广东省深圳高级中学北校区2023—2024学年下学期九年级第15周月考数学试卷

这是一份广东省深圳高级中学北校区2023—2024学年下学期九年级第15周月考数学试卷，共19页。

A．﹣9℃B．﹣5℃C．5℃D．11℃
2．（3分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）一元一次不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）某高速（限速120km/h）某路段的车速监测仪监测到连续6辆车的车速分别为：118，106，105，120，118，112（单位：km/h），则这组数据的中位数为（ ）
A．115B．116C．118D．120
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝a6B．（﹣a3）2＝﹣a6
C．（2a2b）3＝6a6b3D．（﹣3b2）2＝9b4
6．（3分）一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝145°，则∠2的度数为（ ）试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。
A．63°B．64°C．65°D．66°
7．（3分）某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图分别是2个高压电塔的位置．已知电塔A，B两点水平之间的距离为80米（AC＝80m），∠BAC＝α，则从电视塔A到B海拔上升的高度（BC的长）为（ ）
A．80tanαB．C．80sinαD．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（ ）
A．B．C．1D．
二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）分解因式：a3﹣4ab2＝ ．
12．（3分）已知方程2x2﹣mx+3＝0的一个根是﹣1，则m的值是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若AC＝6，BC＝10，则△ADC的周长为 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD放置在直角坐标系中，反比例函数y＝经过A点和边CD的中点E，已知B（0，2），则k的值为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，＝，连接DE，F是BC上一点，且∠DEF＝30°，sin∠EDF＝，则＝ ．
三.解答题（本题共7小题，共45分）
16．（5分）计算：．
17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
18．（8分）某校开展了中国传统文化知识的宣传活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）在“优秀”中有甲乙丙丁四个人，随机抽2人恰好抽到甲乙2人的概率是 ；
（4）该学校共有1200名学生，估计测试成绩等级在良好及以上（包括良好）的学生约有多少人？
19．（8分）某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买1支定制钢笔和4本纪念卡册共需130元，购买3支定制钢笔和2本纪念卡册共需140元．
（1）求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共60件，总费用不超过1600元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的3倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？
20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC．点P为线段AB延长线上一点，连接PC，∠CAB＝∠BCP．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）作∠CPB的角平分线，交AC于点M，交BC于点N．
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
②若∠CPB＝30°，NC＝3，求MN的长．
21．（9分）根据以下素材，探索完成任务．
22．（10分）在四边形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，AF落在对角线AC上．将△AEC绕点A旋转，使得AC落在直线AD上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．
（1）【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形ABCD是正方形，且旋转角小于90°时，会有△CEF≌△MDN，请你证明这个结论；
（2）【再探特例】如图2，当四边形ABCD是菱形，且旋转角小于90°时，若∠BAD＝60°，BE＝2．连接DF交AN于点G．求DG的长；
（3）【拓展应用】如图3，当四边形ABCD是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．
2023-2024学年广东省深圳高级中学北校区九年级（下）第15周月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案涂在答卷相应位置上，否则不给分.）
1．【解答】解：（﹣7）+10﹣8
＝3﹣8
＝﹣5（℃）
答：半夜的气温是﹣5℃．
故选：B．
2．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．【解答】解：，
去分母得：x+4≥6，
解得：x≥2．
故选：C．
4．【解答】解：数据重新排序为105，106，112，118，118，120，
∴中位数为，
故选：A．
