i,
所以a+b=0,2a=2,
解得a=1,b=-1.
法二 由题意知a+b+(2a-2)i=0,
所以a+b=0,2a-2=0,
解得a=1,b=-1.
4.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+z等于( D )
A.-2B.-1C.1D.2
解析:因为i(1-z)=1,所以z=1-1i=1+i,
所以z=1-i,所以z+z=1+i+1-i=2.
5.若复数z=1+ii,则|z|= .
解析:因为z=1+ii=i(1+i)i2=-i(i+1)=1-i,因此,|z|=12+(-1)2=2.
答案:2
复数的有关概念
1.(2022·浙江卷)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则( B )
A.a=1,b=-3B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3
解析:(b+i)i=-1+bi,则由a+3i=-1+bi,
得a=-1,b=3.
2.如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等,那么b等于( A )
A.-2B.1C.2D.4
解析:2+bii=(2+bi)(-i)i(-i)=b-2i,
由题意得b=-2.
3.(多选题)若复数z=21+i,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是( ABC )
A.z的虚部为-1
B.|z|=2
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为-1-i
解析:z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i,z的虚部为-1,模为|z|=2,故A,B正确;因为z2=(1-i)2=-2i,故z2为纯虚数,C正确;z的共轭复数为1+i,D错误.
4.复数z满足|z-1|=|z+3|,则|z|( C )
A.恒等于1
B.最大值为1,无最小值
C.最小值为1,无最大值
D.无最大值,也无最小值
解析:设z=a+bi(a,b∈R),
因为|z-1|=|z+3|,
所以|a-1+bi|=|a+3+bi|,
即(a-1)2+b2=(a+3)2+b2,
解得a=-1,
所以|z|=1+b2≥1,
所以|z|有最小值为1,无最大值.
(1)复数z=a+bi(a,b∈R),其中a,b分别是它的实部和虚部.若z为实数,则虚部b=0,与实部a无关;若z为虚数,则虚部b≠0,与实部a无关;若z为纯虚数,则a=0,且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi,则z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,则z=z.
复数的四则运算
1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(z+i)等于( C )
A.6-2iB.4-2i
C.6+2iD.4+2i
解析:因为z=2-i,所以z(z+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.
2.(2022·全国甲卷)若z=-1+3i,则zzz-1等于( C )
A.-1+3iB.-1-3i
C.-13+33iD.-13-33i
解析:zzz-1=-1+3i(-1+3i)(-1-3i)-1=-1+3i3=-13+33i.
3.(2021·全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z等于( B )
A.-1-32iB.-1+32i
C.-32+iD.-32-i
解析:z=3+2i(1-i)2=3+2i-2i=3i-22=-1+32i.
(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.
复数的几何意义
1.(2021·新高考Ⅱ卷)复数2-i1-3i在复平面内对应的点所在的象限为( A )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:2-i1-3i=(2-i)(1+3i)10=5+5i10=1+i2,所以该复数在复平面内对应的点为(12,12),该点在第一象限.
2.(多选题)已知复数z1=2-1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是( AB )
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为-1
C.z14=4
D.满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上
解析:由题意,复数z1=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,所以复数z1在复平面内对应的点是(-1,-1),位于第三象限,复数z1的虚部为-1,所以A,B正确;z14=(-1-i)4=[(-1-i)2]2=(2i)2=-4,所以C错误;由|z1|=(-1)2+(-1)2=2,得满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,所以D错误.
3.已知复数z在复平面中对应的点(x,y)满足(x-1)2+y2=1,则|z-1|等于( B )
A.0B.1C.2D.2
解析:由题意复数z对应的点在圆心为(1,0),半径为1的圆上,|z-1|表示复数对应的点到(1,0)的距离,也即圆上的点到圆心的距离,所以|z-1|=1.
4.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|= .
解析:设z1=a+bi(a,b∈R),
则z2=3-a+(1-b)i,
则|z1|2=a2+b2=4,|z2|2=(3-a)2+(1-b)2=4,
即a2+b2=4,3a+b=2,
所以|z1-z2|2=(2a-3)2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(3a+b)+4=4×4-4×2+4=12,
所以|z1-z2|=23.
答案:23
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ→=(a,b)(O为坐标原点).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
[例1] 若复数z满足z(1+i)i32-i=1-i,则复数z 的虚部为( )
A.iB.-iC.1D.-1
解析:因为z(1+i)i32-i=1-i,
所以z(1+i)(-i)=(2-i)(1-i),
所以z(1-i)=(2-i)(1-i),
所以z=2-i,
所以z=2+i,
所以z 的虚部为1.故选C.
[例2] (2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|等于( )
A.0B.1C.2D.2
解析:因为z=1+i,所以|z2-2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|=|-2|=2.故选D.
[例3] 设(1-i)x=1+yi,其中x,y是实数,则x+yi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:因为x,y是实数,所以(1-i)x=x-xi=1+yi,所以x=1,-x=y,解得x=1,y=-1,
所以x+yi在复平面内所对应的点为(1,-1),位于第四象限.故选D.
[例4] 若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)D.(-1,+∞)
解析:因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,
所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a),
又此点在第二象限,所以a+1<0,1-a>0,解得a<-1.故选B.
