湖南省邵阳市邵东市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省邵阳市邵东市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 在，，0，1这四个有理数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
答案：A
解析：解：，，
又∵，
，
在，，0，1这四个有理数中，
，
最小的数是，
故选：A．
2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：解：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：A．
3. 芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示（ ）m．（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：由题意得
在前面有个，
在前面有个，
．
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：，故A选项不符合题意；
，故B不选项符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：C．
5. 如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵如图是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面，且，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
故选：B．
6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
7. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：阻力和阻力臂的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
阻力和阻力臂的函数关系式为，
，
，
当时，，
小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足，
故选：D．
8. 如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵与相切于点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
即的度数是．
故选：A．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵光线平行于主光轴，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 周长的最小值为6D. 四边形面积的最小值为
答案：A
解析：解：如图所示，

延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，

设的中点分别为，
则
∴当点上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，

∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，

在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于

∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11. 分解因式：______．
答案：
解析：解：．
故答案为：．
12. 睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是___小时．
答案：9.1
解析：解：（小时），
即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时．
故答案为：9.1．
13. 如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是___________．

答案：##
解析：解：设围成的正方形的边长为a，
则正方形的对角线长为，
五号板的直角边为，
∴六号板的一边为，另一边为：
∴六号板的面积为
正方形的面积为：
所以停在1号板区域的概率是
故答案为：
14. 已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为_____．
答案：1
解析：，
得，
∵
∴
解得，
故答案为：1．
15. 如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为________．
答案：
解析：解：∵矩形中，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________；
答案：
解析：解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
．
故答案为：．
17. 如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则______．

答案：
解析：∵正方形的面积为7，正方形的面积为9
∴，
即，
∴
故答案为：
18. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③，④．其中正确的为 _____．（填序号）
答案：
解析：①∵四边形为正方形，为对角线；
∴；
，，；
∵是等边三角形；
∴，°；
∴；
在中，；
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
故结论①正确．
②∵，，
∴，
∴，
故结论②正确．
③过点H作于T，于K，如图所示：

∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴，
故结论③不正确．
④∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
故结论④正确；
综上所述：正确的结论是；
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19. 计算：．
答案：
解析：解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解析：解：
当时，原式．
21. 如图，在等边中，点D，E分别在边上，且与交于点F．求证：．
答案：见解析
解析：证明：∵是等边三角形，
∴，
在与中，
∴，
∴．
22. 1996年，国家卫生部、国家教育部、团中央、中国残联等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，确定每年6月6日为“全国爱眼日”．2022年6月6日，某中学在全校七、八年级共1200名学生中开展“全国爱眼日”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩： 5，5，5，5，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10．
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）估计该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，你认为两个年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩谁更优异．（一条理由即可）
答案：（1）7.5，7，7
（2）330人 （3）七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异，理由见解析
小问1解析：
由统计图与已知数据可得：a==7.5，b=，c=7．
故答案为：7.5，7，7；
小问2解析：
1200×=330（人），
答：该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数约为330人；
小问3解析：
七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异，理由如下，
∵七年级的中位数与合格率高于八年级的中位数与合格率 ，
∴七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异．
23. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副．
答案：（1）每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元
（2）最多购买乒乓球拍副
小问1解析：
解：设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴（元）．
答：每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元；
小问2解析：
设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为．
答：最多购买乒乓球拍副．
24. 2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为；后飞船到达处，此时从处测得仰角为．已知飞船从处到处的平均速度为，求雷达站到飞船发射点的距离．（结果精确到，）
答案：
解析：解：由题意得
，
（）
（），
，
，
，
设，
在中，
，
，
，
解得：；
故雷达站到飞船发射点的距离．
25. 如图，以边的边为直径作圆O，交于D，E在弧上，连接、、，若．
（1）求证：为切线；
（2）求证：；
（3）若点E是弧的中点，与交于点F，当，时，求的长．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）
小问1解析：
证明：为直径，
，
，
，，
，
，即，
是直径，
为切线．
小问2解析：
证明：，
，
，
，
，
小问3解析：
解：，，
，
，
，
在中，，
在中，，
过点F作，垂足为点G，如图，
点E是弧的中点，
，
，
，，
，
，
又，
．
26. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）是直角三角形
（3）点的坐标为或
小问1解析：
解：矩形的顶点坐标分别是，，
矩形的“梦之点”满足，，
点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
小问2解析：
点是抛物线上的“梦之点”，
，
解得：，，
当时，，当时，，
，，
，
顶点，
，，，
，
直角三角形．
小问3解析：
由（2）可得，，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，
，
点、在直线上，
点在二次函数上，
联立，
解得：，，
点的坐标为或．
睡眠时间
8小时
9小时
10小时
人数
6
24
10
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
80%