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高考数学第一轮复习复习第7节 抛物线（讲义）
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这是一份高考数学第一轮复习复习第7节 抛物线（讲义），共26页。
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
(1)若抛物线的准线与对称轴的交点为M,则抛物线的顶点为焦点与M的中点.
(2)抛物线的焦半径与焦点弦:抛物线上任意一点P(x0,y0)与焦点F的连线段称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.求解焦点弦的长度时,常利用抛物线的定义转化为交点到相应的准线的距离.
1.抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(1,y0)到焦点F的距离为3,则p的值为( D )
A.1B.2C.3D.4
解析:由抛物线的定义可知,|MF|=1+p2=3,
所以p=4.
2.(选择性必修一P136T3改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( B )
A.9B.8C.7D.6
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
3.抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为 .
解析:因为抛物线方程可以化为x2=4y,所以p=2,焦点到准线的距离为p=2.
答案:2
4.顶点在原点,且过点P(-1,2)的抛物线的标准方程是 .
解析:设抛物线的方程是y2=kx或x2=my,代入点P(-1,2),解得k=-4或m=12,
所以y2=-4x或x2=12y.
答案:y2=-4x或x2=12y
抛物线的定义及标准方程
1.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于( B )
A.2B.22C.3D.32
解析:法一 由题意可知F(1,0),
准线方程为x=-1,设A(y024,y0),
由抛物线的定义可知|AF|=y024+1,
又|BF|=3-1=2,
由|AF|=|BF|,可得y024+1=2,
解得y0=±2,
所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),
故|AB|=(1-3)2+(2-0)2=22.
法二 由题意可知F(1,0),|BF|=2,
所以|AF|=2,抛物线通径为4,
所以|AF|=2为通径的一半,
所以AF⊥x轴,
所以|AB|=22+22=22.
2.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为( A )
A.抛物线B.双曲线
C.椭圆D.圆
解析:由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.
3.(2022·河南商丘三模)写出一个同时满足以下条件的抛物线C的方程为 .
①C的顶点在坐标原点;
②C的对称轴为坐标轴;
③C的焦点到其准线的距离为34.
解析:由①②可知C的方程为抛物线的标准方程,由③可知p=34,所以抛物线C的方程可以为y2=32x(答案不唯一).
答案:y2=32x(答案不唯一)
4.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
解析:法一 依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(1,t2),|MF|=2+1=3,
所以|FN|=2|MF|=6.
法二 如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,
由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,
从而|FN|=2|FM|=6.
答案:6
(1)利用抛物线的定义可解决的常见问题
①轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
②距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
(2)求抛物线的标准方程的方法
①因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
②因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.
与抛物线有关的最值问题
[例1] (多选题)(2022·福建泉州模拟)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线y2=4x上,则下列选项正确的是( )
A.当a=1时,|PA|最小值为1
B.当a=3时,|PA|的最小值为3
C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4
D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2
解析:当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点,
设P(x0,y0),x0≥0,则|PA|=x0+1≥1,
故|PA|的最小值为1,A正确;
当a=1时,设抛物线的准线为l:x=-1,如图(1),过点P作PN⊥l于点N,
此时|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故当N,P,M三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,此时(|PA|+|PM|)min=3+1=4,C正确;
当a=3时,A(3,0),如图(2),连接AM,并延长AM交抛物线于点P′.
当P在P′位置时,此时|P′A|-|P′M|=|AM|为最大值,
当P在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于|AM|,
因为|AM|=(3-3)2+(-2-0)2=2,故D正确;此时|PA|=(x0-3)2+y02=(x0-3)2+4x0=(x0-1)2+8,
当x0=1时,|PA|min=22,B错误.故选ACD.
(1)求解抛物线上的点到焦点与到定点(或定直线)距离的和、差最值问题,常利用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再结合图形及平面几何的有关性质求解.
(2)涉及抛物线上的点的坐标有关的最值问题,可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解,但要注意抛物线上的点的坐标的取值范围.
[针对训练] (1)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和到y轴的距离之和的最小值是( )
A.3B.5
C.5-1D.2
(2)若B为抛物线y2=x上的动点,点B到直线x-2y+2=0的距离的最小值为 ,此时点B的坐标为 .
解析:(1)由题意知抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.如图,点P到直线l的距离为|PA|,根据抛物线定义P到y轴距离等于|PF|-1,所以P到直线l的距离与到y轴的距离之和等于|PA|+|PF|-1,由于 |PA|+|PF|-1≥|AF|-1,所以当P,A,F三点共线时,|AF|最小,即|FB|,经计算点F到直线l的距离为5,所以最小距离为5-1.故选C.
(2)设B(t2,t),则点B到直线x-2y+2=0的距离为d=|t2-2t+2|5=|(t-1)2+1|5.因此当t=1时,d有最小值55,此时B(1,1).
答案:(1)C (2)55 (1,1)
抛物线的几何性质
[例2] (1)已知点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F,则直线AB的方程是( )
A.x-p=0B.4x-3p=0
C.2x-5p=0D.2x-3p=0
(2)设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2),且△PQF的面积为10,则该抛物线的方程为 .
