2024年福建省厦门市同安区中考三模数学试题

这是一份2024年福建省厦门市同安区中考三模数学试题，共23页。试卷主要包含了可以直接使用2B铅笔作图等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分 时长：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．全卷共三大题，25小题，试卷共6页．
4．可以直接使用2B铅笔作图
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握从正面看到的平面图形是主视图是解本题的关键，画出从正面看到的图形即可．
【详解】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：A．
2. 如图，下列四个数中，比数轴上点表示的数小的数是( )
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，据数轴得出点表示的数，再根据有理数的大小比较方法即可得出答案．
【详解】解：由数轴可得点表示的数是，
∴比数轴上点表示的数小的数是，
故选：A．
3. 在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可．
【详解】解：设第三边长度为，
则第三边的取值范围是，
只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键．
4. 党的二十大指出，推进全民阅读，构建服务全民终身学习的教育体系，形成全民学习、终身学习的学习型社会，建设学习型大国，促进人的全面发展，这是关系到中华民族能否持续发展、能否实现民族复兴大业的战略问题．为提供丰富的图书资源，2023年福建省出版图书4954种，总印数159000000册．将159000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6. 某开发公司2023年投入的科研资金为100亿元．为扩大产品的竞争力，该公司不断增加科研投资，计划2025年投入的科研资金为400亿元，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的应用，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，根据题意得
故选：D．
7. 如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是( )

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查作角平分线；由作图可知，是的角平分线，故，即可得到答案．
【详解】解：由作图可知，是的角平分线，
，故B正确，符合题意；
而选项A，C，D都不一定正确，不符合题意；
故选：B．
8. 小安同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是( )
A. 样本容量是5B. 众数是4C. 平均数是4.8D. 中位数是4.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方差以及平均数、中位数以及众数，根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵方差公式：．
∴∴样本数据是6，5，5，4，3，样本容量是5，
∴众数是5，
平均数是
中位数是
故选：A．
9. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如解析图所示，中，，，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案．
【详解】解：如图所示，在中，，，
∴，
∴，
∴被测物体表面的倾斜角为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，正确理解题意是解题的关键．
10. 已知点，，在二次函数的图象上，且有，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质；先求得抛物线开口向上，对称轴为直线，然后判断三点到对称轴的距离的大小，即可得到结论．
【详解】解：∵二次函数
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
∵点，，在二次函数的图象上，且有，，
∴在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且
∴
∵
∴
∴
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．
【答案】
【解析】
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
12. 已知一元二次方程的一个根为1，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案：．
13. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理；由菱形的性质得，，，所以，则，根据三角形的中位线定理得，即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于点，，，
，，，
，
，
为的中点，为边的中点，
，
故答案为：．
14. 某校为推荐一项作品参加市级“科技创新”比赛，将甲、乙、丙三项候选作品进行量化评分，具体项目成绩（百分制）如表所示，如果按照创新性占，实用性占的权重计算总成绩，那么根据总成绩择优推荐的作品是________．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】根据加权平均数的含义和求法，算出三人的平均成绩，即可解答．
【详解】解：甲的平均成绩：；
乙的平均成绩：；
丙的平均成绩：，
，
总成绩择优推荐的作品是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题主要考查了加权平均数的含义和求法，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．
15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出，即，解方程得到（负值舍去）即可得到结论．
【详解】解：如图所示:

，，
，，
与的面积相等，
，
，
，
，若令，则，由公式法解得或（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
16. 已知正方形的面积为4，它的两个顶点，是反比例函数(，)图象上两点，正方形的边轴．若点的坐标是，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了双曲线上点的坐标的特点．如图，正方形的面积为，根据的坐标，求出的坐标．，两点是反比例函数 ，图象上两点，列出等式，求出的值．
【详解】解：如图，
正方形的面积为，
，
点的坐标是，
点的坐标是．
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本题有9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，根据算术平方根，零指数幂，负指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：
18. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：
得，
解得：，
将代入①得，
解得：，
∴方程组的解为：
19. 先化简，再求值：，其中m=＋3.
【答案】；．
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
=；
当m=＋3时，原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20. 如图，在中，点E，F在对角线上，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质得到，,再证明，即可利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，,
∴
∵，
∴,
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键
21. 为了解我市初中学生的“数学核心素养”水平，专家组赴某区选取一所学校的初三年级学生进行调研，专家组随机抽取部分学生的成绩(得分为整数，满分150分)，并分为5组：第一组75～90分；第二组90～105分；第三组105～120分；第四组120～135分；第五组135～150分，统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图．观察图象的信息，回答下列问题：

