湖南省益阳市沅江市两校联考2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省益阳市沅江市两校联考2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共21页。
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示∶
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科实行闭卷考试，共两道大题，考试时量60分钟，满分100分．
一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)
1. 已知有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，那么（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：根据数轴上点的位置可得，则
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2. 下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：左视图为从左往右看得到的视图，
A.球的左视图是圆，
B.圆柱的左视图是长方形，
C.圆锥的左视图是等腰三角形，
D.圆台的左视图是等腰梯形，
故符合题意的选项是A.
3. 如图，是小明连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息不正确的是（ ）
A. 这两周体温的众数为B. 第一周平均体温高于第二周平均体温
C. 第一周体温的中位数为D. 第二周的体温比第一周的体温更加平稳
答案：C
解析：
详解：解：这两周体温出现了5次，次数最多，众数为，A选项正确，不符合题意；
第一周的平均体温为：，
第二周的平均体温为：，
故B选项正确，不符合题意；
对第一周的体温数据进行从小到大排序，处在中间位置的数为，故中位数为，
C选项错误，符合题意；
根据折线统计图可得：第二周体温比第一周的体温更加平稳，D选项正确，不符合题意；
故选：C
4. 若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A. B. C. 3D.
答案：A
解析：
详解：解：把代入方程得：
，
解得：，
故选：A．
5. 与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，
∴，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是：12．
故选A．
6. 如图，两条平行直线，，从点光射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：如图，
∵从点光射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，
∴，
∵，
∴，
∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．
故选：A．
7. 若反比例函数的图象经过点，则当时，函数值y的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得，
∴反比例函数的解析式为，
∴当时，，
∴由反比例函数的图象与性质可知，当时，函数值y的取值范围为．
故选：D．
8. 对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：B．
9. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：
详解：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：
详解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，所以②错误；
∵，，
∴，
把代入得，
∴，所以③正确；
∵，对称轴为直线，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确；
综上正确的有3个，
故选C
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11. 分解因式：____．
答案：
解析：
详解：解：．
故答案为：
12. 一只蚂蚁由数轴上表示的点先向右爬3个单位长度，再向左爬5个单位长度，则此蚂蚁所在的位置表示的数是________．
答案：-4
解析：
详解：解：蚂蚁所在的位置为：-2+3-5=-4．
故答案为：-4．
13. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个.
答案：20
解析：
详解：∵摸到黄球的频率稳定在30%，
∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个，
∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），
故答案为20．
14. 如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是______．
答案：
解析：
详解：解：∵3x-a≤-1，
∴3x≤a-1，
则x≤， 由数轴知x≤-1，
∴ =-1， 解得a=-2，
故答案为：-2．
15. 在等腰三角形中，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为________．
答案：或
解析：
详解：解：如图所示，
∵，
∴，设，则，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，则，
∵是的外角，且，
∴，即，
解得，，
∴；
如图所示，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
16. 在如图所示的正方形网格中，的三个顶点都在格点处，则的值等于___________．
答案：
解析：
详解：如图，过点A作于点D.，设每个小正方形的边长为1，
由勾股定理可知，，，
设，
，
在中，，
在中，，
即，解得，
，
，
故答案为.
17. 如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若＝2，则+＝___．
答案：2
解析：
详解：解：∵点A，B是双曲线y上的点，
∴+＝+＝3，
∴+＝6﹣2＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
18. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．

答案：
解析：
详解：解：的周长为32，
．
为DE的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，O为BD的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19. 先化简，再求值：，其中
答案：，
解析：
详解：解：原式=
=
=
=,
将代入，则
原式=．
20. 空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
答案：600（1+3）米
解析：
详解：解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．
在直角△ABF中，∠A＝30°，
∴BF＝AB•sin30°＝1200×＝600（米），
∴EG＝BF＝600（米）．
由题意，可得BC＝6×10×60＝3600（米），
在直角△DAE中，∠CBE＝45°，
∴CE＝CE＝×3600＝1800（米），
∴CG＝CE+EG＝＝600（1+3）米，
则山顶C到AD的距离是600（1+3）米．
21. 某校七年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，七年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少度？
（3）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有多少名？
答案：（1）条形统计图如图所示，见解析；（2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是144°；（3）估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名.
解析：
详解：解：（1）本次调查共抽取的学生有（名）
选择“友善”的人数有（名）
∴条形统计图如图所示：
（2）∵选择“爱国”主题所对应的百分比为，
∴选择“爱国”主题所对应的圆心角是；
（3）该校七年级共有1200名学生，估计选择以“友善”为主题七年级学生有名.
故答案为（1）条形统计图如图所示，见解析；（2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是144°；（3）估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名.
22. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当的边满足______时，四边形为矩形．
答案：（1）证明见解析；
（2）AB=AC ．
解析：
小问1详解：
证明∶∵△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O， M、N分别是BO、CO的中点，
∴ED// BC且ED=BC，MN// BC且MN=BC，
∴EDMN且ED=MN，
∴四边形MNDE是平行四边形．
小问2详解：
解：当AB=AC时，四边形为矩形，理由如下：
∵△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O， M、N分别是BO、CO的中点，
∴AD=AC， AE=AB，ON=NC，OM=MC，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴，
∴BD=CE，
∵四边形EDNM是平行四边形，
∴OE=ON，OD=OM，
∵BD=CE, ON=NC，OM=MB，
∴EN=2ON=2OM=MD，
∴是矩形．
23. 重庆位于中国内陆西南部、长江上游地区，地貌以丘陵、山地为主，故有“山城”之称．重庆有很多白旅游景区，游客满意度综合排名居全国第一．据统计重庆某级景区在年共接待游客达万人次，在年接待游客达万人次．
（1）若该级景区年到年接待游客人数的年平均增长率都相同，求这两年的年平均增率．
（2）某旅行社专门定制了一条来重庆的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过人，人均旅游费为元；如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元．如果该旅行社组织的一个旅行团共收取了元的费用，求这个旅行团的人数．
答案：（1）
（2）人
解析：
小问1详解：
解：设这两年的年平均增率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：这两年的年平均增率为；
小问2详解：
设这个旅行团共人，
∵，，
∴，
根据题意得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：这个旅行团共人．
24. 设，，…，容易知道，，，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整数，所以，，都能被8整除．
（1）试探究是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出，，…这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，为完全平方数．
答案：（1）能被8整除；（2）n为一个完全平方数两倍时，是完全平方数．
解析：
详解：由题意得：，
能被8整除．
（2）由（1）知，
当时，，是完全平方数；
当时，，是完全平方数；
当时，，是完全平方数；
当时，，是完全平方数．
这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．
由、、、四个完全平方数可知，
所以n为一个完全平方数两倍时，是完全平方数．
25. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点P的坐标；
答案：（1）抛物线的解析式；
（2）点P的坐标为．
解析：
小问1详解：
解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式；
小问2详解：
解：令，则，
∴，
设点M的坐标为，
则有，
，．
根据题意，
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，，，
∵，，
∴．
∴，
∴点P的坐标为．
26. （1）如图，是的直径，与交于点F，点E在上，连接、， ，求证： ；从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若，，求的长．
答案：（1）②作为条件，①作为结论；见解析；（答案不唯一）（2）
解析：
详解：解：若②作为条件，①作为结论．
证明：连接，如图，
∵弦平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵为的半径，
∴与相切；
若①作为条件，②作为结论．
证明：连接，如图，
∵弦平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴与相切，为的半径，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵弦平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，又，，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵为的直径，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴．