数学：山东省青岛市高新区2024年中考三模试题（解析版）

这是一份数学：山东省青岛市高新区2024年中考三模试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “跟着春晚游西安”成为“西安年”最热门旅游线路．春节期间，大唐不夜城万人同吟《将进酒》与“李白”隔空对诗，接待游客总人数达人次，创历史新高．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故选：C．
2. 下列实数中，无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是无理数，故此选项符合题意；
B、是分数属有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项合题意；
C．不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】A
【解析】，
故选A．
5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ）

A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶9
【答案】B
【解析】和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
和的周长之比为，
，
，
故选：B．
6. 第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低，
从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定，
∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定，
故选：A．
7. 如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，得，
∴，
故选C．
8. 如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，
是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
切于点，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
故选：B．
9. 用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ）
A. 34B. 38C. 42D. 46
【答案】C
【解析】第①个图形有个边长为1的小三角形，
第②个图形有个边长为1的小三角形，
第③个图形有个边长为1的小三角形，
第④个图形有个边长为1的小三角形，
，
按照这个规律排列下去，
第个图形有个边长为1的小三角形，
第⑩个图形中边长为的小三角形，
故选：C．
10. 如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论：
①；②；③当时，或；④；
⑤（m为实数），其中正确的结论是（ ）
A. ②③④⑤B. ①③④⑤C. ①②④⑤D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】∵抛物线的开口向下，∴，
∵对称轴为，∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴为，
∴与的函数值相等，即：，故②正确；
∵点关于的对称点为，
∴当时，或；故③正确；
∵图象过点，，
∴，
∴；故④错误；
∵抛物线的开口向下，
∴当时，函数值最大，
即：，
∴；故⑤正确；
综上，正确的结论是①②③⑤；
故选：D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写最后结果．
11. 在函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】由题意得，且
∴且，
故答案为：且．
12. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
13. 写出一个图象只经过第二、四象限的函数表达式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵反比例函数位于二、四象限，，
解析式为：．
故答案为：．
14. 若与是方程的两个实数根，则_________．
【答案】4
【解析】∵与是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：4．
15. 苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，、为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则（阴影部分）的面积为_______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】∵该图形是正六边形，
∴．
∵正六边形具有对称性，
∴.
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
根据勾股定理得，
∴．
故答案为：．
16. 如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为______．
【答案】
【解析】设点，
轴，
，，
，
，
，
，轴，
轴，
点，
，
，四边形的面积为8，
，
解得：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
17. 计算：．
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
解：原式，
当时，．
19. 解方程和不等式
（1）解方程：
（2）解不等式组：
解：（1），∴，解得：，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的根为.
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
20. 如图，在中，，点D在边上，且，过点D作交于点F，连接，且，求证：．
证明：，
，，
，
，
在和中，，
．
21. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ；
（2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
解：（1）本次被调查的学生有：（人）；
扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：；
（2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人），
故答案为：90；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
22. 阅读理解
材料1：观察数轴可知，当时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：时，随着x的不断增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）；
当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数．
解：（1）当时，随着的增大而减小，
随着的增大，的值减小；
当时，随着的增大而减小，
，
随着的增大，的值减小，
故答案为：减小，减小；
（2）∵，
∵当时，随着的不断增大，的值无限接近0，
∴的值无限接近5．
23. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，，
∴，
∴的半径为．
24. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图，
根据题意有：，，，，，，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（米），
答：信号塔的高为米．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；
（3）当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
解：（1）将 ，代入，
得：，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）由（1）知，
当时，，
，
，
，，
；
，
二次函数图象的顶点坐标为；
，
当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，
此时点P的坐标为；
（3）由（2）得，
二次函数图象的对称轴为直线，
当时，，y有最大值0，
，y有最小值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
26. 问题提出】
如图1，在中，，作，垂足为，且，连接，求的面积．
【问题解决】
某市着力打造宜居宜业现代化生态城市，为了呈现出园在城中秀，湖在园中美的迷人画卷，如图2所示，现在一处空地上规划一个五边形湖景公园．按设计要求，要在五边形湖景公园内挖个四边形人工湖，使点F，G分別在边上，且，．已知五边形中，．为满足人工湖的造景需要，想让人工湖面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由（结果保留根号）．
解：（1）如图所示，分别过点A、D作直线的垂线，垂足分别为F、E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖，理由如下：
在中，，
∴，；
如图所示，作的外接圆，过点H作于P，过点O作于Q，延长交于，连接，
∵，
∴当最大时，最大，
∴当最大时，最大，
∴，
∴当点H与点重合时，有最大值，最大值为，
由垂径定理可得垂直平分，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴最大；
验证：如图所示，延长交于M，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴可设，则，
∵，
∴由（1）得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵点Q为的中点，
∴，
又∵，
∴三点共线，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴点在矩形内部，
∴存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖，四边形的面积最大值为．
甲
乙
丙
丁
平均时间（s）
50.1
51.3
50.1
50.0
方差
0.9
0.9
1.3
57.8