解析:(1)如图所示,因为F为△AOB的垂心,F为焦点,|OA|=|OB|,
所以OF垂直平分线段AB,
所以由抛物线的对称性可知直线AB垂直于x轴.
设A(2pt2,2pt),B(2pt2,-2pt),其中t>0.
因为F为垂心,所以OB⊥AF,
所以kOB·kAF=-1,
即-2pt2pt2·2pt2pt2-p2=-1,解得t2=54,
所以直线AB的方程为x=2pt2=52p,
即2x-5p=0.故选C.
(2)根据题意作出满足题意的几何图形如图所示.
其中,F(p2,0),直线QE为抛物线的准线,且准线方程为x=-p2,PQ⊥QE,A(0,2).
设P(x0,y0),则Q(-p2,y0),|PQ|=x0+p2.
在△QEF中,O为EF的中点,则A为QF的中点,
即|QE|=4,y0=4.
因为△PQF的面积为10,
所以12(x0+p2)×4=10,
即x0=5-p2.
因为y02=2px0,
所以42=2p(5-p2),
即p2-10p+16=0.
所以p=2或p=8.
所以该抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
答案:(1)C (2)y2=4x或y2=16x
涉及抛物线的点构成的具有对称性的几何图形时,要注意借助抛物线的对称性与数形结合思想的应用.
[针对训练] (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,则△MON的边长为 ;
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
解析:(1)因为△MON为正三角形,
所以|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴,
设MN:x=t,则y2=2pt,
解得y1=2pt,y2=-2pt.
所以|MN|=22pt,
所以tan 30°=12|MN|t=2ptt=33,
解得t=6p.所以|MN|=43p.
(2)由题易得|OF|=p2,|PF|=p,
∠OPF=∠PQF,
所以tan∠OPF=tan∠PQF,
所以|OF||PF|=|PF||FQ|,即p2p=p6,
解得p=3,
所以C的准线方程为x=-32.
答案:(1)43p (2)x=-32
[例1] 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则点M到y轴的最短距离为( )
A.12B.1C.32D.2
解析:
如图所示,抛物线y2=2x的焦点F(12,0),准线为l:x=-12,
分别过A,B,M作AA′,BB′,MM′垂直于l,垂足分别为A′,B′,M′.
由抛物线定义知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.
又M为AB的中点,
由梯形中位线定理得|MM′|=12(|AA′|+|BB′|)=12(|FA|+|FB|)≥12|AB|=12×3=32,
则M到y轴的距离d≥32-12=1(当且仅当AB过抛物线的焦点时,取等号),
所以dmin=1,即点M到y轴的最短距离为1.故选B.
[例2] 已知动点C到点F(0,-2)比到直线y=1的距离大1,动点C的轨迹为曲线W,点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线W上两点,若y1+y2=-8,则|AB|的最大值为( )
A.10B.14C.12D.16
解析:设点C(x,y),则|CF|=x2+(y+2)2,点C到y=1的距离为|y-1|,
由x2+(y+2)2=|y-1|+1,解得x2=-8y,即曲线W:x2=-8y.
根据抛物线的定义可知|AF|+|BF|=p-(y1+y2),
又y1+y2=-8,
所以|AF|+|BF|=12,
因为|AF|+|BF|≥|AB|,当且仅当A,F,B三点共线时,等号成立,即|AB|≤12,所以|AB|的最大值为12.故选C.
[例3] (2022·吉林长春高三质检)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,则|FM|等于( )
A.2B.433C.23D.4
解析:抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,
设M的坐标为(y24,y),∠xFM=60°,
所以y24>1,
所以|y|=3(y24-1),
整理得 3y2-4|y|-43=0,
解得|y|=23,
又∠xFM=60°,|FM|=23sin60°=4.故选D.
[例4] (2022·山西太原二模)过抛物线x2=8y焦点F的直线交抛物线于M,N两点,若MF→=λFN→,|MN|=9,则λ的值为( )
A.13B.12
C.13或3D.12或2
解析:根据题意直线y=kx+2过抛物线C:x2=8y的焦点,
因为|MN|=9,即|MF|+|FN|=9,
又由抛物线焦点弦的性质可得1|M|+1|FN|=2p=12,联立方程组,可得|MF|=6,|FN|=3或|MF|=3,|FN|=6,
又因为MF→=λFN→,
所以λ=12或2.
故选D.