（1）若该年级有1000名考生，请估计考试成绩90分以上(含90分)的学生人数；
（2）针对考试成绩情况，专家组决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学进行访谈．若第一组中只有一名女生，第五组中只有两名女生，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）960 （2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、频数(率)分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体；
（1）用条形统计图中第三组的人数除以扇形统计图中第三组的百分比可得抽取的学生人数，进而可得样本中考试成绩分以上含分的学生人数，最后根据用样本估计总体，用乘以样本中考试成绩分以上含分的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）由题意得，第一组有人，其中名男生，名女生，第五组有(人，其中名男生，名女生．列表可得出所有等可能的结果数以及所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：(1)抽取的学生人数为人，
估计考试成绩分以上含分的学生人数约(人)．
【小问2详解】
由题意得，第一组有人，其中名男生，名女生，
第五组有人，其中名男生，名女生．
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果有3种，
∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生概率为
22. 如图，是的直径，弦与直径相交于点，直线是的切线，点在外．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据圆周角定理得到；
（2）作于，则，根据三角函数的定义和勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：是直径，
，
，
直线是的切线，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：作于，则，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
23. 同安文笔塔，又名凤山石塔，始建于1600年，位于厦门市同安区城东的九跃山顶峰，文笔塔为砖木结构，五级六面，实心石塔，塔下有曲池、拱桥、“夕照塔影”为文笔胜景，寓意同安学子们考出好成绩、榜上有名．某数学“综合与实践”小组把“测量文笔塔的高度”作为一项课题活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．下面是“综合与实践”小组的测量方案：
参考数据：(，，，，，)
（1）两测点之间的距离平均值为______；
（2）根据以上测量数据，请你帮助“综合与实践”小组求出文笔塔的高度．
【答案】（1）
（2）文笔塔的高度为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题；
（1）求出测量距离的平均数即可；
（2）过点作于点，延长与测角仪交于点，构造两个直角和，解直角三角形求出，然后计算即可解答．
【小问1详解】
解：两测点之间的距离平均值为：．
故答案为：；
【小问2详解】
过点作于点，延长与测角仪交于点，
由题意得，，，，
在中，，
在中，，
，
即)
解得，
，
答：文笔塔的高度约米．
24. 定义：若，满足，且(为常数)，则称点为“轮换点”，
（1）若是“轮换点”，求的值；
（2）若抛物线上存在“轮换点”，求的取值范围：
（3）若双曲线()上存在“轮换点”，请判断点是否在该双曲线上，并说明理由．
【答案】（1）的值为
（2）的取值范围是
（3）点不在该双曲线上，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合应用，新定义，一元二次方程与函数的关系，反比例函数等知识；
（1）由， ，，可得，故，求出的值为；
（2）“轮换点”满足，即，由抛物线上存在“轮换点”，可得有实数解，故，可解得的取值范围是；
（3）根据双曲线 上存在轮换点，可得在有解，故，而且“轮换点”需满足，可得，从而判断不在该双曲线上．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
当，时，，
，
的值为；
【小问2详解】
由（1）可知，“轮换点”满足，即，
抛物线上存在“轮换点”，
有实数解，即有实数解，
，即，
解得；
的取值范围是；
【小问3详解】
点不在该双曲线上，理由如下：
双曲线 上存在“轮换点”，
在有解，
整理得，
且“轮换点”需满足，
，
∵所在双曲线解析式为，
点不在该双曲线上．
25. 如图，在中，，，点在线段上（不与点，重合）．将绕点顺时针旋转90°得，延长分别交，于点，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若．
①求的值（用含的代数式表示）；
②若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，求的值．
【答案】（1），理由见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据全等三角形的性质可得，，进而可得，即可得出；
（2）①连接，过点作于点，证明，得出根据进而得出，设，则，，求得，即可求解；
②连接，得出四点共圆，当以，，为顶点的三角形是等腰三角形，只有一种情况，当时，设的中点为，则，得出是等腰直角三角形，进而证明得出，由，则根据已知得出，解方程，即可求解．
【小问1详解】
，理由如下，
∵在中，，，
∴
∵将绕点顺时针旋转得，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴；
【小问2详解】
①解：如图所示，连接，过点作于点，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
∵,
∴，
设，则，
∴，
∴
②如图所示，连接，
∵
∴四点共圆，
∴
∵点在线段上（不与点，重合）
∴
∵
∴，
∴当以，，为顶点的三角形是等腰三角形，只有一种情况，
当时，设中点为，则，
又∵
∴是等腰直角三角形
设
由①可得
∵
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴垂直平分，则是的角平分线
∴
∴
又∵
∴
∴
即
又∵是等腰直角三角形
∴
∴
由①可得
设，则
∴
∴
∵
∴
解得：
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．作品项目
甲
乙
丙
创新性（分）
91
95
90
实用性（分）
91
90
95
男
女
女
男
(男，男)
(男，女)
(男，女)
女
(女，男)
(女，女)
(女，女)
课题
测量文笔塔的高度
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量
工具
测角仪，皮尺
测量
示意图
说明：
①线段表示塔，垂直地面于点．“综合与实践”小组在该塔底部所在的平地上，选取两个不同的测点，观测塔顶，利用测角仪测得仰角分别为，，并测量这两个测点间的距离．
测角仪高度.点，，在同一直线上，点，之间的距离可以直接测得．
②为了减小测量误差，小组成员在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果．
测量
数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
仰角的度数
仰角的度数
点，之间的距离