四川省南充市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份四川省南充市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.一张矩形纸片，截下一个三角形后，剩下部分的形状不可能是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 四边形D. 五边形
4.如图，在正五边形中，作于，连接与交于下列结论，错误的是( )
A.
B.
C.
D.
5.不等式组的整数解的个数是( )
A. B. C. D.
6.已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差为( )
A. B. C. D.
7.若，，是抛物线上不同三点，则的值为( )
A. B. C. D. 不确定
8.如图，，，，均在上，，若，则的长最大为( )
A.
B.
C.
D.
9.甲计划用若干天完成某项工作，两天后，乙加入合做，结果提前两天完成任务若甲、乙两人工效相同，则甲计划完成此项工作的天数是( )
A. B. C. D.
10.如图，在边长为的正方形中，为边靠近点的四等分点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小： ______选用“”或“”
12.在一个不透明的袋子中装有张完全相同的卡片，分别写有数字，，从中随机抽取两张，组成的两位数是的倍数的概率为______．
13.如图，在直角坐标系中，已知，将线段绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是______．
14.设是关于的方程的一个实数根，若，则 ______．
15.如图，▱中，，在的延长线上，连接，，分别与交于，，若，，，则与的大小关系是______．
16.如图，经过的抛物线与轴有个交点的横坐标在与之间下列结论：；；；正确的有______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简：．
18.本小题分
如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．
19.本小题分
为全面增强中学生体质健康，掌握多项活动要领，每月课外活动选择一项侧重训练跳绳；篮球；排球；足球某校开学初共有名男生选择了项目，两周后从这名男生中随机抽取了人在操场进行测试，并将他们的成绩个绘制成频数分布直方图．

若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为，，，，，，则这组数据的中位数是______，众数是______；
根据题中信息，估计选择项目的男生共有______人，扇形统计图中项目所占的圆心角为______度；
学校准备在不低于个的组中推荐名参加全区的跳绳比赛，请用树状图或列表法求其中的甲和乙同时被选中的概率．
20.本小题分
已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围；
若，求的值．
21.本小题分
如图，双曲线的一支与直线交于，与直线另一交点为，直线与两坐标轴分别交于，．
求双曲线的解析式；
作轴于，轴于，当时，比较与面积的大小．
22.本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，于，平分．
是否为的切线，请证明你的判断；
若，求的值．
23.本小题分
一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出件．
若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？
要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？
平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？
24.本小题分
如图，矩形具有下列特征：在边上取点，连接，，当平分时，将沿翻折，点恰在线段上．
这样的矩形，长与宽之比为______；
如图，连接并延长交于，判断的形状并证明；
在图中，有无与相似的三角形？并证明你的结论．
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
如图，点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求，两点间距离的最大值；
如图，连接，在抛物线上求出点，使．
答案和解析
1.
解析：解：，
的相反数为，
故选：．
先计算，再根据相反数的定义可得．
本题主要考查乘方运算和相反数，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方的定义和相反数的定义．
2.
解析：解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用平方差公式，单项式乘单项式的法则，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.
解析：解：一张矩形纸片，截下一个三角形后，剩下部分的形状可能有五边形，四边形，等腰三角形，
但不能是等边三角形，
故选：．
根据矩形的性质和截取的图形形状判断即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和截取的图形形状解答．
4.
解析：解：五边形是正五边形，
，，
，即，
，
，
因此不符合题意；
，，
，
，
，
，
因此不符合题意；
，，
，
因此不符合题意；
在中，，，，
，
即，
因此符合题意．
故选：．
根据正五边形的性质以及等腰三角形的性质逐项进行判断即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及等腰三角形的性质和判定是正确解答的关键．
5.
解析：解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解为、、、、，
故选：．
分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.
解析：解：由题意知，，
解得，
所以这组数据为、、、、，
则这组数据的方差为，
故选：．
先根据算术平均数的定义列式求出的值，再依据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义．
7.
解析：解：由抛物线的对称轴为，
得，关于对称，
故，
由是抛物线上的点，
得．
故选：．
由抛物线的对称轴为，得，关于对称，故，由是抛物线上的点，得．
本题主要考查了二次函数知识，解题关键是利用二次函数图象的对称性．
8.
解析：解：如图，连接、，
四边形为内接四边形，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
为等边三角形，
，
当为的直径时，最大，最大值为，
故选：．
连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9.
解析：解：设甲计划完成此项工作的天数是天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
即甲计划完成此项工作的天数是天，
故选：．
设甲计划完成此项工作的天数是天，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，结果提前两天完成任务，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.
解析：解：过点作于，作于，
四边形是正方形，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
设，
则，，，
，
，
，
，
当时，取最小值，其最小值为，
故选：．
过点作于，作于，根据证≌，设，则，，根据勾股定理得出的表达式，求最小值即可．
本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练应用勾股定理得出关于的代数式并求出最值是解题的关键．
11.
解析：解：，
，
故答案为：．
通过对无理数进行大小的估算进行比较、求解．
此题考查了对无理数进行大小比较的能力，关键是能准确并算术平方根知识进行估算、比较．
12.
解析：解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中组成的两位数是的倍数的结果有：，，共种，
组成的两位数是的倍数的概率为．
故答案为：．
列表可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13.
解析：解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
又，，
，，
，
点的坐标为．
故答案为：．
分别过点和点作轴的垂线，利用全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化旋转，根据所给旋转方式构造出全等三角形是解题的关键．
14.
解析：解：是方程的一个实数根，
，
即．
，
，
即，
解得或，
又由关于的一元二次方程有实数根，
，即，
解得，
．
由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程；再根据判别式，则可求得的取值范围．
本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
15.
解析：解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，在的延长线上，
，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由，得，由平行四边形的性质得，，可证明∽，得，则，所以，再证明，则，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
16.
解析：解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，所以正确；
图象与轴交于两点，，其中，
，
，
当时，，
当时，，
，
，
，故正确；
当时，，
给乘以，即可化为，
抛物线的对称轴在，
关于对称轴对称点的横坐标在和之间，
由图象可知在和之间为负值，在和之间为正值，
与的关系不能确定，故错误；
，
，
，
，，
，
，
即，故正确．
故答案为：．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
17.解：