[知识链接]
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;
(2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=p1-csα,|BF|=p1+csα,弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB的倾斜角);
(3)1|AF|+1|BF|=2p;
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积:S△AOB=p22sinα=12|AB|·d=12|OF|·|y1-y2|(d为顶点到弦AB的距离);
(6)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦;
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
[典例] (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则( )
A.直线AB的斜率为26
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
解析:对于A,由题意,得F(p2,0),
因为|AF|=|AM|,且M(p,0),
所以xA=xF+xM2=34p,
将其代入抛物线方程y2=2px,
得yA=62p,所以A(34p,62p),
所以直线AB的斜率kAB=kAF=62p-034p-p2=26,故A正确;对于B,由选项A的分析,知直线AB的方程为y=26(x-p2),代入y2=2px,
得12x2-13px+3p2=0,解得x=34p或x=13p,所以xB=13p,所以yB=-63p,
所以|OB|=xB2+yB2=73p≠|OF|,故B不正确;
对于C,由抛物线的定义及选项A,B的分析,
得|AB|=xA+xB+p=1312p+p=2512p>2p,
即|AB|>4|OF|,故C正确;
对于D,易知|OA|=334p,|AM|=54p,
|OB|=73p,|BM|=103p,
则在△OAM中,由余弦定理得
cs∠OAM=|OA|2+|AM|2-|OM|22|OA|·|AM|=
3316p2+2516p2-p22×334p×54p=21533>0,
在△OBM中,由余弦定理得
cs∠OBM=|OB|2+|BM|2-|OM|22|OB|·|BM|=79p2+109p2-p22×73p×103p=470>0,
所以∠OAM<90°,∠OBM<90°,
所以∠OAM+∠OBM<180°,故D正确.故选ACD.
[拓展演练] (1)(2022·广东佛山模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点且斜率为22的直线l与抛物线C交于A,B(A在B的上方)两点,若|AF|=λ|BF|,则λ的值为( )
A.2B.3C.2D.5
(2)(2022·山东潍坊三模)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1交抛物线于A,B两点,直线l2交抛物线于C,D两点,且|AB|·|CD|的最小值是64,则抛物线的方程为 .
解析:(1)设直线l的倾斜角为α,根据条件可得tan α=22,则可得cs α=13.
由抛物线焦点弦的性质可知|AF|=p1-csα,
|BF|=p1+csα,
根据|AF|=λ|BF|可得λ=|AF||BF|=1+csα1-csα=2.故选C.
(2)如图,设直线l1的倾斜角为θ,则直线l2的倾斜角为θ+π2,
根据焦点弦长公式可得|AB|=2psin2θ,
|CD|=2psin2(θ+π2)=2pcs2θ,
所以|AB|·|CD|=2pcs2θ·2psin2θ=4p2sin2θcs2θ=16p2sin22θ,
因为0所以当θ=π4时,|AB|·|CD|取得最小值16p2,
所以16p2=64,所以p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
答案:(1)C (2)y2=4x
[选题明细表]
1.(2022·辽宁辽阳二模)下列四个抛物线中,开口朝下且焦点到准线的距离为5的是( B )
A.y2=-10x B.x2=-10y
C.y2=-5x D.x2=-5y
解析:四个抛物线中,只有抛物线x2=-10y与x2=-5y的开口朝下,又p=5,所以x2=-10y符合题意.
2.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,22)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于( C )
A.2B.3C.4D.6
解析:由题意3x0=x0+p2,x0=p4,
则(22)2=2p·p4,解得p=4.
3.一抛物线状的拱桥,当桥顶离水面1 m时,水面宽4 m,若水面下降
3 m,则水面宽为( C )
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系.
设桥顶离水面1 m时,水面与抛物线交于A,B两点,易知A(2,-1),当水面下降3 m时,水面与抛物线交于C,D两点,设C(x0,-4),且x0>0.设抛物线方程为y=ax2,将A(2,-1)代入,易得a=-14,故抛物线方程为y=-14x2,代入C(x0,-4),得-4=-14x02,解得x0=4,故水面下降3 m,则水面宽为8 m.
4.设抛物线C:y=14x2的焦点为F,直线l交抛物线C于A,B两点,|AF|=3,线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,则|BF|等于( B )
A.72 B.5 C.4 D.3
解析:抛物线C的方程可化为x2=4y,
由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,可得|AF|+|BF|=8.
又|AF|=3,所以|BF|=5.
5.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px
(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( B )
A.( 14,0) B.( 12,0) C.(1,0) D.(2,0)
解析:将直线方程与抛物线方程联立,可得y=±2p,不妨设D(2,2p),E(2,-2p),由OD⊥OE,可得OD→·OE→=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x,其焦点坐标为(12,0).
6.(2022·安徽芜湖模拟)设动圆圆心为P,该动圆过定点F(a,0),且与直线x=-a相切(a>0),圆心P轨迹为曲线C.过点F的直线l与x轴垂直,若直线l与曲线C交于A,B两点,则|AB|等于( D )
A.a2 B.a C.2a D.4a
解析:设P(x,y),由题意可得|PF|=x-(-a),
所以由抛物线的定义可知,曲线C的轨迹为y2=4ax,由题意知AB为抛物线的通径,故|AB|=4a.
7.已知圆x2+y2=r2(r>0)与抛物线y2=3x相交于M,N两点,且|MN|=23,则r= .
解析:因为圆x2+y2=r2(r>0)与抛物线y2=3x相交于M,N两点,且|MN|=23,
由对称性,设M(x,3),代入抛物线方程,
得3=3x,
解得x=1,
所以M(1,3),
故r=|OM|=12+(3)2=2.
