数学：重庆市七校联盟2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：重庆市七校联盟2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B.被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C.是最简二次根式，符合题意；
D.不是二次根式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 1，，C. 4，5，6D. 5，12，13
【答案】D
【解析】A.，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B.，不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C.，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D.，故是勾股数，故本选项符合题意，
故选：D．
3. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
=
=；
∵，
即，
∴．
∴的值应在4和5之间．
故选：B．
4. 下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】B
【解析】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项不符合题意；
B.对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，本选项符合题意；
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意；
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意，
故选：B．
5. 如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（ ）
A 5B. 8C. 10D. 16
【答案】C
【解析】∵，，，，分别表示三个正方形的面积，
∴，，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长是（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】C
【解析】连接，

∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故选：C．
7. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（ ）
A. 张强从家到体育场用了
B. 体育场离文具店
C. 张强在体育场锻炼了
D. 张强从文具店回家的速度是
【答案】C
【解析】由图可得：
张强从家到体育场用了，故A选项错误，不符合题意；
体育场离文具店，故B选项错误，不符合题意；
张强在体育场锻炼了，故C选项正确，符合题意；
张强从文具店回家的速度是，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如图函数解析式“”，那么“”的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵图象分布在一、二、四象限，
∴，
∴，
∴图象分布在一、三、四象限，
∴A选项错误；
∴B选项正确；
∴C选项错误；
∴D选项错误．
故选B．
9. 如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是正方形，
∴点B与D关于直线对称，
连接交于点，连接，
则，
，
当B、N、M三点共线时，取得最小值，
则即为所求的点，
则的长即为的最小值，
∵四边形是正方形，
∴是线段的垂直平分线，
又，
在中，，
故的最小值是．
故选：C．
10. 已知有序整式串：，m，对其进行如下操作：
第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：，，m；
第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：，，，m；
依次进行操作．下列说法：
①第3次操作后得到的整式串为：，，，，m；
②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等；
③第2024次操作后得到的整式串各项之和为．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由题意可得，第1次操作后得到整式串，，m；各项之和为；
第2次操作后得到整式串，，，m；各项之和为；
第3次操作后得到整式串，，，，m；各项之和为；故说法①正确；
第4次操作后得到整式串，，，，，m；各项之和为0；
第5次操作后得到整式串，，，，，，m；各项之和为；
第6次操作后得到整式串，，，，，，，m；各项之和为；
第7次操作后得到整式串，，，，，，，，m；各项之和为；
．．．
所以，各项之和以及各项的首项都以6次操作为一个周期依次循环．
∵，
∴第2024次操作后的整式串各项之和与第2次操作后的整式串各项之和相同，为，故说法③正确；
∴第11次操作后得到的新整式与第5次操作后得到的新整式相等都是，
∴第22次操作后得到的新整式与第4次操作后得到的新整式相等，都是，故第11次操作后得到的新整式与第22次操作后得到的新整式不相等，故说法②错误．
故选：C．
二、填空题
11. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】依题意，得，
解得：，
故答案为．
12. 已知点，都在直线上，则______.（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】，
随的增大而减小，
又点，都在直线上，且，
故答案为：．
13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】 要使得，即需一次函数的图象在的图象的上方，
由函数图象可知，关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
14. 如图，菱形的对角线相交于点O，菱形的周长为20，，于E，连接，则_________．
【答案】3
【解析】∵四边形是菱形，菱形的周长为20，
∴，，，．
在中，
由勾股定理得，
∴．
∵于E，∴．
又∵，
∴．故答案为：3
15. 如图，在中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为________．
【答案】
【解析】如图，连接，过点作于点,
点E为的中点，点F为的中点，
是的中位线，
，
当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，
在中，，
，
，
，，
，
故答案为：
16. 如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为_____．
【答案】
【解析】如图，连接，
由折叠可得，，，，
，
是的中点，
，
，
又，
，
，
设为，则，，，
由勾股定理得：，
即，
解得．
，
．故答案为：．
17. 若一次函数与y轴交于负半轴，关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_______．
【答案】
【解析】∵一次函数与y轴交于负半轴，
∴，且，
∴且，
∵
不等式组整理得：，
由解集为，得到，即，
∴，且，
整数，，，，
∴，
故答案为：．
18. 若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“吉祥数”，那么最大的“吉祥数”为_______；将一个“吉祥数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，，若、都是整数，则满足条件的M的最大值为_______．
【答案】 9871 6021
【解析】①为最大的“吉祥数”，而，
∵各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，
∴最大的完全平方数为25，
∴最大的“吉祥数”，当，时，,
∴最大的“吉祥数”为；
②，则，，
∵、都是整数，
∴设，，为正整数，
则，
两式相加得：，
两式相减得：，
∴都能被3整除，
∴能被3整除，
∵，且，
∴，
∵为完全平方数，
∴或16或25，
∵能被3整除，
∴
又∵都能被3整除，
∴时，M最大，
∴．
故答案为：9871；6021.
三、解答题
19. 计算：
（1）
（2）
解：（1）
；
（2）
．
20. 如图，在平行四边形中，点E是的角平分线与的交点，小谷想在平行四边形里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路是：作的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：
（1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线与交于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）根据（1）中作图，求证：四边形为平行四边形．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，①_______________．
∴②_______________．
∵分别平分．
∴，．
∴③_________________
∵在与中，
∵，
∴．
∴，④_________________．
∴，即，
∴⑤________________．
∴四边形为平行四边形．
（1）解：如图，，即为所求；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴．
∵分别平分．
∴，．
∴，
∵在与中，
∵，
∴．∴，．
∴，即，
∴．
∴四边形为平行四边形．
故答案为：；；；；.
21. 如图．直线经过，
（1）求直线的解析式；
（2）直线解析式为与直线交于点D，与x轴交于点C，求的面积．
解：（1）设直线解析式为，由于直线经过，

