数学：河北省沧州市运东四校联考2023-2024学年高二下学期期中考试试题（解析版）

这是一份数学：河北省沧州市运东四校联考2023-2024学年高二下学期期中考试试题（解析版），共12页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，从集合A中选一个元素作为点P的横坐标，从集合B中选一个元素作为点P的纵坐标，若点P落在第三或第四象限，则满足条件的点P有（ ）
A. 8个B. 10个C. 12个D. 16个
【答案】C
【解析】因为点P在第三或第四象限，所以纵坐标只能选集合B中的负数，
根据分步乘法计数原理，横坐标有4种选法，纵坐标有3种选法，
则满足条件的点P共有个．
故选：C．
2. 根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】A
【解析】由已知，得，，又经过点，
所以，解得．故选：A．
3. 已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以．
故选：B．
4. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中不放回地依次取2个数，记“第一次取到的是偶数”为事件A，“第二次取到的是奇数”为事件B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在事件A发生后，只有9个数字，其中有5个奇数，所以．
故选：C．
5. 甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ）
A. 6种B. 12种C. 15种D. 30种
【答案】B
【解析】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座.
要求每人左右均有空座，
在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法.
故选：B.
6. 已知随机变量，若，，则（ ）
A. 15B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
即，所以，
所以．
故选：A．
7. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A. 252B. 210C. 126D. 120
【答案】B
【解析】的展开式的通项为，
则的展开式中项的系数为，
所以的展开式中项的系数为
．
故选：B．
8. 将字母放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有行字母相同，则得分，则所得分数的均值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】字母放入的表格中的不同结果有种，
随机变量的可能的取值为，
可得，
则，
所以随机变量期望为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若相关系数，则两个变量负相关
B. 相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 决定系数越小，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
【答案】AC
【解析】对于A：因为r的符号反映相关关系的正负性，故A正确；
对于B：根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误；
对于C：决定系数越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误．
故选：AC．
10. 随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（ ）
A. 随机变量X的取值为1，2，3B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；
则，，故B错误，C正确；
又，，
所以．故D正确．
故选：CD．
11. 甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数，
当时，，，，
则，，
AB正确；
当时，，，
，，
，
因此，，C正确，D错误．
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 方程（且）的解为___________．
【答案】2或4
【解析】由题意，可知，则，所以或.
故答案为：2或4.
13. 某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为______．
（若，则）
【答案】2
【解析】由正态分布性质可知，要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于，
由得，，
由题意可知，
解得，故的最大值为．
故答案为：.
14. “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示）
【答案】
【解析】因为，
因此是展开式中项的系数，
而的展开式中项的系数为，
所以．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知二项式且为常数展开式中第7项是常数.
（1）求的值；
（2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数.
解：（1）二项式的展开式中第7项为
，
由题意得，解得.
（2）令，得，所以或，
解得，或（舍去）.
该二项式展开式通项为
，
令，解得，
故展开式中的系数为.
16. 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
解：（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：
先排第1个节目，有种安排方法，
再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，
最后余下的节目随便排，有种排法，
由分步计数原理得共有种排法
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，
将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，
故种排法.
（3）前3个节目共三种情况：
一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，
另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，
最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个，有种排法，
故共有种排法.
17. 某校对学生餐厅的就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：
男生：
女生：
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．
（1）由以上数据完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生的就餐满意度与性别是否有关联？
（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
解：（1）由题意得列联表为：
零假设为：学生对就餐满意与性别无关联，
，
根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可以认为成立，
即学生对就餐满意度与性别无关联．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，
则（，1，2，3）．
即，
，
，
，
所以X的分布列为
则．
18. 2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
（1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？
（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考数据：，．参考公式：，．
解：（1），，
，，
所以回归直线方程为，
将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是0.27秒．
（2）根据（1）得到，；
，；
，；
，；
，，
所以，即步长残差和为0．
对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下：
．
19. 我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为.
（1）求;
（2）若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值.
解：（1）.
（2）因为.
所以抽取的家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得
所以.
由，得，
令，则.，
所以，所以数列是递减数列，
因为，
所以整数的最小值是7.
评分分组
70分以下
人数
3
27
38
32
评分分组
70分以下
频数
5
35
34
26
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
α
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
满意
不满意
总计
男生
70
30
100
女生
60
40
100
总计
130
70
200
X
0
1
2
3
P
步频（单位：）
0.28
029
0.30
0.31
0.32
步长（单位：）
90
95
99
103
117