2024年湖南省长沙市一中岳麓中学中考模拟数学试题

这是一份2024年湖南省长沙市一中岳麓中学中考模拟数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，属于有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了有理数和无理数的判断，根据有理数和无理数的分类，对选项逐个判断即可，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的分类，有理数包括整数，分数（有限小数）和无限循环小数，无理数有开方开不尽的数，和无限不循环小数．
【详解】、是无理数，不符合题意；
、是无理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
、是有理数，符合题意；
故选：．
2. “五一”假期，人们旅游热情高涨．5月5日从长沙市文旅广电局获悉，根据大数据建模分析显示：年“五一”假期，长沙市共计接待游客人次，则用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
详解】解：，
故选：．
3. 下列4个图片是长沙市生态环境局网站上的4个信息查询指引标识，在这些图标中，文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. 试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
4. 下列幂的运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的运算法则逐一计算判断即可
【详解】∵，
∴A项计算正确；
∴B项计算正确；
∵，
∴C项计算错误；
∵，
∴D项计算错误；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
5. 如图，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了邻补角，两直线平行，内错角相等．熟练掌握邻补角，两直线平行，内错角相等是解题的关键．
由题意知，，由，可得，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
故选：C．
6. 某校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示：
这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是( )
A. 3页，4页B. 3页，5页C. 4页，4页D. 4页，5页
【答案】C
【解析】
【分析】按顺序第10，11人的页数4，4的平均值为中位数；总页数与总人数之比为平均数.
【详解】因为有20个数据，
所以，按顺序第10，11人页数4，4的平均值为中位数；即：4（页）.
平均数：（2×2+3×6+4×5+5×4+6×3）÷20=4（页）.
故选C
【点睛】本题考核知识点：中位数，平均数. 解题关键点：熟记中位数和平均数的概念及求法.
7. 如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件圆心角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，结合量角器求出圆心角的度数即可．
【详解】解：由图和对顶角相等，可得：这个扇形零件圆心角的度数为；
故选A．
8. 如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．将代入，可求得a的值，再根据一次函数与二元一次方程（组）的关系即可解答．
【详解】解：把点代入得：，
所以关于x，y的方程组的解是．
故选A．
9. 在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A. 小赵同学作图判定的依据是
B. 小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C. 小刘同学作图判定的依据是
D. 小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断．
【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
故选：D．
10. 下表是周五下午班四节待排的选修课课程表，其中排课需满足以下两点要求：①每班不能3节连续安排选修课；②同一节课最多安排3个班级上选修课．根据以上要求，该课程表最多可排的选修课节数为（ ）
A. 12B. 11C. 10D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了规律探索的知识，正确理解题意是解题关键．根据题目中排课需满足的要求完成选修课程安排即可．
【详解】解：根据题意，该课程表可能为：
所以，课程表最多可排的选修课11节数．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解决此题的关键．
【详解】解：根据题意知，
解得．
故答案为：．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用提公因式法即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查利用提公因式法分解因式．掌握相关方法即可．
13. 如图，点C是的中点，弦米，半径米．则____________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据点C是的中点，得到，，结合，求解即可得到答案；
【详解】解：∵点C是的中点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
又∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴，
故答案为：．
15. 若一个圆锥的底面圆的半径是4，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥计算；设该圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长即可求解．
【详解】解：设该圆锥的母线长为，根据题意得：
，
解得：，
即该圆锥的母线长为．
故答案为：．
16. 如图，等边的边长是，分别是边上的动点，且，为的中点，连接，当时，的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过点作交于，连接，过点作于，先证为等边三角形得，再证和全等得，，由此得点，，在同一条直线上，则，然后由勾股定理求出，进而得，则，由此可得的长，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】过点作交于，连接，过点作于点，
如下图所示：
∵为等边三角形，且边长为，
∴，，
∵，，
∴，， ，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴点，，在同一条直线上，
∴，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得:，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分别根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂及化简绝对值的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可，熟知特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂及化简绝对值是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2029
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式以及单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再求出，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
19. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【答案】（1）12m；（2）25.6m
【解析】
【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【详解】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，
∴AE=AC=×12=6（m），CE=AC•csα=12×=（m），
在Rt△BCE中，∠BCE=60°，
∴BE=CE•tan∠BCE==18（m），
∴AB=BE-AE=18-6=12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE=27°，
∴DE=≈36（m），
∴CD=DE-CE=≈25.6（m）．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
20. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4）．
【解析】
【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；
（2）先求出编织的人数，再补全条形图即可；
（3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：60；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）42°.
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再结合题意根据SAS判断△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，再根据角平分线的性质进行计算即可得到答案.
【详解】证明：（1）∵AD＝BE
∴AB＝DE
∵BC∥EF
∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84°
∵CD为∠ACB的平分线
∴∠ACD＝42°＝∠BCD
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF
∴∠CDF＝42°
【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质的综合运用.
22. 某体育用品专卖店新进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多30元，用6000元购进篮球的数量与用4800元购进足球的数量相同．
（1）求篮球、足球每个进价分别为多少元？
（2）专卖店准备在进价基础上，篮球加价60%作为售价，足球加价50%作为售价．该专卖店平均每天卖出篮球120个，足球100个．为回馈顾客，减少库存，专卖店准备搞活动促销．经调查发现，篮球、足球的销售单价每降低10元，这两种商品每天都可多销售20个，为了使每天获取更大的利润，该专卖店决定把篮球、足球的销售单价都下降a元．请通过计算说明，如何定价，专卖店才能获取最大利润．
【答案】（1）篮球的进价为150元/个，足球的进价为120元/个
（2）每个篮球售价230元，每个足球的售价170元时，才能使专卖店获取最大利润
【解析】
【分析】(1)设足球的价格为x元，则每个篮球的价格为(x+30)元，列分式方程求解即可．
(2)设获得总利润为w元，则w=(150×60%-a)(120+)+(120×50%-a)(100+)，整理构造出关于a的二次函数，借助配方法求函数的最值即可．
【小问1详解】
设足球的价格为x元，则每个篮球的价格为(x+30)元，列分式方程，
解得x=120，
经检验，x=120是原方程的根，
故x+30=150，
所以篮球的进价为150元/个，足球的进价为120元/个．
【小问2详解】
设获得总利润为w元，根据题意，得，
w=(150×60%-a)(120+)+(120×50%-a)(100+)
= -4，
当a=10时，W有最大值，
此时篮球的价格为150+150×60%-a=230元，足球的价格为120+120×50%-a=170元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，利润问题，二次函数的最值，熟练掌握分式方程的列法，配方法求二次函数的最值是解题的关键．
23. 已知：为的直径，弦交于点，点为弧上一点，连接交于点，交于点，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，在（）的条件下，连接BD，当，，时，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用圆周角定理，三角形的外角的性质得到，则 ，利用垂径定理的推论解答即可得出结论；
（）利用圆周角定理与已知条件得到，利用圆周角定理和三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理得到，利用圆周角定理和勾股定理得到，利用三角形的面积公式求得，利用垂径定理得到，再利用角平分线的性质得到比例式，将数值代入运算即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴；
【小问2详解】
∵为的直径，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
24. （1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，若，过C作交于点F，求证：．
（2）如图2，在菱形中，，过C作交的延长线于点E，过E作交于点F，若时，求的值．
（3）如图3，在平行四边形中，，，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交平行四边形的边于点G，若时，求的长．
【答案】（1）见解析（2）（3）的长为或或
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出，，进而证明结合已知条件，即可证明；
（2）根据菱形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解；②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，则，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵在菱形中，，
∴，，
则，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，