答案:2
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,0)在点F的右边,若C上的点Q满足|QF|=|QP|,∠QPF=60°,则p= .
解析:因为|QF|=|QP|,又∠QPF=60°,
所以△QPF为正三角形,易知 F(p2,0),
又P(4,0),
所以点Q的横坐标为2+p4,
所以|QF|=2+p4+p2=2+3p4=|PF|=4-p2,解得p=85.
答案:85
9.以坐标原点O为抛物线y2=8x的顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,则△OAB的周长为 .
解析:如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,
又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=23|OM|.
因为F(2,0),所以|OM|=32|OF|=3.
所以M(3,0).故设A(3,m),m>0,代入y2=8x得m2=24.
所以m=26.
所以A(3,26),B(3,-26).
所以|OA|=|OB|=33 .
所以△OAB的周长为233+46.
答案:233+46
10.已知抛物线E:x2=8y的焦点为F,点P为E上一点,Q为PF的中点,若|PF|=10,则Q点的纵坐标为 .
解析:如图所示,分别过点P,Q作准线的垂线,垂足分别为P1,Q1,
设准线y=-2与y轴的交点为F1,
由梯形中位线定理易知
|QQ1|=|PP1|+42=|PF|+42=10+42=7,
又准线方程为y=-2,故Q点的纵坐标为5.
答案:5
11.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线( B )
A.经过点O
B.经过点P
C.平行于直线OP
D.垂直于直线OP
解析:因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据定义可知,
|PQ|=|PF|,
所以线段FQ的垂直平分线经过点P.
12.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为93,则下列选项正确的是( BC )
A.|BF|=3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=12x
解析:根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示,
由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,故B正确;
由△ABF的面积为34|BF|2=93,
可知|BF|=6.故A错误;∠FBD=30°,
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°=3=p,故C正确;该抛物线的方程为y2=6x.故D错误.
13.(多选题)(2022·辽宁葫芦岛一模)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,22),焦点为F,则下列选项正确的是( AC )
A.点M到焦点的距离为3
B.直线MF与x轴垂直
C.直线MF与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0
解析:由题意知,(22)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线x=-1.
由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;
由焦点F(1,0)知直线MF不与x轴垂直,故B错误;
由焦点弦的性质可知,C正确;由2-2×22+1≠0知M不在直线x-2y+
1=0上,故D错误.
14.写出满足下列条件的一个抛物线方程C: .
①该抛物线方程是标准方程;
②过A(0,2)的任意一条直线与该抛物线C有交点,且对于C上的任意一点P,|AP|的最小值为2.
解析:设抛物线C:x2=2py(p>0),点P(x,y)是抛物线上任意一点,由题意可知
|AP|=x2+(y-2)2=2py+y2-4y+4=(y+p-2)2+4-(p-2)2,
当y=2-p时,|AP|min=4-(p-2)2=2,
解得p=2.
由于点A(0,2)在抛物线C:x2=4y内,因此满足过A(0,2)的任意一条直线与该抛物线C有交点.
答案:x2=4y
15.(2022·湖南长沙联考)设抛物线y2=43x的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(43,0),AF与BC相交于点D.若|CF|=|AF|,则△ACD的面积为 .
解析:不妨设A在第一象限,如图所示,
由已知F(3,0),C(43,0),
得|CF|=33.
因为AB∥x轴,
|CF|=|AF|,
又|AB|=|AF|,
所以四边形ABFC为平行四边形,
且|AB|=|CF|=33,
所以xA+3=33,
解得xA=23,
代入y2=43x,
得yA=26,
所以S△ACD=12S△ABC=12×12×33×26=922.
答案:922
16.(多选题)已知P(x,y)为曲线x=2y上一动点,则下列说法正确的是( BCD )
A.x2+(y-1)2的最小值为2
B.P到直线y=-x-2的距离的最小值为2
C.x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-5)2的最小值为6
D.存在一个定点和一条定直线,使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
解析:曲线x=2y,即x2=4y(x≥0),则曲线x=2y为抛物线x2=4y的右半部分,如图所示.可得抛物线的焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:
y=-1,对于A,由x2+(y-1)2=|PF|≥1,所以A错误;
对于B,结合图象可得曲线上的点中原点到直线y=-x-2的距离最小,最小值为|0+0+2|2=2,所以B正确;
对于C,由点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d,点P到准线l:y=-1的距离为d1,则x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-5)2=|PF|+|PA|=d1+
|PA|≥d=5+1=6,
所以x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-5)2的最小值为6,所以C正确;
对于D,根据抛物线的定义,点P到焦点F(0,1)的距离等于点P到准线的距离,所以D正确.
标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
F(p2,0)
F(-p2,0)
F(0,p2)
F(0,-p2)
离心率
e=1
准线
方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0,
y∈R
x≤0,
y∈R
y≥0,
x∈R
y≤0,
x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
知识点、方法
题号
抛物线的定义、标准方程
1,2,5,11,14
抛物线的几何性质
4,6,12
抛物线的综合
3,7,8,9,10,13,15,16
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
(1)若抛物线的准线与对称轴的交点为M,则抛物线的顶点为焦点与M的中点.