解得：，
所以的解析式为：
（2） 直线的解析式为与直线交于点D，
联立：，
解得

令得，

．
22. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
23. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
（1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
（2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
解：（1）由已知得：，
（海里），
（小时），
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
（2）答：这艘船在本次运输中否符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作交于D，
在上取两点M，N使得（海里）
∵，
∴（海里），
∴（海里），
∵且，
∴（海里），
∴（小时）
∵，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
24. 如图1，在中，，动点Q以1个单位长度每秒的速度从C点出发，沿运动，到达A停止运动，设点Q的运动时间为x秒，的面积为y，请解答以下问题：
（1）求出y关于x的函数关系式并注明x的取值范围；
（2）在图2中画出y的函数图象；
（3）根据图象直接写出当面积等于6时对应x的值．
（1）解：如图所示，当点Q在上，即 时，
由题意得，，
∵在中，，
∴，
∴；
如图所示，当点Q在上，即时，
由题意得，，
∴；
综上所述，；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：观察函数图象可知，当时，或．
25. 如图1，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴正半轴上且，直线过A，C两点．
（1）求直线的解析式；
（2）直线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标，若不存在说明理由；
（3）如图2，点D是x轴正半轴上一点且，点N是y轴上的一点，使得直线与直线所成的夹角等于与的和，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
解：（1） 与轴，轴分别交于两点，
，
，
，
直线过A，C两点
，解得，，
直线的解析式为：．
（2） ，
．
设， ，即，
，
点的坐标为或．
（3）情况一：如图所示，，为直线与直线所成的夹角，
，
点坐标为，又点，
设直线解析式为，
则，解得，，
直线解析式为，而直线的解析式为：，两者的一次项系数相同，
，
，
，
，
直线，
直线解析式为：，
直线可以看作是直线往右平移形成，故设直线解析式为：，
点坐标为，且点在直线上，
，解得，即直线解析式为：，
点坐标为．
情况二：如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，，为直线与直线所成的夹角，
，
，
又，
，即为等腰三角形，
，
设直线解析式为，
点坐标为，且点在直线上，
，解得，
直线解析式为，
设点坐标为，联立直线解析式：和直线解析式：，得
，解得（），
点坐标为，点，，
，
，
即
整理化简得，，即，
， ，解得，
直线解析式为：， 点坐标为：．
综上所述，所有符合条件的点N的坐标为和．
26. 已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边．
（1）如图1，点在线段上，连接，若，且，求线段的长；
（2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，求证：；
（3）如图3，若，点在射线上运动，取中点，连接，请直接写出的最小值．
（1）解：，都是等边三角形
，，，
，
，
在与中
，
，
过作于
∴
∴
（2）证明：如图，延长过到点，使得，
，都是等边三角形，
，，
，．
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：根据（1）得，
．
是的角平分线，
当时，最短，
，中点，
，
，，
故的最小值为．