．
解析：先化简括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.证明：，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
．
解析：根据三角形的外角性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答．
19.
解析：解：将这组数据按照从小到大的顺序排列：
，，，，，，
排在第和第的为和，
该组数据的中位数是；
该组数据中出现次数最多的为，
该组数据的众数为．
故答案为：，；
全校的男生人数为人，
选择项目的男生共有人．
扇形统计图中项目所占圆的圆心角为．
故答案为：，；
不低于个的组中有四名学生，分别记为甲、乙、丙、丁，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
根据中位数和众数的定义可得答案．
先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
20.解：关于的方程有两个不相等实数根，，
，
；
，，，
，
，
，
解得：或或，
，
．
解析：由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系找出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值，结合的结论即可得出的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据方程解的情况结合根的判别式找出关于的不等式是解题的关键．
21.解：在直线图象上，
，
，
点在反比例函数图象上，
．
反比例函数解析式为：；
时，点的横坐标为，
在反比例函数中，当时，，
，
设直线的解析式为，代入点，坐标得：
，解得，
直线解析式为：，
，，
，．
故．
解析：待定系数法求出反比例函数解析式即可；
先求出直线解析式，继而求出点、坐标，根据面积计算比较即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22.解：是的切线，
证明：连接，如图所示，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
连接，
是的直径，
，
，
，
，
∽，
，
设，，
，
，，，
，
，
，
连接并延长交于，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
解析：连接，如图所示，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到是的切线；
连接，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质得到，设，，连接并延长交于，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到．
此题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的判定、解直角三角形等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的判定、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键．
23.解：根据题意得：


元．
答：每件新款春装盈利元；
设每件新款春装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽量减少库存，
．
答：每件新款春装应降价元；
设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，
根据题意得，，
答：平均每天销售这款春装盈利的最大值是元．
解析：利用每件新款春装的销售利润增加的销售量，即可求出结论；
设每件新款春装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论；
设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24.：
解析：解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
将沿翻折，点恰在线段上，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
长与宽之比为：；
故答案为：：；
是等腰三角形；
证明：由知，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
将沿翻折，点恰在线段上，
，
，
是等腰三角形；
∽，
证明：由知，，
，
，
∽．
根据矩形的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，根据折叠的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
由知，是等腰直角三角形，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论；
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定和等腰三角形的判定定理是解题的关键．
25.解：设抛物线的表达式为：，
则，
则，
则抛物线的表达式为：；
由抛物线的表达式知，点，
则为等腰直角三角形，则，
则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点的坐标为：，则点，
则，
，
故有最大值，当时，的最大值为：，
则的最大值为：；
当点在下方时，如下图，
设交轴于点，

，，
，
，
即，即，
则，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或，
则点；
当点在上方时，
同理可得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或，
则点；
综上，点的坐标为或．
解析：由待定系数法即可求解；
证明，由，即可求解；
当点在下方时，证明，则，得到，即可求解；当点在上方时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、最值的确定等，分类求解是解题的关键．