(2)抛物线的焦半径与焦点弦:抛物线上任意一点P(x0,y0)与焦点F的连线段称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.求解焦点弦的长度时,常利用抛物线的定义转化为交点到相应的准线的距离.
1.抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(1,y0)到焦点F的距离为3,则p的值为( D )
A.1B.2C.3D.4
解析:由抛物线的定义可知,|MF|=1+p2=3,
所以p=4.
2.(选择性必修一P136T3改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( B )
A.9B.8C.7D.6
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
3.抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为 .
解析:因为抛物线方程可以化为x2=4y,所以p=2,焦点到准线的距离为p=2.
答案:2
4.顶点在原点,且过点P(-1,2)的抛物线的标准方程是 .
解析:设抛物线的方程是y2=kx或x2=my,代入点P(-1,2),解得k=-4或m=12,
所以y2=-4x或x2=12y.
答案:y2=-4x或x2=12y
抛物线的定义及标准方程
1.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于( B )
A.2B.22C.3D.32
解析:法一 由题意可知F(1,0),
准线方程为x=-1,设A(y024,y0),
由抛物线的定义可知|AF|=y024+1,
又|BF|=3-1=2,
由|AF|=|BF|,可得y024+1=2,
解得y0=±2,
所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),
故|AB|=(1-3)2+(2-0)2=22.
法二 由题意可知F(1,0),|BF|=2,
所以|AF|=2,抛物线通径为4,
所以|AF|=2为通径的一半,
所以AF⊥x轴,
所以|AB|=22+22=22.
2.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为( A )
A.抛物线B.双曲线
C.椭圆D.圆
解析:由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.
3.(2022·河南商丘三模)写出一个同时满足以下条件的抛物线C的方程为 .
①C的顶点在坐标原点;
②C的对称轴为坐标轴;
③C的焦点到其准线的距离为34.
解析:由①②可知C的方程为抛物线的标准方程,由③可知p=34,所以抛物线C的方程可以为y2=32x(答案不唯一).
答案:y2=32x(答案不唯一)
4.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
解析:法一 依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(1,t2),|MF|=2+1=3,
所以|FN|=2|MF|=6.
法二 如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,
由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,
从而|FN|=2|FM|=6.
答案:6
(1)利用抛物线的定义可解决的常见问题
①轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
②距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
(2)求抛物线的标准方程的方法
①因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
②因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.
与抛物线有关的最值问题
[例1] (多选题)(2022·福建泉州模拟)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线y2=4x上,则下列选项正确的是( )
A.当a=1时,|PA|最小值为1
B.当a=3时,|PA|的最小值为3
C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4
D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2
解析:当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点,
设P(x0,y0),x0≥0,则|PA|=x0+1≥1,
故|PA|的最小值为1,A正确;
当a=1时,设抛物线的准线为l:x=-1,如图(1),过点P作PN⊥l于点N,
此时|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故当N,P,M三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,此时(|PA|+|PM|)min=3+1=4,C正确;
当a=3时,A(3,0),如图(2),连接AM,并延长AM交抛物线于点P′.
当P在P′位置时,此时|P′A|-|P′M|=|AM|为最大值,
当P在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于|AM|,
因为|AM|=(3-3)2+(-2-0)2=2,故D正确;此时|PA|=(x0-3)2+y02=(x0-3)2+4x0=(x0-1)2+8,
当x0=1时,|PA|min=22,B错误.故选ACD.
(1)求解抛物线上的点到焦点与到定点(或定直线)距离的和、差最值问题,常利用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再结合图形及平面几何的有关性质求解.
(2)涉及抛物线上的点的坐标有关的最值问题,可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解,但要注意抛物线上的点的坐标的取值范围.
[针对训练] (1)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和到y轴的距离之和的最小值是( )
A.3B.5
C.5-1D.2
(2)若B为抛物线y2=x上的动点,点B到直线x-2y+2=0的距离的最小值为 ,此时点B的坐标为 .
解析:(1)由题意知抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.如图,点P到直线l的距离为|PA|,根据抛物线定义P到y轴距离等于|PF|-1,所以P到直线l的距离与到y轴的距离之和等于|PA|+|PF|-1,由于 |PA|+|PF|-1≥|AF|-1,所以当P,A,F三点共线时,|AF|最小,即|FB|,经计算点F到直线l的距离为5,所以最小距离为5-1.故选C.
(2)设B(t2,t),则点B到直线x-2y+2=0的距离为d=|t2-2t+2|5=|(t-1)2+1|5.因此当t=1时,d有最小值55,此时B(1,1).
答案:(1)C (2)55 (1,1)
抛物线的几何性质
[例2] (1)已知点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F,则直线AB的方程是( )
A.x-p=0B.4x-3p=0
C.2x-5p=0D.2x-3p=0
(2)设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2),且△PQF的面积为10,则该抛物线的方程为 .