∵平行四边形中，，，
∴，,
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
则，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
设，则，，，
∴
解得：或，
即或，
②当点在边上时，如图所示，

连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，
设，则，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
过点作于点，
在中，，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③当点在边上时，如图所示，

过点作于点，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点不可能在边上，
综上所述，的长为或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
25. 定义：把抛物线上任意点的横坐标和纵坐标乘以k后变为点，若点都在抛物线上，则称抛物线为抛物线的“k倍抛物线”．例如：抛物线的任意一点，乘以后变为，点都在抛物线上，所以抛物线是抛物线的“倍抛物线”．已知抛物线，根据所给条件完成下列问题：
（1）当，时，求的“2倍抛物线”的解析式；
（2）如图1，当，且时，与x轴交于点A、B，的“倍抛物线”与x轴交于点C、D，与交于点E、F，是否存在合适的m值，使得四边形是矩形，如果存在求出m的值；如果不存在请说明理由；
（3）如图2，当，时，抛物线的顶点记为M，与x轴的正半轴交于点A，抛物线的“k倍抛物线”顶点为N，点P在抛物线上，满足，且．当时，求k的值．
【答案】（1）；
（2）存在，m的值；
（3）
【解析】
【分析】（1）找出三个特殊点对应的的倍点的坐标，设的解析式为：，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）同（1）法求出的解析式，再根据矩形的性质，利用勾股定理进行求解即可；
（3）如图1中，当时，与（1）同理可得抛物线的解析式为及顶点C的坐标，根据知，继而可得是边长为2的正三角形，四边形是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线解析式可求得k的值；如图2中，当时，作关于y轴对称的，，同理可得四边形是矩形，先求出抛物线解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线解析式可求得k的值，即可．
【小问1详解】
解：当，时，抛物线，
令，则，
令，则，
令，则，
则，
∴的“2倍抛物线”的对应的点为：，
设的解析式为：，
把代入得：
，
解得：，
∴的解析式为：
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
∵，
∵，
令，得，
解得：，
令，解得：，
∴，
∴中，，与的对应点为：，，
设的解析式为：，
将，，代入得：
，
解得：，
∴的解析式为：，
联立得：
，
∴，
解得：，
在中，
令，解得，
∴，
令，解得，
∴，
令，则，
解得：，
∴，
∵四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）
∴的值为．
【小问3详解】
当，时，，
∴，
当时，，当时，，
∴，
∴过点，，，
∴抛物线经过原点O，，三点，
∵，
∴或
如图1中，当时，
∵抛物线经过原点O，，三点，
∴抛物线的解析式为，
∴，
∴O、、都在直线上，
如图，过点P作轴于D，过点A作于E．
∵，
∴．
∵，，，
∴是边长为2的正三角形，四边形是矩形，
∴．，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴
∴P，
∴，
解得：；经检验是原方程的解；
如图2中，当时，
∵抛物线经过原点O，，三点，
∴抛物线的解析式为，
∴
∴O、M、都在直线上，
作关于y轴对称的，，
同法可得：点P坐标，
∴，
解得．经检验是原方程的解；
综上：．
【点睛】本题考查二次函数与几个的综合应用．涉及二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识．综合性强，难度大，属于中考压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．日练字页数
2
3
4
5
6
人 数
2
6
5
4
3
班级/课程
1班
2班
3班
4班
第1节
第2节
第3节
第4节
班级/课程
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第1节
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第3节
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第4节
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