[选题明细表]
1.已知a∈R,i是虚数单位,若复数z=a2-1+(a+1)i为纯虚数,则a等于( D )
A.0B.1或-1C.-1D.1
解析:由题意a2-1=0,a+1≠0,
即a=1.
2.(2023·广东广州模拟)已知(2+i)z=1-3i,则复数z的虚部是( D )
A.-15B.-75i
C.75D.-75
解析:由题意得z=1-3i2+i=(1-3i)(2-i)(2+i)(2-i)=-15-75i,所以z的虚部为-75.
3.(2022·湖南郴州月考)若复数z的共轭复数z满足(2-i)z=i(i为虚数单位),则|z|等于( A )
A.55B.5C.33D.3
解析:由题意,z=i2-i=i(2+i)(2-i)(2+i)=-15+25i,则z=-15-25i,
因此|z|=(-15) 2+(-25) 2=55.
4.(2022·山东日照期中)已知复数z=2i1-i,则下列结论正确的是( D )
A.z在复平面内对应的点位于第三象限
B.z的虚部是i
C.z=1+i(z是复数z的共轭复数)
D.|z|=2
解析:z=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i,对应点(-1,1)在第二象限,虚部为1,
z=-1-i,|z|=1+1=2,故A,B,C错误,D正确.
5.(2021·全国乙卷)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z等于( C )
A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,可得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.
6.(2022·重庆二诊)复数z在复平面内对应的点的坐标为(-3,4),i为虚数单位,则z1-i等于( C )
A.-12+12iB.-12+72i
C.-72+12iD.72+12i
解析:由题意z=-3+4i,所以z1-i=-3+4i1-i=(-3+4i)(1+i)(1-i)(1+i)=-7+i2=-72+12i.
7.(2022·江西上饶联考)已知复数z=21+i-3i3,则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:z=21+i-3i3=2(1-i)(1+i)(1-i)+3i=1-i+3i=1+2i,故z=1-2i,对应点坐标为(1,-2),
所以z在复平面内对应的点位于第四象限.
8.(2022·辽宁鞍山二模)已知i为虚数单位,则3+i1-i= .
解析:3+i1-i=(3+i)(1+i)(1-i)(1+i)=3+3i+i+i22=1+2i.
答案:1+2i
9.已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且z1-i=3+2i,则a= ,b= .
解析:由题意,z=(3+2i)(1-i)=5-i,
故z=5+i,故a=5,b=1.
答案:5 1
10.(2023·山东潍坊模拟)已知复数z满足z+3=4z+5i,则在复平面内复数z对应的点在( A )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,由z+3=4z+5i,得a+3+bi=4a+(5-4b)i,
则a+3=4a,5-4b=b,得a=1,b=1,
则在复平面内z对应的点(1,1)位于第一象限.
11.已知复数z满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z对应点的轨迹为( A )
A.直线B.线段
C.圆D.等腰三角形
解析:设复数z=x+yi(x,y∈R),根据复数的几何意义知,|z-1|表示复平面内点P(x,y)与点A(1,0)的距离,|z-i|表示复平面内点P(x,y)与点B(0,1)的距离,因为|z-1|=|z-i|,即点P(x,y)到A,B两点间的距离相等,
所以点P(x,y)在线段AB的垂直平分线上,所以在复平面上z对应点的轨迹为直线.
12.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是( D )
A.若|z1-z2|=0,则z1=z2
B.若z1=z2,则z1=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·z1=z2·z2
D.若|z1|=|z2|,则z12=z22
解析:A中,|z1-z2|=0,则z1=z2,故z1=z2,成立.B中,z1=z2,则z1=z2成立.C中,|z1|=|z2|,则|z1|2=|z2|2,即z1·z1=z2·z2,C正确.D不一定成立,如z1=1+3i,z2=2,则|z1|=2=|z2|,但z12=-2+23i,z22=4,z12≠z22.
13.已知复数z=3+i(1-3i)2,z是z的共轭复数,则zz= .
解析:由z=3+i-2(1+3i)=-34+14i,
得z=-34-14i,
所以zz=(-34+14i)(-34-14i)
=316+116=14.
答案:14
14.已知a∈R,若1+ai2-i为实数,则a= ,|1+ai2-i|= .
解析:1+ai2-i=(1+ai)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+2ai-a5=2-a5+1+2a5i,
因为1+ai2-i为实数,
所以1+2a5=0,所以a=-12.
所以|1+ai2-i|=12.
答案:-12 12
15.在①|z|=2,且z2的虚部是2;②z=(1-i)2+3(1+i)2-i;③z=21+i,z为z的共轭复数.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作出解答.
已知i为虚数单位,复数z满足 ,设z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
解:选①.设z=a+bi(a,b∈R),
则z2=a2-b2+2abi,
由题意得a2+b2=2且2ab=2,
解得a=b=1或a=b=-1,
所以z=1+i或z=-1-i.
当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
所以S△ABC=1.
综上,△ABC的面积为1.
选②.z=-2i+3+3i2-i=3+i2-i=1+i,z2=2i,
z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=1.
选③.z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i,其共轭复数为z=1+i,
故z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=1.
知识点、方法
题号
复数的有关概念
1,2,3,12
复数的四则运算
5,6,8,9,13,14
复数的几何意义
4,7,10,11,15