解析:(1)如图所示,因为F为△AOB的垂心,F为焦点,|OA|=|OB|,
所以OF垂直平分线段AB,
所以由抛物线的对称性可知直线AB垂直于x轴.
设A(2pt2,2pt),B(2pt2,-2pt),其中t>0.
因为F为垂心,所以OB⊥AF,
所以kOB·kAF=-1,
即-2pt2pt2·2pt2pt2-p2=-1,解得t2=54,
所以直线AB的方程为x=2pt2=52p,
即2x-5p=0.故选C.
(2)根据题意作出满足题意的几何图形如图所示.
其中,F(p2,0),直线QE为抛物线的准线,且准线方程为x=-p2,PQ⊥QE,A(0,2).
设P(x0,y0),则Q(-p2,y0),|PQ|=x0+p2.
在△QEF中,O为EF的中点,则A为QF的中点,
即|QE|=4,y0=4.
因为△PQF的面积为10,
所以12(x0+p2)×4=10,
即x0=5-p2.
因为y02=2px0,
所以42=2p(5-p2),
即p2-10p+16=0.
所以p=2或p=8.
所以该抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
答案:(1)C (2)y2=4x或y2=16x
涉及抛物线的点构成的具有对称性的几何图形时,要注意借助抛物线的对称性与数形结合思想的应用.
[针对训练] (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,则△MON的边长为 ;
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
解析:(1)因为△MON为正三角形,
所以|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴,
设MN:x=t,则y2=2pt,
解得y1=2pt,y2=-2pt.
所以|MN|=22pt,
所以tan 30°=12|MN|t=2ptt=33,
解得t=6p.所以|MN|=43p.
(2)由题易得|OF|=p2,|PF|=p,
∠OPF=∠PQF,
所以tan∠OPF=tan∠PQF,
所以|OF||PF|=|PF||FQ|,即p2p=p6,
解得p=3,
所以C的准线方程为x=-32.
答案:(1)43p (2)x=-32
[例1] 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则点M到y轴的最短距离为( )
A.12B.1C.32D.2
解析:
如图所示,抛物线y2=2x的焦点F(12,0),准线为l:x=-12,
分别过A,B,M作AA′,BB′,MM′垂直于l,垂足分别为A′,B′,M′.
由抛物线定义知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.
又M为AB的中点,
由梯形中位线定理得|MM′|=12(|AA′|+|BB′|)=12(|FA|+|FB|)≥12|AB|=12×3=32,
则M到y轴的距离d≥32-12=1(当且仅当AB过抛物线的焦点时,取等号),
所以dmin=1,即点M到y轴的最短距离为1.故选B.
[例2] 已知动点C到点F(0,-2)比到直线y=1的距离大1,动点C的轨迹为曲线W,点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线W上两点,若y1+y2=-8,则|AB|的最大值为( )
A.10B.14C.12D.16
解析:设点C(x,y),则|CF|=x2+(y+2)2,点C到y=1的距离为|y-1|,
由x2+(y+2)2=|y-1|+1,解得x2=-8y,即曲线W:x2=-8y.
根据抛物线的定义可知|AF|+|BF|=p-(y1+y2),
又y1+y2=-8,
所以|AF|+|BF|=12,
因为|AF|+|BF|≥|AB|,当且仅当A,F,B三点共线时,等号成立,即|AB|≤12,所以|AB|的最大值为12.故选C.
[例3] (2022·吉林长春高三质检)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,则|FM|等于( )
A.2B.433C.23D.4
解析:抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,
设M的坐标为(y24,y),∠xFM=60°,
所以y24>1,
所以|y|=3(y24-1),
整理得 3y2-4|y|-43=0,
解得|y|=23,
又∠xFM=60°,|FM|=23sin60°=4.故选D.
[例4] (2022·山西太原二模)过抛物线x2=8y焦点F的直线交抛物线于M,N两点,若MF→=λFN→,|MN|=9,则λ的值为( )
A.13B.12
C.13或3D.12或2
解析:根据题意直线y=kx+2过抛物线C:x2=8y的焦点,
因为|MN|=9,即|MF|+|FN|=9,
又由抛物线焦点弦的性质可得1|M|+1|FN|=2p=12,联立方程组,可得|MF|=6,|FN|=3或|MF|=3,|FN|=6,
又因为MF→=λFN→,
所以λ=12或2.
故选D.