5．【解答】解：A．（﹣a2）3＝﹣a6，故A选项不符合题意；
B．（﹣a3）2＝a6，故B选项不符合题意；
C．（2a2b）3＝8a6b3，故C选项不符合题意；
D．（﹣3b2）2＝9b4，故D选项符合题意；
故选：D．
6．【解答】解：如图，
∵∠1+∠4＝180°，∠1＝145°，
∴∠4＝35°，
∵∠3＝∠4+∠A，∠A＝30°，
∴∠3＝65°，
∵直尺的对边互相平行，
∴∠2＝∠3＝65°，
故选：C．
7．【解答】解：设乙的进价为x元，则甲的进价是（x+50）元，
根据题意得，．
故选：C．
8．【解答】解：根据题意可知，Rt△ABC，∠BAC＝α，AC＝80m，
∴，
∴BC＝ACtanα＝80tanα，
故选：A．
9．【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
10．【解答】解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴AM＝CN，
∵AB＝BC，
∴BM＝BN，
∵EF＝2AE＝2CF，
∴AF：FC＝3：1，
∵CN∥AD，
∴＝＝，
∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，
∴＝＝＝，
故选：A．
二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分.）
11．【解答】解：a3﹣4ab2
＝a（a2﹣4b2）
＝a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．
12．【解答】解：把x＝﹣1代入2x2﹣mx+3＝0，得2+m+3＝0，
解得，m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
13．【解答】解：根据作图痕迹，DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵AC＝6，BC＝10，
∴△ADC的周长为AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝16，
故答案为：16．
14．【解答】解：∵点B的坐标为（0，2），
∴OB＝2，
设OC＝t，则点C的坐标为（t，0），
过点A作AF⊥y轴于F，过点D作DH⊥x轴于H，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABF+∠OBC＝90°，
∵∠AFB＝∠COB＝90°，
∴∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠ABF＝∠BCO，
在△ABF和△BCO中，
，
∴△ABF≌△BCO（AAS），
∴BF＝OC＝t，AF＝OB＝2，
∴OF＝OB+BF＝2+t，
∴点A的坐标为（2，2+t），
∵点A在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴k＝2（2+t），
同理可证：△DCH≌△CBO（AAS），
∴CH＝OB＝2，DH＝OC＝t，
∴OH＝OC+CH＝2+t，
∴点D的坐标为（2+t，t），
又点C的坐标为（t，0），点E为CD的中点，
∴点E的坐标为，
∵点E在反比例函数（k≠0）的图象上，
，
∴，
整理得：t2﹣3t﹣8＝0，
解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），
当t＝时，k＝2（2+t）＝．
故答案为：．
15．【解答】解：过F作FG⊥DE交DE于G，延长DE、CB交于点M，
∵，
设AE＝a，BE＝2a，AB＝3a，
∵，
∴设DF＝5b，GF＝3b，
∴DG＝4b，
∵∠DEF＝30°，
∴EF＝2GF＝6b，
∴，
∴，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠MGF＝90°，
∴，
∴，
∴MB＝2AD，，
∴MG＝ME+EG＝（9+8）b，
∵∠M＝∠M，∠ABC＝∠MGF＝90°，
∴△MBE∽△MGF，
整理得，，
∴，
故答案为：．
三.解答题（本题共7小题，共45分）
16．【解答】解：
＝
＝．
17．【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝．
18．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：60÷0.6＝100（人），
∴c＝100，
∴a＝100﹣60﹣10﹣5＝25，b＝10÷100＝0.1，
故答案为：25，0.1，100；
（2）补全条形统计图：
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两名同学同时被选中的概率为．
故答案为：．
（4）估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有人数为：1200×（0.6+0.25）＝1020（人）．
19．【解答】解：（1）解：设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为x、y元，
依题意，得：，
解得：，
答：每支定制钢笔的价格为30元，每本纪念卡册的价格为25元．
（2）解：设购买定制钢笔m支，则纪念卡册有（60﹣m）本
依题意，得：
解得：15＜m≤20∵m取整数，∴m＝16，17，18，19，20∴总共有5种方案，
分别为：
方案1：购买定制钢笔16支，纪念卡册44本；
方案2：购买定制钢笔17支，纪念卡册43本；
方案3：购买定制钢笔18支，纪念卡册42本；
方案4：购买定制钢笔19支，纪念卡册41本；
方案5：购买定制钢笔20支，纪念卡册40本．
20．【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∵∠CAB＝∠BCP，
∴∠BCO+∠BCP＝90°，
即∠OCP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①如图，PM为所作；