[知识链接]
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;
(2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=p1-csα,|BF|=p1+csα,弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB的倾斜角);
(3)1|AF|+1|BF|=2p;
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积:S△AOB=p22sinα=12|AB|·d=12|OF|·|y1-y2|(d为顶点到弦AB的距离);
(6)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦;
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
[典例] (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则( )
A.直线AB的斜率为26
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
解析:对于A,由题意,得F(p2,0),
因为|AF|=|AM|,且M(p,0),
所以xA=xF+xM2=34p,
将其代入抛物线方程y2=2px,
得yA=62p,所以A(34p,62p),
所以直线AB的斜率kAB=kAF=62p-034p-p2=26,故A正确;对于B,由选项A的分析,知直线AB的方程为y=26(x-p2),代入y2=2px,
得12x2-13px+3p2=0,解得x=34p或x=13p,所以xB=13p,所以yB=-63p,
所以|OB|=xB2+yB2=73p≠|OF|,故B不正确;
对于C,由抛物线的定义及选项A,B的分析,
得|AB|=xA+xB+p=1312p+p=2512p>2p,
即|AB|>4|OF|,故C正确;
对于D,易知|OA|=334p,|AM|=54p,
|OB|=73p,|BM|=103p,
则在△OAM中,由余弦定理得
cs∠OAM=|OA|2+|AM|2-|OM|22|OA|·|AM|=
3316p2+2516p2-p22×334p×54p=21533>0,
在△OBM中,由余弦定理得
cs∠OBM=|OB|2+|BM|2-|OM|22|OB|·|BM|=79p2+109p2-p22×73p×103p=470>0,
所以∠OAM<90°,∠OBM<90°,
所以∠OAM+∠OBM<180°,故D正确.故选ACD.
[拓展演练] (1)(2022·广东佛山模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点且斜率为22的直线l与抛物线C交于A,B(A在B的上方)两点,若|AF|=λ|BF|,则λ的值为( )
A.2B.3C.2D.5
(2)(2022·山东潍坊三模)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1交抛物线于A,B两点,直线l2交抛物线于C,D两点,且|AB|·|CD|的最小值是64,则抛物线的方程为 .
解析:(1)设直线l的倾斜角为α,根据条件可得tan α=22,则可得cs α=13.
由抛物线焦点弦的性质可知|AF|=p1-csα,
|BF|=p1+csα,
根据|AF|=λ|BF|可得λ=|AF||BF|=1+csα1-csα=2.故选C.
(2)如图,设直线l1的倾斜角为θ,则直线l2的倾斜角为θ+π2,
根据焦点弦长公式可得|AB|=2psin2θ,
|CD|=2psin2(θ+π2)=2pcs2θ,
所以|AB|·|CD|=2pcs2θ·2psin2θ=4p2sin2θcs2θ=16p2sin22θ,
因为0
所以16p2=64,所以p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
答案:(1)C (2)y2=4x
[选题明细表]
1.(2022·辽宁辽阳二模)下列四个抛物线中,开口朝下且焦点到准线的距离为5的是( B )
A.y2=-10x B.x2=-10y
C.y2=-5x D.x2=-5y
解析:四个抛物线中,只有抛物线x2=-10y与x2=-5y的开口朝下,又p=5,所以x2=-10y符合题意.
2.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,22)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于( C )
A.2B.3C.4D.6
解析:由题意3x0=x0+p2,x0=p4,
则(22)2=2p·p4,解得p=4.
3.一抛物线状的拱桥,当桥顶离水面1 m时,水面宽4 m,若水面下降
3 m,则水面宽为( C )
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系.
设桥顶离水面1 m时,水面与抛物线交于A,B两点,易知A(2,-1),当水面下降3 m时,水面与抛物线交于C,D两点,设C(x0,-4),且x0>0.设抛物线方程为y=ax2,将A(2,-1)代入,易得a=-14,故抛物线方程为y=-14x2,代入C(x0,-4),得-4=-14x02,解得x0=4,故水面下降3 m,则水面宽为8 m.
4.设抛物线C:y=14x2的焦点为F,直线l交抛物线C于A,B两点,|AF|=3,线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,则|BF|等于( B )
A.72 B.5 C.4 D.3
解析:抛物线C的方程可化为x2=4y,
由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,可得|AF|+|BF|=8.
又|AF|=3,所以|BF|=5.
5.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px
(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( B )
A.( 14,0) B.( 12,0) C.(1,0) D.(2,0)
解析:将直线方程与抛物线方程联立,可得y=±2p,不妨设D(2,2p),E(2,-2p),由OD⊥OE,可得OD→·OE→=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x,其焦点坐标为(12,0).
6.(2022·安徽芜湖模拟)设动圆圆心为P,该动圆过定点F(a,0),且与直线x=-a相切(a>0),圆心P轨迹为曲线C.过点F的直线l与x轴垂直,若直线l与曲线C交于A,B两点,则|AB|等于( D )
A.a2 B.a C.2a D.4a
解析:设P(x,y),由题意可得|PF|=x-(-a),
所以由抛物线的定义可知,曲线C的轨迹为y2=4ax,由题意知AB为抛物线的通径,故|AB|=4a.
7.已知圆x2+y2=r2(r>0)与抛物线y2=3x相交于M,N两点,且|MN|=23,则r= .
解析:因为圆x2+y2=r2(r>0)与抛物线y2=3x相交于M,N两点,且|MN|=23,
由对称性,设M(x,3),代入抛物线方程,
得3=3x,
解得x=1,
所以M(1,3),
故r=|OM|=12+(3)2=2.
答案:2
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,0)在点F的右边,若C上的点Q满足|QF|=|QP|,∠QPF=60°,则p= .
解析:因为|QF|=|QP|,又∠QPF=60°,
所以△QPF为正三角形,易知 F(p2,0),
又P(4,0),
所以点Q的横坐标为2+p4,
所以|QF|=2+p4+p2=2+3p4=|PF|=4-p2,解得p=85.
答案:85
9.以坐标原点O为抛物线y2=8x的顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,则△OAB的周长为 .
解析:如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,
又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=23|OM|.
因为F(2,0),所以|OM|=32|OF|=3.
所以M(3,0).故设A(3,m),m>0,代入y2=8x得m2=24.
所以m=26.
所以A(3,26),B(3,-26).
所以|OA|=|OB|=33 .
所以△OAB的周长为233+46.
答案:233+46
10.已知抛物线E:x2=8y的焦点为F,点P为E上一点,Q为PF的中点,若|PF|=10,则Q点的纵坐标为 .
解析:如图所示,分别过点P,Q作准线的垂线,垂足分别为P1,Q1,
设准线y=-2与y轴的交点为F1,
由梯形中位线定理易知
|QQ1|=|PP1|+42=|PF|+42=10+42=7,
又准线方程为y=-2,故Q点的纵坐标为5.
答案:5
11.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线( B )
A.经过点O
B.经过点P
C.平行于直线OP
D.垂直于直线OP
解析:因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据定义可知,
|PQ|=|PF|,
所以线段FQ的垂直平分线经过点P.
12.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为93,则下列选项正确的是( BC )
A.|BF|=3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=12x
解析:根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示,
由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,故B正确;
由△ABF的面积为34|BF|2=93,
可知|BF|=6.故A错误;∠FBD=30°,
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°=3=p,故C正确;该抛物线的方程为y2=6x.故D错误.
13.(多选题)(2022·辽宁葫芦岛一模)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,22),焦点为F,则下列选项正确的是( AC )
A.点M到焦点的距离为3
B.直线MF与x轴垂直
C.直线MF与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0
解析:由题意知,(22)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线x=-1.
由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;
由焦点F(1,0)知直线MF不与x轴垂直,故B错误;
由焦点弦的性质可知,C正确;由2-2×22+1≠0知M不在直线x-2y+
1=0上,故D错误.
14.写出满足下列条件的一个抛物线方程C: .
①该抛物线方程是标准方程;
②过A(0,2)的任意一条直线与该抛物线C有交点,且对于C上的任意一点P,|AP|的最小值为2.
解析:设抛物线C:x2=2py(p>0),点P(x,y)是抛物线上任意一点,由题意可知
|AP|=x2+(y-2)2=2py+y2-4y+4=(y+p-2)2+4-(p-2)2,
当y=2-p时,|AP|min=4-(p-2)2=2,
解得p=2.
由于点A(0,2)在抛物线C:x2=4y内,因此满足过A(0,2)的任意一条直线与该抛物线C有交点.
答案:x2=4y
15.(2022·湖南长沙联考)设抛物线y2=43x的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(43,0),AF与BC相交于点D.若|CF|=|AF|,则△ACD的面积为 .
解析:不妨设A在第一象限,如图所示,
由已知F(3,0),C(43,0),
得|CF|=33.
因为AB∥x轴,
|CF|=|AF|,
又|AB|=|AF|,
所以四边形ABFC为平行四边形,
且|AB|=|CF|=33,
所以xA+3=33,
解得xA=23,
代入y2=43x,
得yA=26,
所以S△ACD=12S△ABC=12×12×33×26=922.
答案:922
16.(多选题)已知P(x,y)为曲线x=2y上一动点,则下列说法正确的是( BCD )
A.x2+(y-1)2的最小值为2
B.P到直线y=-x-2的距离的最小值为2
C.x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-5)2的最小值为6
D.存在一个定点和一条定直线,使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
解析:曲线x=2y,即x2=4y(x≥0),则曲线x=2y为抛物线x2=4y的右半部分,如图所示.可得抛物线的焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:
y=-1,对于A,由x2+(y-1)2=|PF|≥1,所以A错误;
对于B,结合图象可得曲线上的点中原点到直线y=-x-2的距离最小,最小值为|0+0+2|2=2,所以B正确;
对于C,由点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d,点P到准线l:y=-1的距离为d1,则x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-5)2=|PF|+|PA|=d1+
|PA|≥d=5+1=6,
所以x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-5)2的最小值为6,所以C正确;
对于D,根据抛物线的定义,点P到焦点F(0,1)的距离等于点P到准线的距离,所以D正确.
标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
F(p2,0)
F(-p2,0)
F(0,p2)
F(0,-p2)
离心率
e=1
准线
方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0,
y∈R
x≤0,
y∈R
y≥0,
x∈R
y≤0,
x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
知识点、方法
题号
抛物线的定义、标准方程
1,2,5,11,14
抛物线的几何性质
4,6,12
抛物线的综合
3,7,8,9,10,13,15,16
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