②∵PM平分∠APC，
∴∠APM＝∠CPM，
∵∠CMN＝∠CAB+∠APM，∠CNM＝∠PCN+∠CPN，
而∠CAB＝∠PCN，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∵∠ACB＝90°，
∴△CMN为等腰直角三角形，
∴MN＝CN＝3．
21．【解答】解：任务1、∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，1），抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴抛物线经过点（4，1）．
∵对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，3.96＜4＜8.68，
∴羽毛球未出界；
任务2、由题意得：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，1），（4，0）．
∴．
解得：．
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+1．
当x＝2时，y＝﹣1+1.5+1＝1.5．
∵1.5＜1.55，
∴羽毛球未过网；
任务3、由题意得：y＝﹣x2+bx+c经过点（8，0），（0，1）．
∴．
解得：．
∴y＝﹣x2+x+1．
当y＝2.2时．
﹣x2+x+1＝2.2．
x2﹣x+1.2＝0．
x2﹣x+＝0．
（x﹣）（x﹣）＝0．
解得：x1＝6.4，x2＝0.96（不合题意，舍去）．
∴该球员至少要后退的米数＝6.4﹣2﹣3＝1.4（米）．
答：该球员至少要后退1.4米．
22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ABC＝∠ADN＝90°，∠FCE＝45°，
∵△ABE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠AFE＝90°，AB＝AF，
又∵△AEC绕点A旋转得到△ANM，
∴∠FCE＝∠DMN＝45°，AC＝AM，
又∵∠AFE＝∠FEC+∠FCE＝90°，∠FCE＝45°，
∴∠FEC＝45°，
同理∠DNM＝45°，
又∵AC＝AM，AB＝AF，
∴FC＝DM，
∴△CEF≌△MDN（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝∠ADN＝120°，，
∵△ABE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠BAE＝∠FAE＝15°，AB＝AF，BE＝EF＝2，
又∵△AEC绕点A旋转得到△ANM，
∴∠DAN＝∠FAE＝15°，AC＝AM，
∴∠GAF＝∠DAF﹣∠DAG＝15°，
即AG是∠DAF的角平分线，
又∵AD＝AF，AG＝AG，
∴△DAG≌△FAG（SAS），
∴AG⊥DF．
∵AC＝AM，AB＝AF，
∴FC＝DM，
∴△CEF≌△MDN（ASA），
∴DN＝EF＝2．
∵AD＝AF，∠DAF＝30°，
∴，
∴∠GDN＝∠ADC﹣∠ADG＝120°﹣75°＝45°，
∵AG⊥DF，
∴∠DNG＝180°﹣∠GDN﹣∠DGN＝45°，
∴DG＝GN．
在Rt△DGN中，DN2＝DG2+GN2，
即22＝2DG2，
解得．
（3）解：当时，如图：
即，
令AC＝5x，则BC＝2x，
在Rt△ABC中，＝，
∴的值＝sin∠ACB＝
当＝时，如图，
即＝，
令AC＝3x，BC＝2x，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝x，
∴sin∠ACB＝＝＝，
∴＝＝sin∠ACB＝，
综上所述，的值为或．等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
你知道羽毛球的比赛规则吗？
问题背景
素材1
如图1，在羽毛球单打比赛中，场地的边界线分为左右边界和前后边界．球员站在自己一方的后场发球，将球发到对角的对方的后场，或使用其他技巧将球发到对方的前场．

素材2
球员在发球时，必须将球击过网并发到对方场地的对角后场边界之内．如果球落在边界之外，则发球方失分．在接发球时，球员必须站在自己一方的接发球区域内接球．
素材3
如图2，若发球队员的击球点距离地面1米，网高1.55米，对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，羽毛球的运行轨迹可以抽象为抛物线的一部分图象．

问题解决
条件
在水平地面上建x轴，过击球点A向水平地面作垂线，建y轴．在平面直角坐标系中，发球人的击球点A的坐标为（0，1）．（以下三次发球均为有效发球，不考虑左右边界）
任务1
第一次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y＝ax2+bx+c（a≠0），此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米，且抛物线恰好关于球网对称，如果按轨迹运行，羽毛球能够过网并落在对方前场．
请问此时的羽毛球是否出界？请说明理由．
任务2
第二次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y＝﹣x2+bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为4米，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米．
请问此时的羽毛球过网了吗？请说明理由．
任务3
第三次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y＝﹣x2+bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为8米，球网与发球人的击球点的水平距离为2米，此时对方球员站立的地点与球网的水平距离为3米，该球员向上伸直手臂挥拍的最大高度为2.2米．（参考数据：682＝4624）
请问该球员至少要后退多少米才能接到球？请说明理由．